เมทริกซ์ และเมทริกซ์สลับเปลี่ยน

เมทริกซ์

เมทริกซ์ (Matrix) คือตารางสี่เหลี่ยมที่บรรจุตัวเลขหรือตัวแปร สามารถนำมาบวก ลบ คูณกันได้ เราสามารถใช้เมทริกซ์ในการการแก้ระบบสมการเชิงเส้นได้ซึ่งจะสะดวกกว่าการแก้แบบกำจัดตัวแปรสำหรับสมการที่มากกว่า 2 ตัวแปร

ตัวอย่างการเขียนเมทริกซ์

$\begin{bmatrix} 1 &2 &3 \\ 4& 5 &6 \\ 7& 8 &9 \end{bmatrix}$ เรียกว่าเมทริกซ์มิติ 3×3 ซึ่ง 3 ตัวหน้าคือ จำนวนแถว 3 ตัวหลังคือ จำนวนหลัก

ซึ่งเราจะเรียกแถวในแนวนอนว่า แถว และเรียกแถวในแนวตั้งว่า หลัก

และจากเมทริกซ์ข้างต้นจะได้ว่า

1 2 3 เป็นสมาชิกในแถวที่ 1

4 5 6 เป็นสมาชิกในแถวที่ 2

7 8 9 เป็นสมาชิกในแถวที่ 3

1 4 7 เป็นสมาชิกในหลักที่ 1

2 5 8 เป็นสมาชิกในหลักที่ 2

3 6 9 เป็นสมาชิกในหลักที่ 3

ดังนั้น เราจะใช้สัญลักษณ์ $A=(a_{ij})_{m\times n}$ แทนเมทริกมิติ m × n โดยที่ m คือแถว n คือหลัก

ซึ่ง $a_{ij}$ คือสมาชิกที่อยู่ในตำแหน่งแถวที่ i หลักที่ j โดยที่ i = 1, 2, 3, …, m และ j = 1, 2, 3,…, n

เขียน $a_{ij}$ ในกรอบสี่เหลี่ยมได้ดังนี้

$\begin{bmatrix} a_{11}& a_{12} & ... & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22} & ... & a_{2n}\\ \vdots & & \ddots &\vdots \\ a_{m1}& a_{m2} & ... & a_{mn} \end{bmatrix}_{m\times n}$

ตัวอย่าง เมทริกซ์

1.) พิจารณาเมทริกซ์ต่อไปนี้

$\begin{bmatrix} 1&5 &7 \\ 3&2 &6 \end{bmatrix}$

จากเมทริกซ์ข้างต้น จะได้ว่า

1. เป็นเมทริกซ์ที่มี 2 แถว 3 หลัก หรือ มีมิติ 2 × 3
2. 5 เป็นสมาชิกตำแหน่งแถวที่ 1 หลักที่ 2
3. 3 เป็นสมาชิกตำแหน่งแถวที่ 2 หลักที่ 1

$\begin{bmatrix} 3\\ 1\\ 8\end{bmatrix}$

จากเมทริกซ์ข้างต้น จะได้ว่า

1. เป็นเมทริกซ์ที่มี 3 แถว 1 หลัก หรือมีมิติ 3 × 1
2. 8 เป็นสมาชิกตำแหน่งแถวที่ 3 หลักที่ 1

เมทริกซ์จัตุรัส

เมทริกซ์จัตุรัส คือเมทริกซ์ที่มีจำนวนแถวเท่ากับจำนวนหลัก ซึ่งก็คือเมทริกซ์ n × n เช่น

1.) $\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3& 4 \end{bmatrix}$ เมทริกซ์ 2× 2

2.) $\begin{bmatrix} 1 & 2 &3 \\ 4& 5 & 6\\ 7& 8 & 9 \end{bmatrix}$ เมทริกซ์ 3 × 3

เมทริกซ์เอกลักษณ์

เมทริกซ์เอกลักษณ์ ($I_{n}$) คือเมทริกซ์ที่มีมิติ n × n ที่มีตัวเลข 1 บนเส้นทแยงมุมเฉียงลงจากซ้ายไปจนสุด นอกนั้นเป็น 0 หรืออธิบายง่ายๆก็คือ สมาชิกของเมทริกซ์ที่อยู่ตำแหน่งที่ 11, 22, … , nn จะเป็นเลข 1 นอกนั้นเป็น 0

เช่น

$I_2=\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0&1 \end{bmatrix}$

$I_3=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1\\ 0& 1& 0\\ 0& 0 & 1 \end{bmatrix}$

การเท่ากันของ เมทริกซ์

เมทริกซ์จะเท่ากันได้ ก็ต่อเมื่อ สมาชิกตำแหน่งเดียวกันเท่ากัน เช่น

$\begin{bmatrix} 1 &2 \\ 4& 3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a &b \\ 4&d \end{bmatrix}$

จากตัวอย่างจะได้ว่า

1 และ a อยู่ในตำแหน่งเดียวกัน คือ แถว1 หลัก1 ดังนั้น a = 1

2 และ b อยู่ในตำแหน่ง แถว 1 หลัก 2 ดังนั้น b = 2

และ d = 3

เมทริกซ์สลับเปลี่ยน

เมทริกซ์สลับเปลี่ยน (transpose of a matrix) คือเมทริกซ์ที่เกิดจากการเปลี่ยนแถวเป็นหลัก เปลี่ยนหลักเป็นแถว เช่น แถวที่ 1 ก็เปลี่ยนเป็นหลักที่ 1

สมมติให้ A เป็นเมทริกซ์ จะได้ว่า $A^T$ คือเมทริกซ์สลับเปลี่ยน

ตัวอย่าง

ให้ $A=\begin{bmatrix} 4& 3 &7 \\ 6& 8 & 2\\2 & 5 & 0 \end{bmatrix}$ จงหา $A^T$

จะได้ $A^T=\begin{bmatrix} 4 &6 &2 \\ 3& 8 & 5\\ 7& 2& 0 \end{bmatrix}$

ให้ $A=\begin{bmatrix} 1 & 5 & 7\\ 3& 8 &4 \end{bmatrix}$ จงหา $A^T$

จะได้ $A^T=\begin{bmatrix} 1 &3 \\ 5& 8\\ 7& 4 \end{bmatrix}$