ฟังก์ชันผกผัน

ฟังก์ชันผกผัน

ฟังก์ชันผกผัน หรืออินเวอร์สฟังก์ชัน เขียนแทนด้วย $f^{-1}$ เมื่อ $f$ เป็นฟังก์ชัน

จากที่เรารู้กันว่า ฟังก์ชันนั้นเป็นความสัมพันธ์ ดังนั้นฟังก์ชันก็สามารถหาตัวผกผันได้เช่นกัน แต่ตัวผกผันนั้นไม่จำเป็นที่จะต้องเป็นฟังก์ชันเสมอไป

เพราะอะไรถึงไม่จำเป็นจะต้องเป็นฟังก์ชัน เราลองมาดูตัวอย่างกันค่ะ

ให้ f = {(1, 2), (3, 2), (4, 5),(6, 5)} จะเห็นว่า f เป็นฟังก์ชัน

พิจารณาตัวผกผันของ f เท่ากับ {(2, 1), (2, 3), (5, 4), (5, 6)} จากนิยามของฟังก์ชัน ถ้าตัวหน้าเท่ากันแล้วตัวหลังจะต้องเท่ากัน ทำให้ได้ว่า ตัวผกผันของ f ไม่เป็นฟังก์ชัน

ตัวอย่างตัวผกผันของฟังก์ชัน

หาฟังก์ชันผกผันของ เมื่อ

1.) f(x) = $\frac{1}{x-2}$

ให้ f(x) = y

ขั้นตอนที่ 1 เปลี่ยน x เป็น y เปลี่ยน y เป็น x

จะได้ $x=\frac{1}{y-2}$

ขั้นที่ 2 จัดรูปให้ y อยู่เดี่ยวๆ

จะได้

ดังนั้น = $\frac{1}{x}+2$ เมื่อ x ≠ 0 (เพราะถ้า x =0จะหาค่าไม่ได้)

2.) f(x) = $\sqrt{x+3}$

ขั้นที่ 1 เปลี่ยน x เป็น y เปลี่ยน y เป็น x

จะได้ x = $\sqrt{y+3}$

ขั้นที่ 2 จัดรูปให้ y อยู่เดี่ยวๆ

จะได้

ดังนั้น $f^{-1}(x)$ = $x^2-3$

3.) f(x) = $\frac{2x-3}{3x-2}$

ขั้นที่ 1 เปลี่ยน x เป็น y เปลี่ยน y เป็น x

จะได้ x = $\frac{2y-3}{3y-2}$

ขั้นที่ 2 จัดรูปให้ y อยู่เดี่ยวๆ

จะได้

ดังนั้น $f^{-1}(x)$ = $\frac{2x-3}{3x-2}$ เมื่อ x ≠ $\frac{2}{3}$

ให้ f(x) = 3x + 5 จงหา

4.) $f^{-1}(3)$

ขั้นตอนที่ 1 หา $f^{-1}(x)$

จะได้

ขั้นตอนที่ 2 แทนค่า x ด้วย 3

จะได้ $f^{-1}(3)$ = $\frac{5-3}{3}=\frac{2}{3}$

5.) $f^{-1}(-1)$

ขั้นตอนที่ 1 หา $f^{-1}(x)$

จะได้

ขั้นตอนที่ 2 แทนค่า x ด้วย -1

จะได้ $f^{-1}(-1)$ = $\frac{5-(-1)}{3}=\frac{5+1}{3}=\frac{6}{3}=2$

การตรวจสอบว่าตัวผกผันของ f เป็นฟังก์ชันหรือไม่

การตรวจสอบทำได้ 2 วิธี คือ

1. หาตัวผกผันมาก่อนแล้วเช็คว่าตัวผกผันนั้นเป็นฟังก์ชันหรือไม่
2. หาจากทฤษฎีบทต่อไปนี้

ตัวผกผันของ f เป็นฟังก์ชัน ก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง

