อนุกรมเลขคณิต

supanaree

คณิตศาสตร์, ม.6, ลำดับและอนุกรม

Add LINE friends for one click to find article.

อนุกรมเลขคณิต

อนุกรมเลขคณิต คือการนำลำดับเลขคณิตแต่ละพจน์มาบวกกัน โดย เขียนแทนด้วย $S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{n}$ จากบทความ “สัญลักษณ์การบวก” ซึ่งเป็นการลดรูปการเขียนจำนวนหลายจำนวนบวกกัน ในบทความนี้จะพูดถึงการบวกของลำดับเลขคณิต การหาผลบวก สูตรสำหรับการหาผลบวกเลขคณิต

สูตรอนุกรมเลขคณิต

สูตรของอนุกรมเลขคณิตมีอยู่ 2 สูตร ดังนี้

1) $S_{n}=\frac{n}{2}(2a_{1}+(n-1)d)$ โดยที่ d คือ ผลต่างร่วม

2) $S_{n}=\frac{n}{2}(a_{1}+a_{n})$ โดยจะใช้สูตรนี้ก็ต่อเมื่อรู้ค่า n

จากสูตรดังกล่างจะเห็นว่า มีความคล้ายกับสูตรลำดับเลขคณิต ดังนั้นอย่าจำสลับกันนะคะ

ตัวอย่าง

ในเรื่องของลำดับและอนุกรมนั้นโจทย์ปัญหามีหลายแบบ ถือได้ว่าเป็นอีกเรื่องหนึ่งที่มีโจทย์หลากหลาย

ก่อนที่น้อง ๆ จะเริ่มทำแบบฝึกหัด พี่อยากให้น้อง ๆ ทบทวน เรื่องลำดับเลขคณิตก่อน โดยสามารถ เข้าไปดูได้ที่ “ลำดับเลขคณิต“

หลังจากทบทวนลำดับเลขคณิตแล้ว มาเริ่มทำแบบฝึกหัดไปพร้อม ๆ กันเลย

1) จงหาผลบวก 20 พจน์แรกของอนุกรม 96 + 94 + 92 + 90 + …

จากโจทย์ พจน์ของอนุกรมลดลงคงที่

ดังนั้นเป็นอนุกรมเลขคณิตที่มี d = 2

โจทย์ต้องการผลบวก 20 พจน์แรก นั่นคือ หา $S_{20}$

จากสูตร $\inline S_{n}=\frac{n}{2}(2a_{1}+(n-1)d)$

จากโจทย์ $\inline a_{1}=96$ , d = -2 และ n = 20

$\inline S_{20}=\frac{20}{2}(2(96)+(20-1)(-2))$

$\inline =10(192+(-38))$

=10(154)

=1540

ตอบ ผลบวกของ 20 พจน์แรกของอนุกรม 96 + 94 + 92 + 90 + … มีค่าเท่ากับ 1540

ตัวอย่างอนุกรมเลขคณิต

โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับอนุกรมนั้นมีเยอะมาก และอนุกรมเลขคณิตยังสามารถนำมาปรับใช้ในชีวิตประจำวันได้อีกด้วย ไปดูตัวอย่างกันเลยค่ะ

1) จงหาผลบวกของอนุกรมเลขคณิต 7 + 10 + 13 + …+ 157

วิธีทำ จากโจทย์จะเห็นว่าสิ่งที่โจทย์ให้มา ได้แก่ d = 3 ,พจน์ที่ 1 $a_1=7$ และพจน์ที่ n $a_n=157$ ดังนั้นเราจะใช้สูตรที่ทราบค่าของพจน์สุดท้าย จะได้

$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)=\frac{n}{2}(7+157)$ จะเห็นว่า สิ่งที่เราไม่ทราบค่าก็คือ n นั่นเอง ดังนั้นเราจะต้องหา n มาก่อน

วิธีการหาค่า n คือ ให้ใช้สูตรของลำดับเลขคณิต และหาว่าพจน์สุดท้าย(ข้อนี้คือ 157 ) คือพจน์ที่เท่าไหร่

