กราฟของความสัมพันธ์
กราฟของความสัมพันธ์ r คือเซตของจุดในระนาบx, y โดยที่แต่ละจุดคือสมาชิกของความสัมพันธ์ r นั่นเอง อธิบายให้เข้าใจง่ายคือ เมื่อเราได้เซตของความสัมพันธ์ r ที่มีสมาชิกในเซตคือคู่อันดับแล้ว เราก็นำคู่อันดับแต่ละคู่มาเขียนกราฟนั่นเอง
เช่น r = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (3, 4)} นำมาเขียนกราฟของความสัมพันธ์ r ได้ดังนี้
การเขียนกราฟความสัมพันธ์แบบบอกเงื่อนไข
รูปแบบการเขียนแบบบอกเงื่อนไขจะเป็นเหมือนกับการเขียนเซตแบบบอกเงื่อนไข เช่น A = {x : x ∈ R} และ B = {y : y ∈ } เป็นต้น เรามักจะใช้ในกรณีที่ไม่สามารถเขียนแจกแจงสมาชิกทั้งหมดได้ กรณีที่ไม่สามารถแจกแจงสมาชิกได้ทั้งหมด เช่น x เป็นจำนวนจริง จะเห็นได้ว่าจำนวนจริงนั้นมีเยอะมาก บอกไม่หมดแน่ๆ จึงต้องเขียนแบบบอกเงื่อนไขนั่นเอง
เรามาดูตัวอย่างการเขียนกราฟกันค่ะ
ให้ A = {x : x ∈ R} และ B = {y : y ∈ R}
กำหนด r ⊂ A × B และ r = {(x, y) ∈ A × B : y = x²}
ขั้นที่ 1 ให้ลองแทนค่าของจำนวนเต็มบวก x ลงในสมการ y = x² ที่ต้องแทน x เป็นจำนวนเต็มบวก เพราะเงื่อนไขในเซต A นั่นเอง
แทน x = 0, 1, 2, 3, 4
x = 0 ; y = 0
x = 1 ; y = (1)² = 1
x = 2 ; y = (2)² = 4
x = 3 ; y = (3)² = 9
x = 4 ; y = (4)² = 16
ขั้นที่ 2 เมื่อเราแทนค่า และได้ค่า y มาแล้ว ให้เราเขียนคู่อันดับที่เราได้จากขั้นที่ 1
จะได้คู่อันดับ ดังนี้ (0, 0), (1, 1), (2, 4), (3, 9), (4, 16)
**คู่อันดับที่ได้นี้เป็นเพียงสมาชิกบางส่วนของ r นะคะ เนื่องจากสมาชิกของ r เยอะมาก เราเลยยกตัวอย่างมาบางส่วนเพื่อที่จะเอาไปเขียนกราฟ**
ขั้นที่ 3 นำคู่อันดับที่ได้จากขั้นที่ 2 มาเขียนกราฟ โดยแกนตั้งคือ y แกนนอนคือ x
วิธีการเขียนกราฟคือ นำคู่อันดับแต่ละคู่มามาเขียนบนกราฟ แล้วลากเส้นเชื่อมจุดแต่ละจุด
กราฟข้างต้นเป็นการแทนค่า x ด้วยจำนวนจริงบางส่วน
ถ้าเราแทนค่า x ด้วยจำนวนจริงทั้งหมดจะได้กราฟ ดังนี้
กราฟของความสัมพันธ์ในรูปแบบเชิงเส้น
เมื่อให้ x, y เป็นจำนวนจริงใดๆ และ y = ax + b ซึ่งเป็นสมาการเส้นตรง(สมาการเชิงเส้น)
ให้ = {(x, y) : y = x}
จะได้กราฟ r ดังรูป
น้องๆสามารถลองแทนจุดบางจุดและลองวาดกราฟดู จะได้กราฟตามรูปข้างบนเลยค่ะ
ถ้าให้ = {(x, y) : y = -x}
จะได้กราฟ ดังรูป
ถ้าให้ = {(x, y) : y = 2x + 1}
จะได้กราฟดังรูป
กราฟของความสัมพันธ์ ในรูปแบบกำลังสอง
ให้ x, y เป็นจำนวนจริงใดๆ สมการ y = ax² + bx +c เป็นสมการกำลังสอง ซึ่งเป็นสมการพาราโบลาที่เราเคยเรียนมาตอนม.ต้นนั่นเอง
ให้ = {(x, y) : y = 2x²}
เมื่อนำมาเขียนกราฟ จะได้กราฟดังรูป
จะเห็นว่ากราฟที่ได้เป็นรูปพาราโบลาหงาย มีจุดวกกลับที่จุด (0, 0)
ถ้าให้ = {(x, y) : x = y²}
เมื่อนำมาเขียนกราฟ จะได้กราฟดังรูป
เห็นว่ากราฟที่ได้คือ พาราโบลาตะแคงขวา มีจุดวกกลับที่จุด (0, 0)
ถ้าให้ = {(x, y) : y = -x² + 2x + 5}
เมื่อนำมาเขียนกราฟ จะได้กราฟดังรูป
จะได้กราฟพาราโบลาคว่ำ มีจุดวกกลับที่จุด (1, 6)
**น้องๆสามารถแทนค่า x เพื่อหาค่า y แล้วนำคู่อันดับที่ได้มาลองวาดกราฟดูจะได้กราฟตามรูปเลยนะคะ**
กราฟของความสัมพันธ์ ในรูปแบบค่าสัมบูรณ์
ให้ x, y เป็นจำนวนจริงใดๆ และ
กำหนดให้ r = {(x, y) : }
จะได้กราฟ ดังรูป
จากกราฟที่น้องๆเห็นทั้งหมดนี้ น้องๆอาจจะไม่ต้องรู้ก็ได้ว่า สมการแบบนี้กราฟต้องเป็นแบบไหน ในบทนี้ อยากให้น้องๆได้ฝึกแทนจุดบนกราฟโดยการแก้สมการหาค่า x, y แล้วนำมาวาดบนกราฟ
ข้อสำคัญคือ น้องๆจะลากเส้นเชื่อมจุดได้ต้องมั่นใจว่าทุกจุดที่เส้นกราฟผ่านอยู่ในเงื่อนไขที่กำหนดให้ ถ้าเซตที่กำหนดให้เป็นเซตจำกัดอาจจะไม่สามารถลากเส้นแบบนี้ได้ ดังรูปแรกในบทความนี้นั่นเองค่ะ
วิดีโอ กราฟของความสัมพันธ์
