จำนวนจริงในรูปกรณฑ์ และเลขยกกำลัง

จำนวนจริงในรูปกรณฑ์

จำนวนจริงในรูปกรณฑ์ หรือราก เขียนแทนด้วย $\sqrt[n]{x}$ อ่านว่า รากที่ n ของ x หรือ กรณฑ์ที่ n ของ x

เราจะบอกว่า จำนวนจริง a เป็นรากที่ n ของ x ก็ต่อเมื่อ $a^{n} = x$

เช่น

2 เป็นรากที่ 2 ของ 4 เพราะ 2² = 4 นั่นคือ $\sqrt{4} = 2$ (รากที่สองของ 4 คือ 2 )

-2 เป็นรากที่ 2 ของ 4 เพราะ (-2)² = 4 นั่นคือ $\sqrt{4} = -2$ (รากที่สองของ 4 คือ -2)

ดังนั้น จะได้ว่า รากที่สองของ 4 คือ ±2 หรือเขียนอีกอย่างคือ $\sqrt{4} = \pm 2$ นั่นเอง

**รากที่ 2 เรานิยมใช้ $\sqrt{x}$ แต่ถ้าเป็นรากที่ n เมื่อ n มากกว่า 2 เราจะใช้ $\sqrt[n]{x}$ **

เช่น รากที่ 3 ของ x เขียนได้ดังนี้ $\sqrt[3]{x}$

สมบัติของ จำนวนจริงในรูปกรณฑ์

ให้ k, m, n เป็นจำนวนเต็มบวกที่มากกว่าหรือเท่ากับ 2

1.) $\sqrt[n]{x^n} = x$

เช่น $\sqrt[4]{16} = \sqrt[4]{2\times 2\times2\times2} = 2$

2.) $\sqrt[n]{xy} = \sqrt[n]{x}\sqrt[n]{y}$

เช่น $\sqrt{(2)(4)} = \sqrt{2}\sqrt{4} = \sqrt{2}\sqrt{2^2} = 2\sqrt{2}$

3.) $\sqrt[n]{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}}$ ; y ≠ 0

เช่น $\sqrt[3]{\frac{4}{5}} = \frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{5}}$

4.) $\sqrt[kn]{x^{km}} = \sqrt[n]{x^{m}}$

เช่น $\sqrt[2\times 3]{12} = \sqrt[2\times 3]{3\times 4} = \sqrt[2]{4} = \sqrt{4} = 2$

5.) $\sqrt[m]{\sqrt[n]{x}} = \sqrt[mn]{x}$

เช่น $\sqrt[3]{\sqrt[4]{16}} = \sqrt[12]{16}$

**ถ้า n เป็นจำนวนเต็มบวกที่เป็นเลขคู่ ตัวที่อยู่ใน ราก หรือ √‾ ต้องเป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ

แต่ถ้า n เป็นจำนวนเต็มบวกที่เป็นเลขคี่ ตัวที่อยู่ในราก จะเป็นจำนวนจริงใดๆ**

จำนวนจริงในรูปเลขยกกำลัง

จำนวนจริงในรูปเลขยกกำลัง จะเขียนอยู่ในรูป xª เมื่อ x เป็นจำนวนจริงใดๆ และ a เป็นจำนวนเต็มบวก

xª = x⋅x⋅x⋅…⋅x (a ครั้ง)ฃ

x เป็นเลขฐาน

a เป็นเลขชี้กำลัง

เช่น 5³ : 5 เป็นเลขฐาน และ 3 เป็นเลขชี้กำลัง เป็นต้น

สมบัติของเลขยกกำลัง

ให้ x, y เป็นจำนวนจริงใดๆ m, n เป็นจำนวนเต็มบวก

1.) $x^m\times x^n = x^{m + n}$ (เลขฐานเหมือนกัน เมื่อคูณกันสามารถนำเลขชี้กำลังมาบวกกันได้)

เช่น $2^5+2^7=2^{5+7}=2^{12}$

2.) $(xy)^a = x^ay^a$

เช่น $(xy)^2=x^2y^2$

3.) $(x^m)^n = x^{mn}$

เช่น $(x^2)^3=x^{2\times 3}=x^6$

4.) $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$

เช่น $\frac{x^5}{x^3}=x^{5-3}=x^2$

5.) $x^{m}=x^{n}$ ก็ต่อเมื่อ m = n

เช่น $2^{x} = 2^{4}$ ดังนั้น x = 4

ความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนจริงที่มีเลขชี้กำลังกับจำนวนจริงในรูปกรณฑ์

ให้ m, n เป็นจำนวนเต็มบวก โดยที่ n มากกว่าหรือเท่ากับ 2 และให้ x เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ

จะได้ว่า

1.) $\sqrt[n]{x}=x^\frac{1}{n}$

2.) $x^{\frac{m}{n}} = (x^\frac{1}{n})^m= (\sqrt[n]{x})^m$

3.) $x^{\frac{m}{n}} =(x^m)^\frac{1}{n}=\sqrt[n]{x^m}$

จากข้อ 2 และ 3 จะได้ว่า $\sqrt[n]{x^m}=(\sqrt[n]{x})^m$

การหารากที่สองของจำนวนที่อยู่ในรูป $x\pm 2\sqrt{y}$

ให้ a, b เป็นจำนวนจริงบวกที่ a + b = x และ ab = y จะได้ว่า

1.) รากที่สองของ $x+2\sqrt{y}$ คือ $\pm (\sqrt{a}+\sqrt{b})$ นั่นคือ $\sqrt{x+2\sqrt{y}} = \pm (\sqrt{a} +\sqrt{b})$

2.) รากที่สองของ $x-2\sqrt{y}$ คือ $\pm (\sqrt{a}-\sqrt{b})$ นั่นคือ $\sqrt{x-2\sqrt{y}} = \pm (\sqrt{a} -\sqrt{b})$

ตัวอย่างโจทย์เกี่ยวกับ จำนวนจริงในรูปกรณฑ์

1.) จงหาค่าของ $\sqrt{12}+\sqrt{27}$

2.) จงหาค่าของ $\frac{2^{-3}+3^{-4}}{9^{-2}+8^{-1}}$

3.) จงหารากที่สองของ $13+\sqrt{88}$

4.) หาค่า x ที่ทำให้ $(\sqrt{\frac{8}{125}})^{^4}=(\frac{16}{625})^{\frac{1}{x}}$

วีดิโอที่เกี่ยวข้องกับ จำนวนจริงในรูปกรณฑ์ และจำนวนจริงในรูปเลขยกกำลัง