ขยายความทฤษฎีบท

เรามีข้อความอยู่สองข้อความ ที่มีตัวเชื่อม ก็ต่อเมื่อขั้นกลางอยู่

ถ้าเรารู้ว่าฝั่งใดฝั่งหนึ่งจริง เราสามารถสรุปข้อความอีกฝั่งหนึ่งได้เลย

เช่น ถ้าเรารู้ว่า ตัวผกผันของ f เป็นฟังก์ชัน เราก็จะรู้ด้วยว่า f เป็นฟังก์ชัน

ในขณะเดียวกัน ถ้าเรารู้ว่า f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง เราก็จะรู้ว่า ตัวผกผันของ f เป็นฟังก์ชัน

แต่ ถ้าเรารู้ว่าข้อความฝั่งหนึ่งไม่จริง เราก็สามารถสรุปได้เช่นกันว่า ข้อความอีกฝั่งก็ไม่จริง

เช่น เรารู้ว่า ตัวผกผันของ f ไม่เป็นฟังก์ชัน เราสามารถสรุปได้เลยว่า f ไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง

ถ้าเรารู้ว่า f ไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง เราสามารถสรุปได้ว่า ตัวผกผันของ f ไม่เป็นฟังก์ชัน

ตัวอย่างการตรวจสอบ ฟังก์ชันผกผัน

ให้ f เป็นฟังก์ชัน ที่ f = {(x, y) : x, y ∈ $\mathbb{R}$ และ y = 2x + 3}

วิธีทำ 1 จาก f = {(x, y) : x, y ∈ $\mathbb{R}$ และ y = 2x + 3}

จะได้ว่า $f^{-1}$ = {(y, x ) : y, x ∈ $\mathbb{R}$ และ y = 2x + 3}

หรือเขียนได้อีกแบบคือ $f^{-1}$ = {(x, y) : x, y ∈ $\mathbb{R}$ และ x = 2y + 3} << ตรงสมการ เปลี่ยน x เป็น y เปลี่ยน y เป็น x

จะตรวจสอบว่า $f^{-1}$ เป็นฟังก์ชันหรือไม่ โดยสมมติคู่อันดับมาสองคู่ ให้เป็น $(x_1, y_1),(x_1,y_2)$ ซึ่งทั้งสองคู่อันดับนี้ เป็นคู่อันดับใน $f^{-1}$

ดังนั้นเราสามารถแทน คู่อันดับทั้งสองไปในสมการ x = 2y + 3 ได้

จากนิยามของฟังก์ชันจะได้ว่า $f^{-1}$ เป็นฟังก์ชันเพราะ เมื่อสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับเหมือนกันสมาชิกตัวหลังก็เหมือนกันด้วย

วิธีที่ 2 จาก f = {(x, y) : x, y ∈ $\mathbb{R}$ และ y = 2x + 3}

จะตรวจสอบว่า f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งหรือไม่เพื่อนำมาสรุปการเป็นฟังก์ชันของ$f^{-1}$

สมมติให้ $(x_1,y_1),(x_2,y_1)$ เป็นคู่อันดับใน f

ดังนั้นเราสามารถแทนคู่อันดับทั้งสองคู่อันดับในสมการ y = 2x + 3 ได้

ได้เป็น

จากนิยามของฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง จะได้ว่า f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง เพราะเมื่อเราให้สมาชิกตัวหลังเท่ากันแล้วเราได้ว่าสมาชิกตัวหน้าก็เท่ากัน

และ จาก f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งเลยทำให้สรุปได้ว่า $f^{-1}$ เป็นฟังก์ชัน

จากวิธีทั้งสองวิธี น้องๆสามารถเลือกวิธีตรวจสอบที่ตัวเองถนัดได้เลย ได้คำตอบเหมือนกันจ้า

เนื้อหาที่ควรรู้เพื่อง่ายต่อการทำความเข้าใจ

ฟังก์ชันจากเซตหนึ่งไปอีกเซตหนึ่ง