$a_n=157=a_1+(n-1)d=7+(n-1)(3)$

n = 51 นั่นคือ 157 ซึ่งเป็นพจน์สุดท้าย คือพจน์ที่ 51 นั่นเอง จึงสรุปได้ว่า อนุกรมนี้มีทั้งหมด 51 พจน์

เมื่อได้ n มาแล้ว ก็สามารถหาผลบวกของอนุกรมได้แล้ว จะได้

$S_n=\frac{n}{2}(7+157)=\frac{51}{2}(164)=4,182$

ดังนั้น ผลบวกของอนุกรมเลขคณิตนี้คือ 4,182

2) จงหาผลบวกจำนวนคู่ตั้งแต่ 18 ถึง 482

วิธีทำ จากโจทย์ให้หาผลบวกของจำนวนคู่ ดังนั้นสามารถเขียนได้เป็น $S_n$ =18 + 20 + 22 + … + 482

จะเห็นว่าสิ่งที่โจทย์ให้มาได้แก่ d = 2 , $a_1=18$ และ $a_n=482$ เราจะใช้สูตรที่มีพจน์สุดท้าย จะได้

$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)=\frac{n}{2}(18+482)$

หา n โดยใช้สูตรลำดับเลขคณิต

$a_n=482=18+(n-1)(2)$

n = 233

ดังนั้น จะได้ $S_n=\frac{n}{2}(18+482)=\frac{233}{2}(500)=58,250$

3) หอประชุมของโรงเรียนแห่งหนึ่งจัดเก้าอี้ให้มีเก้าอี้แถวแรก 12 ตัว แถวที่สองมี 14 ตัว แถวที่สามมี 16 ตัว เป็นแบบนี้ไปเรื่อยๆ ถ้าหอประชุมจัดกเ้าอี้ไว้ทั้งหมด 15 แถว จงหาว่ามีเก้าอี้ในหอประชุมทั้งหมดกี่ตัว

วิธีทำ จากโจทย์ให้หาว่ามีเก้าอี้ทั้งหมดกี่ตัว ดังนั้นเราจะเอาเก้าอี้แต่ละแถวบวกกันทั้งหมด 15 แถว จะได้ว่า

จำนวนเก้าอี้ทั้งหมด = 12 + 14 + 16 + … บวกไปเรื่อยๆจนถึงแถวที่ 15 นั่นหมายความว่า n = 15 นั่นเอง แต่เนื่องจากตอนนี้เราไม่รู้ว่าแถวที่ 15 มีเก้าอี้ทั้งหมดกี่ตัวซึ่งหมายความว่าเรายังไม่ทราบค่าของพจน์สุดท้ายนั่นเอง

และจากอนุกรมจะเห็นว่า d = 2 , $a_1=12$

ดังนั้นจะใช้สูตรที่ไม่มีทราบค่าพจน์สุดท้าย จะได้

$S_{15}=\frac{15}{2}(2(12)+(15-1)(2))=390$

ดังนั้น มีเก้าอี้ทั้งหมด 390 ตัว

4) พี่มีนยืมเงินจากน้องมิว 630 บาท และตกลงกันว่าจะจ่ายเงินคืนน้องทุกวันโดยวันแรกจะคืนให้ 10 บาท วันที่สองจะคืนเงินให้ 12 บาท และวันต่อๆไปจะคืนเงินเพิ่มขึ้นจากวันก่อนหน้าวันละ 2 บาททุกวัน จำนวนวันที่พี่มีนจะจ่ายเงินคืนให้น้องมิวได้ครบพอดีเท่ากับเท่าใด

วิธีทำ จากโจทย์จ่ายเงินคืนวันแรก 10 บาท วันถัดไปจ่ายเงินมากกว่าวันก่อนหน้า 2 บาท และจ่ายจนครบ 630 บาท สามารถเขียนเป็นอนุกรมได้ดังนี้

