ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์

ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ จะเกี่ยวข้องกับ θ พิกัดของ จุด (x, y) ซึ่งในบทความนี้จะอธิบายเกี่ยวกับ ความสัมพันธ์ระหว่าง x, y กับ θ

จากบทความที่ผ่านมาเราได้รู้จักวงกลมหนึ่งหน่วยและการวัดความยาวส่วนโค้ง ในบทความนี้น้องๆจะได้รู้จักกับฟังก์ชันไซน์ (sine function) และฟังก์ชันโคไซน์ (cosine function) และวิธีการหาค่าของฟังก์ชันทั้งสอง

Sine function = {(θ, y) | y = sinθ}

cosine function = {(θ, x) | x = cosθ}

จาก P(θ) = (x, y)  และจาก x = cosθ และ y = sinθ

จะได้ว่า P(θ) = (cosθ, sinθ)

โดเมนและเรนจ์ของ sine function และ cosine function

โดเมนของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ คือ จำนวนจริง นั่นคือ θ ∈

เรนจ์ของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์คือ [-1, 1] นั่นคือ ค่าของ cosθ และ sinθ จะอยู่ในช่วง [-1, 1]

 

ความสัมพันธ์ของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์

พิจารณาสมการวงกลมหนึ่งหน่วย (รัศมีเป็น 1)  x² + y² = 1

เมื่อแทน x = cosθ และ y = sinθ ในสมการของวงกลมหนึ่งหน่วย

จะได้ว่า (cosθ)² + (sinθ)² = 1 สามารถเขียนได้อีกรูปแบบหนึ่ง คือ

cos²θ + sin²θ = 1

การหา ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์

การหาค่าฟังก์ชันไซน์และโคไซน์นั้น น้องๆจะต้องมีพื้นฐานเรื่องความยาวส่วนโค้งและพิกัดจุดปลายส่วนโค้งพร้อมทั้งรู้เรื่องจตุภาคด้วย น้องๆสามารถดูเนื้อหาได้ที่ >>ความยาวส่วนโค้งของวงกลมหนึ่งหน่วย<<

กำหนดให้ P(θ) = (x, y) และ x = cosθ , y = sinθ

พิจารณา θ = 0 จะได้ว่า พิกัดจุดของ P(0) คือ (1, 0) นั่นคือ P(0) = (1, 0)

ดังนั้น x = 1 และ y = 0 นั่นคือ cos(0) = 1 และ sin(0) = 0

พิจารณาที่ θ = จะได้ว่า P( ) = (0, 1)

ดังนั้น cos( ) = 0 และ sin( ) = 1

พิจารณา θ = จะได้ว่า P( ) = (-1, 0)

ดังนั้น cos( ) = -1 และ sin( ) = 0

พิจารณาที่ θ = จะได้ว่า P(  ) = (0, -1)

ดังนั้น cos( ) = 0 และ cos(  ) = -1

การหาค่า sinθ cosθ โดยใช้มือซ้าย

• แต่ละนิ้วจะแทนค่าของ θ ดังรูป
• เราจะหาค่าโดยการพับนิ้ว เช่น ต้องการหา sin( ) เราก็จะพับนิ้วนางลง
• เราจะให้นิ้วที่พับลงเป็นตัวแบ่งระหว่าง cos กับ sin ซึ่งจะแบ่งออกเป็นฝั่งซ้ายและฝั่งขวา
• ช่องว่างในรูทคือ จำนวนนิ้วที่เรานับได้เมื่อเราพับนิ้วลง
• หากต้องการค่า sin ให้นำจำนวนนิ้วฝั่งซ้ายมาเติมในรูท
• และหากต้องการค่า cos ให้นำจำนวนนิ้วฝั่งขวามาเติมในรูท

หากน้องๆยังงงๆเรามาดูตัวอย่างกันค่ะ

ต้องการหาค่า cos( ) และ sin( )

cos( )

จากโจทย์เราต้องการหาค่าโคไซน์ ที่ θ =  ซึ่งตรงกับนิ้วกลาง

ดังนั้นเราจึงพับนิ้วกลางลง และหาค่าโคไซน์เราต้องดูจำนวนนิ้วฝั่งขวาซึ่งก็คือนิ้วที่ถูกระบายด้วยสีส้ม จะเห็นว่ามี 2 นิ้ว ดังนั้น cos( ) =

 

sin( )

จากโจทย์ต้องการหาค่าฟังก์ชันไซน์ ที่ θ = เราจึงพับนิ้วชี้ลง และดูจำนวนนิ้วฝั่งซ้ายซึ่งก็คือนิ้วที่ถูกทาด้วยสีฟ้า ดังนั้น sin(  ) =

แล้วสมมติว่า θ เป็นค่าอื่นๆนอกเหนือจากค่าเหล่านี้ล่ะ เช่น เราจะหายังไงดี???

