ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม

ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม

ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม จะเกี่ยวข้องกับมุมที่มีหน่วยเป็นองศา (degree) และมุมที่มัหน่วยเป็นเรเดียน (radian)

ในบทความนี้จะกล่าวถึงมุมทั้งหน่วยองศาและเรเดียน มุมฉาก การเปลี่ยนหน่วยของมุม สมบัติของฟังก์ชันตรีโกณมิติ และสามเหลี่ยมมุมฉาก

ก่อนที่จะเริ่มเข้าสู่เนื้อหา พี่อยากให้น้องๆได้รู้พื้นฐานเกี่ยวกับฟังก์ชันตรีโกณมิติเพื่อที่จะได้เข้าใจเนื้อหาในบทความนี้มากขึ้น

• การวัดความยาวส่วนโค้ง
• ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์
• ฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่นๆ

หลังจากที่ไปทบทวนความรู้มาแล้วเรามาเริ่มเนื้อหาใหม่กันเลยค่ะ

หน่วยของมุม

1.) องศา (degree) คือหน่วยของมุมในระนาบ 2 มิติ โดยที่

1 มุมฉาก = 90°

1° = 60′ (ลิปดา)

1′ = 60″ (ฟิลิปดา)

มุมฉากที่น้องๆคุ้นกัน ก็คือ สามเหลี่ยมมุมฉาก

2.) เรเดียน (radian) คือหน่วยวัดมุมบนระนาบ 2 มิติ

มุม 1 เรเดียน คือขนาดของมุมที่วัดจากจุดศูนย์กลางของวงกลมที่กางออกตามส่วนโค้ง ซึ่งความยาวส่วนโค้งมีความยาวเท่ากับรัศมีของวงกลมพอดี

ดังนั้น มุม θ = $\frac{a}{r}$

ดังนั้นถ้าเราหมุนรัศมีครบ 1 รอบ จะได้ว่า $a=2\pi r$ นั่นคือ θ = $2\pi$เรเดียน

จากนั้นเรามาพิจารณามุมฉาก (90°) ซึ่ง $a=\frac{2\pi r}{4}$

ดังนั้น 90° = $\frac{\pi}{2}$ ⇒ 180° = $\pi$

ตัวอย่างการเปลี่ยนหน่วยของมุม

• 5$\pi$ เรเดียน เปลี่ยนเป็นองศา

จาก $\pi$ = 180° ดังนั้น 5$\pi$ = 5(180) = 900°

• $\frac{4\pi}{3}$ เรเดียน เปลี่ยนเป็นองศา

จะได้ $\frac{4\pi}{3}$ = $\frac{4(180)}{3}$ = 240°

• 780° เปลี่ยนเป็นเรเดียน

ใช้วิธีเทียบสัดส่วน คือ

180° = $\pi$

780° = $\frac{780\pi }{180}$ = $\frac{13\pi }{3}$

• -330° เปลี่ยนเป็นเรเดียน

จะได้ $\frac{-330\pi }{180}$ = $\frac{-11\pi }{6}$

ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม 180° ± A, 360±A และ (-A) เมื่อ 0 < A < 90°

sin(180° – A) = sinA cosec(180° – A) = cosecA

cos(180° – A) = -cosA sec(180° – A) = -secA

tan(180° – A) = -tanA cot(180° – A) = -cotA

————————————————————————————————

sin(180° + A) = -sinA cosec(180° + A) = -cosecA

cos(180° + A) = -cosA sec(180° + A) = -secA

tan(180° + A) = tanA cot(180° + A) = cotA

————————————————————————————————

sin(360° + A) = sinA cosec(360° + A) = cosecA

cos(360° + A) = cosA sec(360° + A) = secA

tan(360° + A) = tanA cot(360° + A) = cot

————————————————————————————————

sin(360° – A) = -sinA cosec(360° – A) = -cosecA

cos(360° – A) = cosA sec(360° – A) = secA

tan(360° – A) = -tanA cot(360° – A) = -cot ———————————————————————————————— sin(-A) = -sinA cosec(-A) = -cosecA

cos(-A) = cosA sec(-A) = secA

tan(-A) = -tanA cot(-A) = -cotA

ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

A, B และ C เป็นมุมของสามเหลี่ยม

ในรูปนี้จะพิจารณามุม A

a แทนความยาวด้านตรงข้ามมุม A ⇒ ข้าม

b แทนความยาวด้านประชิดมุม A ⇒ ชิด

c แทนความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ⇒ ฉาก

จากรูปจะได้ว่า

sinA = ข้าม/ฉาก = $\frac{a}{c}$

cosA = ชิด/ฉาก = $\frac{b}{c}$

tanA = ข้าม/ชิด = $\frac{a}{b}$

ตัวอย่าง

ให้ cosθ = $\frac{-3}{5}$ และ $\frac{\pi }{2}$ ≤ θ ≤ $\pi$

ขั้นแรกเราจะพิจารณาเงื่อนไขที่โจทย์ให้มา นั่นก็คือ $\frac{\pi }{2}$ ≤ θ ≤ $\pi$

ซึ่งจากเงื่อนไขนี้สามารถบอกได้ว่าเรากำลังพิจารณาค่าของฟังก์ชันตรีโกณที่อยู่ใน ควอดรันต์ที่ 2

ดังนั้น sinθ, cosecθ มีค่าเป็นบวก tanθ, cotθ และ secθ มีค่าเป็นลบ

จาก cosθ = $\frac{-3}{5}$ = ชิด/ฉาก เราจะวาดรูปได้ดังนี้

หา a โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

c² = a² + b²

25 = a² + 9

a² = 16

a = ±4

จาก a คือความยาว ดังนั้น a = 4

ดังนั้น sinθ = $\frac{4}{5}$

tanθ = $-\frac{4}{3}$

cotθ = $-\frac{3}{4}$

secθ = $-\frac{5}{3}$

cosecθ = $\frac{5}{4}$

การหาขนาดของมุมจากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

ถ้าเรามีรูปสามเหลี่ยมที่บอกความยาวด้านมา เราสามารถหามุมได้โดยใช้ข้อมูลเหล่านั้นช่วย

เช่น

จากรูปจะเห็นว่าบอกความความยาวด้านชิดมุมA และด้านตรงข้ามมุมฉาก

นั่นคือ รู้ชิด รู้ฉาก ดังนั้นเราจะหามุมจากฟังก์ชันcos

cosA = $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}$ = $\frac{1}{\sqrt{2}}$ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$

ดังนั้น A = 45°

จากรูป เรารู้ความยาวด้านชิดมุมA และด้านตรงข้ามมุมA

ดังนั้นจะหาโดยใช้ tanA = $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}$ = $\sqrt{3}$

ดังนั้น A = 60°

มุมอื่นๆที่ควรรู้

มุม A = 35 จะได้ sin35° = $\frac{3}{5}$ และ cos35° = $\frac{4}{5}$

มุมA = 53 จะได้ sin53° = $\frac{4}{5}$ และ cos53° = $\frac{3}{5}$

วิดีโอเพิ่มเติม