630 = 10 + 12 + 14 + … บวกไปเรื่อยๆจนรวมกันได้ทั้งหมด 630 บาท และโจทย์ถามว่าใช้เวลากี่วันถึงจะจ่ายเงินครบพอดีนั่นคือ ถามหา n ที่ทำให้ผลบวกนี้เท่ากับ 630

สิ่งที่โจทย์ให้มา คือ $S_n=630$ , $a_1=10$ และ d = 2 และเนื่องจากว่าเราไม่ทราบค่าของพจน์สุดท้ายจึงจะใช้สูตรของอนุกรม $S_{n}=\frac{n}{2}(2a_{1}+(n-1)d)$

จะเห็นว่ามีค่าที่ต้องใช้ในสูตรหมดแล้ว ดังนั้นก็เหลือแค่แทนค่าและหาค่า n เท่านั้น จะได้ว่า

$630=\frac{n}{2}(2(10)+(n-1)(2))$

n = -30 , 21 แต่เนื่องจาก n ในที่นี้หมายถึงจำนวนวันจึงไม่สามารถติดลบได้ และโดยทั่วไป n หมายถึงจำนวนพจน์ดังนั้น n จะต้องเป็นจำนวนนับ

ดังนั้น ใช้เวลาทั้ง 21 วันจึงจะคืบเงินครบ 630 บาท

5) ถ้า $S_n = n^2-4n$ เป็นผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต ที่มี $a_n$ เป็นพจน์ที่ n และ d เป็นผลต่างร่วมแล้ว $d+a_1a_2$ เท่ากับเท่าใด

วิธีทำ จากโจทย์ ให้รูปแบบของ $S_n$ มา ดังนั้นเราจะมาลองแทนค่า

จาก $S_n = n^2-4n$ จะได้ว่า

$S_1=1^2-4(1)=-3$

และจาก $S_1=a_1$ จะได้ว่า $a_1=-3$

พิจารณา $S_2=2^2-4(2)=-4$

และจากที่เรารู้ว่าสูตรการหาอนุกรมเลขคณิตโดยทั่วไปแล้วคือ $S_{n}=\frac{n}{2}(2a_{1}+(n-1)d)$

ดังนั้นเราจะได้ว่า

$S_{2}=\frac{2}{2}(2(-3)+(2-1)d)=-4$

พอเราแก้สมการก็จะได่ d = 2

ดังนั้นตอนนี้เรารู้ค่า d และ $a_1$ แล้ว ดังนั้นเราจะมาหาพจน์ที่ 2 ต่อ โดยใช้สูตรลำดับเลขคณิต

$a_2=a_1+d=-3+2=-1$

ตอนนี้เรามีค่าของพจน์ที่ 1 และ2 และค่าของ d แล้ว ดังนั้นเราสามารถหาค่าที่โจทย์ถามได้แล้ว จะได้เป็น

$d+a_1a_2=2+(-3)(-1)=5$

สรุป จากตัวอย่างข้างต้นจะเห็นว่าอนุกรมเลขคณิตนั้นสามารถนำมาปรับใช้ในชีวิตประจำวันได้และทำให้การคิดเลขนั้นสะดวกสบายขึ้นด้วย แต่ทั้งนี้น้องๆจะต้องไม่ลืมสูตรของลำดับเลขคณิตนะคะ เพราะเราจะเห็นว่าถึงแม้จะเป็นเรื่องอนุกรมเลขคณิตเราก็ยังได้ใช้ความรู้เรื่องลำดับเลขคณิตมาช่วยอยู่ ดังนั้นน้องๆอย่าลืมไปทวบทวนเรื่องลำดับเลขคณิตกันด้วยนะคะ

วิดีโอเกี่ยวกับอนุกรมเลขคณิต

น้องๆสามารถเรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับอนุกรมเลขคณิตได้ที่คลิปด้านล่างนี้เลยค่ะ

