ก่อนที่น้องๆจะได้เรียนรู้ในเรื่องสมบัติของจำนวนเต็ม น้องๆจำเป็นต้องเรียนเรื่อง การเปรียบเทียบจำนวนเต็ม และเรื่อง จำนวนตรงข้ามและค่าสัมบูรณ์ ซึ่งบทความนี้ได้รวบรวมสมบัติของจำนวนเต็ม ประกอบด้วย สมบัติเกี่ยวกับการบวกและคูณจำนวนเต็ม ได้แก่ สมบัติการสลับที่ สมบัติการเปลี่ยนหมู่ และสมบัติการแจกแจง รวมไปถึงสมบัติของหนึ่งและศูนย์ เรามาศึกษาสมบัติแรกกันเลย
สมบัติเกี่ยวกับการบวกและคูณจำนวนเต็ม
สมบัติการสลับที่
- สมบัติการสลับที่สำหรับการบวก
ถ้า a และ b แทนจำนวนเต็มใดๆ แล้ว a + b = b + a
เช่น 3 + 5 = 5 + 3
จะเห็นว่า 3 + 5 = 8 และ 5 + 3 = 8
ดังนั้น ไม่ว่าสลับที่ของการบวกอย่างไร ผลลัพธ์ที่ได้จะมีค่าเท่ากัน (ไม่มีสมบัติการสลับที่การลบ เพราะเมื่อสลับที่แล้วได้ค่าไม่เท่ากัน)
ตัวอย่างที่ 1 จงหาผลบวกต่อไปนี้
1) 13 + 5 = 5 + 13 = 18
2) 2 + (-8) = (-8) + 2 = -6
3) (-10) + 3 = 3 + (-10) = -7
4) (-9) + (-4) = (-4) + (-9) = -13
- สมบัติการสลับที่สำหรับการคูณ
ถ้า a และ b แทนจำนวนเต็มใดๆ แล้ว a x b = b x a
เช่น 3 x 5 = 5 x 3
จะเห็นว่า 3 x 5 = 15 และ 5 x 3 = 15
ดังนั้น ไม่ว่าสลับที่ของการคูณอย่างไร ผลที่ได้จะมีค่าเท่ากัน (ไม่มีสมบัติการสลับที่การหาร เพราะเมื่อสลับที่แล้วได้ค่าไม่เท่ากัน)
ตัวอย่างที่ 2 จงหาผลคูณต่อไปนี้
1) 5 x 4 = 4 x 5 = 20
2) (-10) x 3 = 3 x (-10) = -30 (ลบคูณบวกได้ลบ)
3) 5 x (-8) = (-8) X 5 = -40 (บวกคูณลบได้ลบ)
4) (-7) x (-5) = (-5) x (-7) = 35 (ลบคูณลบได้บวก)
ในทางคณิตศาสตร์ สมบัติการสลับที่ของจำนวนเต็ม คือ การเปลี่ยนแปลงตำแหน่งของจำนวนเต็ม โดยไม่ทำให้ผลลัพธ์สุดท้ายเปลี่ยนแปลง
สรุป เครื่องหมายเหมือนกันคูณกันได้บวก เครื่องหมายต่างกันคูณกันได้ลบ
สมบัติการเปลี่ยนหมู่
- สมบัติการเปลี่ยนหมู่สำหรับการบวก
ถ้า a, b และ c แทนจำนวนเต็มใดๆ แล้ว (a + b) + c = a + (b + c)
เช่น (5 + 3) + 2 = 5 + (3 + 2)
จะเห็นว่า (5 + 3) + 2 = 10 และ 5 + (3 + 2) = 10
ดังนั้น ไม่ว่าจะเปลี่ยนหมู่ของการบวกอย่างไร ผลที่ได้จะมีค่าเท่ากัน
ตัวอย่างที่ 3 จงหาผลบวกต่อไปนี้
1) (15 + 5) + 8 = 15 + (5 + 8) = 28
2) [10 + (-7)] + 9 = 10 + [(-7) + 9] = 12
3) [(-16) + 6] + 5 = (-16) + (6+5) = -5
4) [15 + (-3)] + (-8) = 15 + [(-3) + (-8)] = 4
5) [(-20) + (-10)] + 5 = (-20) + [(-10) + 5] = -25
2. สมบัติการเปลี่ยนหมู่สำหรับการคูณ
ถ้า a, b และ c แทนจำนวนเต็มใดๆ แล้ว (a x b) x c = a x (b x c)
เช่น (5 x 3) x 2 = 30 = 5 x (3 x 2)
จะเห็นว่า (5 x 3) x 2 = 30 และ 5 x (3 x 2) = 30
ดังนั้น ไม่ว่าจะเปลี่ยนหมู่ของการคูณอย่างไร ผลที่ได้จะมีค่าเท่ากัน
ตัวอย่างที่ 4 จงหาผลคูณต่อไปนี้
1) (10 x 2) x 3 = 10 x (2 x 3) = 60
2) [(-8) x 5] x 2 = (-8) x (5 x 2) = -80