จริงๆแล้วค่าของ นั้นเราสามารถดูของ ได้เลย แต่!!!! เครื่องหมายอาจจะต่างกัน ให้น้องๆสังเกตว่า ค่าของ นั้นอยู่ควอดรันต์ที่เท่าไหร่ แล้วน้องจะรู้ว่าค่า x ควรเป็นลบหรือเป็นบวก ค่า y ควรเป็นลบหรือเป็นบวก

อย่างเช่น cos( )

เรามาดูกันว่า θ = อยู่ควอดรันต์เท่าไหร่

จะเห็นว่าอยู่ควอดรันต์ที่ 2 ซึ่ง (- , +) ดังนั้น ค่า x เป็นจำนวนลบ ค่า y เป็นจำนวนบวก และเรารู้ว่า x = cosθ ดังนั้น ค่า cos( ) เป็นจำนวนลบแน่นอน

จากนั้นใช้มือซ้ายเพื่อหาค่า cos โดยใช้ค่า θ = ได้เลย จะได้ว่า cos( ) =

ดังนั้น cos( ) =

 

นอกจากจะดูหาค่าโดยใช้มือซ้ายแล้ว น้องๆสามารถดูตามรูปด้านล่างนี้ได้เลยค่ะ

ในวงกลมที่ระบายสีฟ้านั้น คือค่าของ θ  ซึ่งแต่ละ θ ก็จะบอกพิกัดจุด (x, y) ซึ่งก็คือค่าของ cosθ และ sinθ นั่นเอง

เช่น sin( ) = และ cos( ) =

ตัวอย่างการหาค่าฟังก์ชันไซน์และโคไซน์

1) หาค่า sin( )

วิธีทำ หาค่า sin( )

จะได้ว่า sin( ) =

จากนั้นดูพิกัดจุดของ P( ) จะได้ว่า อยู่ควอดรันต์ที่ 3 ซึ่ง (- , -) นั่นคือ ค่า x เป็นจำนวนลบ (cosθ เป็นจำนวนลบ) และค่า y เป็นจำนวนลบ

และจาก y = sinθ

ดังนั้น sin( ) =

 

2) หาค่า sin²( ) + cos²( )

วิธีทำ จากความสัมพันธ์ของไซน์และโคไซน์ sin²θ + cos²θ = 1

จะได้ว่าค่าของ sin²( ) + cos²( ) = 1

เนื่องจากว่าเราเรียนคณิตศาสตร์เราจะต้องไม่เชื่ออะไรง่ายๆ ดังนั้นเราจะมาหาค่าโดยใช้วิธีตรงกันค่ะ

จาก sin( ) = จะได้ว่า sin²( ) = และ cos( ) = จะได้ว่า cos²( ) =

ดังนั้น  + = = 1

ดังนั้น สรุปได้ว่า sin²( ) + cos²( ) = 1

 

3) หาค่า cos²( ) + cos²( ) – cos²( )

วิธีทำ จาก cos( ) = 0  cos( ) = 0 และ cos( ) = -1

จะได้ว่า cos²( ) = 0  cos²( ) = 0 และ cos²( ) = (-1)² = 1

ดังนั้น cos²( ) + cos²( ) – cos²( ) = 0 + 0 – 1 = -1

น้องๆสามารถหาแบบฝึกหัดมาทำเพิ่มเติมโดยใช้กฎมือซ้ายในการช่วยหาค่าฟังก์ชันแต่ทั้งนี้น้องๆก็ต้องมีพื้นฐานเกี่ยวกับความยาวจุดปลายส่วนโค้งด้วยนะคะ และการหาค่าฟังก์นั้นนี้หากน้องๆทำบ่อยจะทำให้น้องจำได้ และเวลาสอบก็จะช่วยให้ทำข้อสอบได้เร็วยิ่งขึ้นด้วยค่ะ