NockAcademy คือโรงเรียนออนไลน์สำหรับเด็ก โดยแอปฯ และเว็บไซต์ นักเรียนสามารถเรียนรู้ผ่านคลิปบทเรียนวิชา คณิตศาสตร์ ภาษาอังกฤษ และภาษาไทย
มากไปกว่านั้น เรายังมีคอร์สเรียนออนไลน์ การสอนพิเศษ การติวนอกสถานที่โดยติวเตอร์ที่แน่นไปด้วยความรู้ อีกด้วย

แค่ 10 นาที ก็เข้าใจได้

สามารถดูคลิปบทเรียนวิชา คณิตศาสตร์ ภาษาอังกฤษ และภาษาไทย ที่มีมากกว่า 2,000+ คลิป และยังสามารถทำแบบทดสอบที่มีมากกว่า 4000+ ข้อ

แนะนำ

แชร์

สามก๊ก ความเป็นมาของวรรณกรรมจีนเพชรน้ำเอกของโลก

สามก๊ก เป็นวรรณกรรมจีนที่มีมีชื่อเสียงไปทั่วโลก ไม่เว้นแม้แต่ประเทศไทย โดยฉบับแปลที่เราคุ้นเคยกันเป็นอย่างดีคือฉบับที่แปลโดยเจ้าพระยาคลัง (หน) และด้วยเนื้อหาที่เต็มไปด้วยเล่ห์กลเพทุบาย กลศึกในการรบ การชิงรักหักเหลี่ยม ความเคียดแค้นชิงชัง ทำให้เนื้อเรื่องมีความยาวสมกับเป็นกับเป็นวรรณกรรมอิงประวัติศาสตร์ แต่บทเรียนที่น้อง ๆ จะเรียนคือตอน กวนอูไปรับราชการกับโจโฉ จะมีเนื้อหาและความเป็นมาอย่างไรเราไปเรียนรู้พร้อมกันค่ะ ความเป็นมาของ สามก๊ก สามก๊ก เป็นวรรณกรรมจีนอิงประวัติศาสตร์ ที่เรื่องราวและเหตุการณ์ต่าง ๆ เกิดขึ้นจริงในประวัติศาสตร์ของจีน (ค.ศ.

การใช้ There is และ There are ในประโยคคำถาม

สวัสดีค่ะนักเรียนชั้น ม.2 ที่รักทุกคน วันนี้เราจะไปเรียนรู้เรื่อง “การใช้ There is There are ในประโยคคำถาม ” กันจ้า ถ้าพร้อมแล้วก็ไปลุยกันเลยเด้อ There is/There are คืออะไร There is และ There are แปลว่า

3 ขั้นตอนการเขียนโครงงานอย่างง่ายที่ไม่ว่าใครก็ทำได้

ในเมื่อมีการเขียนรายงานแล้วทำไมถึงยังต้องมีการเขียนโครงงาน? น้อง ๆ เคยสงสัยไหมคะว่า การเขียนโครงงาน นั้นไม่เหมือนกับรายงานทั่วไปอย่างไร มีองค์ประกอบและขั้นตอนการเขียนอย่างไร ถ้าอยากรู้แล้วเราไปเรียนรู้เรื่องนี้พร้อมกันเลยนะคะ โครงงานคืออะไร โครงงานเป็นกิจกรรมที่เน้นกระบวนการโดยผู้เรียนจะเป็นผู้คิดค้น วางแผน ลงมือปฏิบัติตามแผนที่วางไว้ อาศัยเครื่องมือและวัสดุอุปกรณ์ในการปฏิบัติ เพื่อให้โครงงานสำเร็จภายใต้คำแนะนำ การกระตุ้นความคิด กระตุ้นการทำงานของครูผู้สอนหรือผู้เชี่ยวชาญ ตั้งแต่คิดสร้างโครงงาน ลงมือปฏิบัติ ไปจนถึงประเมินผล ความสำคัญของโครงงาน

เรียนรู้และทำความเข้าใจเรื่องประโยคซับซ้อนอย่างง่าย

น้อง ๆ หลายคนคงจะรู้โครงสร้างของประโยคกันอยู่แล้ว คือจะมีประธาน กริยา กรรม เป็นส่วนประกอบ แต่ในชีวิตจริงเราไม่ได้พูดกันตามโครงสร้างเสมอไป เพราะจะมีส่วนขยายมาเพิ่มความมากขึ้นเพื่อให้ผู้พูดและผู้รับฟังสื่อสารกันได้อย่างเข้าใจมากขึ้นจนบางครั้งก็อาจทำให้ดูซับซ้อนจนไม่รู้ว่าเป็นประโยคแบบไหนและอะไรคือใจความสำคัญของประโยค บทเรียนในวันนี้จะพาน้อง ๆ ไปทำความรู้จักกับเรื่อง ประโยคซับซ้อน ทั้งประโยคความเดียวซับซ้อน ประโยคความรวมซับซ้อน และประโยคความซ้อนซับซ้อน ประโยคแต่ละชนิดจะเป็นอย่างไร ไปเรียนรู้พร้อม ๆ กันเลยค่ะ ประโยคเอย จงซับซ้อนยิ่งขึ้น ! ประโยคซับซ้อน

เรียนรู้เรื่องการสร้างคำประสมในภาษาไทย

การสร้างคำประสม คำพูดที่เราพูดกันอยู่ทุกวันนั้น ๆ น้องรู้ไหมคะว่ามีที่มาอย่างไร ทำไมถึงเกิดเป็นคำนี้ให้เราเอามาพูดกันได้ นั่นก็เพราะว่าในภาษาไทยเรานั้นมีสิ่งที่เรียกว่าการสร้างคำอยู่นั่นเองค่ะ ซึ่งการสร้างคำก็มีทั้งคำที่ถูกสร้างขึ้นใหม่โดยเฉพาะ เป็นคำมูล คำไทยแท้ กับอีกลักษณะคือการสร้างคำจากคำมูลนั่นเองค่ะ บทเรียนภาษาไทยในวันนี้จะพาน้อง ๆ ไปเรียนรู้การสร้างคำประสมในภาษาไทย คำประสมคือคำแบบใดบ้าง เราไปเรียนรู้เรื่องนี้พร้อม ๆ กันเลยค่ะ คำประสม คำประสม หมายถึงคำที่เกิดจากนำคำ 2

This, That, These, Those

สวัสดีค่ะนักเรียนชั้นป.6 ที่น่ารักทุกคนวันนี้เราจะไปเรียนเรื่อง This, That, These, Those กันค่ะ พร้อมแล้วก็ไปลุยกันเลยจ้า เข้าสู่บทเรียน ก่อนที่นักเรียนจะไปเรียนเรื่อง การใช้ This, That, These, Those ครูอยากจะให้ลองดูตัวอย่างของการใช้ This, That, These, Those (Determiners) และ This,

อนุกรมเลขคณิต

สารบัญ

อนุกรมเลขคณิต

ตัวอย่างอนุกรมเลขคณิต

วิดีโอเกี่ยวกับอนุกรมเลขคณิต

แค่ 10 นาที ก็เข้าใจได้

แนะนำ

แชร์

สามก๊ก ความเป็นมาของวรรณกรรมจีนเพชรน้ำเอกของโลก

การใช้ There is และ There are ในประโยคคำถาม

3 ขั้นตอนการเขียนโครงงานอย่างง่ายที่ไม่ว่าใครก็ทำได้

เรียนรู้และทำความเข้าใจเรื่องประโยคซับซ้อนอย่างง่าย

เรียนรู้เรื่องการสร้างคำประสมในภาษาไทย

This, That, These, Those

NockAcademy

ติดต่อ

เกี่ยวกับเรา

ความช่วยเหลือ

ทดลองฟรี!

เข้าใจได้ทันที NockAcademy ไลฟ์สดอันดับ 1

ทดลองฟรี!

เข้าใจได้ทันที NockAcademy ไลฟ์สดอันดับ 1