3) [4 x (-5)] x 5 = 4 x [(-5) x 5 = -100
4) [3 x (-4)] x (-2) = 3 x [(-4) x (-2)] = 24
5) [(-4) x (-2)] x 5=(-4) x [(-2) x 5] = 40
สมบัติการเปลี่ยนหมู่ของจำนวนสามจำนวนที่นำมาคูณกัน จะคูณจำนวนที่หนึ่งกับจำนวนที่สอง หรือคูณ
จำนวนที่สองกับจำนวนที่สามก่อน แล้วจึงคูณกับจำนวนที่เหลือ ผลคูณย่อมเท่ากัน
สมบัติการแจกแจง
ถ้า a, b และ c แทนจำนวนเต็มใดๆ แล้ว a x (b + c) = (a x b) + (a x c) และ
( b + c) x a = (b x a) + (c x a)
เช่น 2 x (5 + 3) = 16 = (2 x 5) + (2 x 3)
จะเห็นว่า 2 x (5 + 3) = 16 และ (2 x 5) + (2 x 3) = 16
ดังนั้น สมบัติการแจกแจงจึงเป็นความสัมพันธ์ระหว่างการบวกและการคูณ
ตัวอย่างที่ 5 จงหาผลคูณต่อไปนี้
1) 2 x (5 + 7)
= (2 x 5) + (2 x 7)
= 10 + 14
= 24
2) (-3) x (4 + 6)
= [(-3) x 4] + [(-3) × 6]
= (-12) + (-18)
= -30
3) (-5) x [(-2) + 8)=[(-5) x (-2)] + [(-5) x 8]
= 10 + (-40)
= -30
4) (7+3) x 5
= (7X5) + (3×5) = 35 + 15 = 50
5) [(-9) + 3)] x (-3) = [(-9) x (-3)] + [3 x (-3)]
= 27 + (-9)
= 18
สมบัติการแจกแจงจะเป็นการคูณแจงแจงจำนวนเข้าไปในวงเล็บ ซึ่งจะต้องคูณจำนวนทุกจำนวนที่อยู่ในวงเล็บ
สมบัติของหนึ่งและศูนย์
สมบัติของหนึ่ง
– การคูณจำนวนใดๆ ด้วยหนึ่ง หรือหนึ่งคูณจำนวนใดๆ จะได้ผลคูณเท่ากับจำนวนนั้นเสมอ
เช่น 87 x 1 = 87
หรือ 1 x 87 = 87
ตัวอย่างที่ 6 จงหาผลลัพธ์ต่อไปนี้
1) 1 x 14 = 14
2) (-5) x 1 = -5
3) (-1) x 1 = -1
4) 1 x (-16) = -16
5) 27x (-1) = -27
6) (-34) x 1 = -34
– การหารจำนวนใดๆ ด้วยหนึ่งจะได้ผลหารเท่ากับจำนวนนั้นเสมอ
เช่น 45 ÷ 1 = 45
หรือ = 45
สมบัติของศูนย์
– การบวกจำนวนใดๆ ด้วยศูนย์ หรือการบวกศูนย์ด้วยจำนวนใดๆ จะได้ผลบวก เท่ากับจำนวนนั้นเสมอ
เช่น 87 + 0 = 87
หรือ 0 + 87 = 87
ตัวอย่างที่ 7 จงหาผลบวกต่อไปนี้
1) 12 + 0 = 12
2) 0 + (-23) = -23
3) (-27) + 0 = -27
4) 0 + 0 = 0
– การคูณจำนวนใดๆ ด้วยศูนย์ หรือการคูณศูนย์ด้วยจำนวนใดๆ จะได้ผลคูณเท่ากับจำนวนศูนย์ (ศูนย์คูณอะไรก็ได้ศูนย์)
เช่น 235 x 0 = 0
หรือ 0 x 235 = 0
ตัวอย่างที่ 8 จงหาผลคูณต่อไปนี้
1) 12 X 0 = 0
2) 0 x (-23) = 0
3) (-27) × 0 = 0
4) 0 x 0 = 0
– การหารศูนย์ด้วยจำนวนใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ จะได้ผลหารเท่ากับศูนย์
เช่น 0 ÷ 95 = 0
หรือ = 45
ตัวอย่างที่ 9 จงหาผลหารต่อไปนี้
1) 0 ÷ 23 = 0
2) 0 ÷ (-23) = 0
– ถ้าผลคูณของสองจำนวนใดเท่ากับศูนย์ จำนวนใดจำนวนหนึ่งอย่างน้อยหนึ่งจำนวนต้องเท่ากับศูนย์
เช่น a x b = 0
จะได้ว่า a = 0 หรือ b = 0
ตัวอย่างเพิ่มเติม
ตัวอย่างที่ 10 จงหาผลคูณของ (-5)(6)(-2)
วิธีทำ (-5)(6)(-2) = [(-5)x6] x (-2)
=(-30) x (-2)
= 60 ดังนั้น (-5)(6)(-2) = 60
ตัวอย่างที่ 11 จงหาผลคูณของ 999 X 5
วิธีทำ 999 x 5 = (1000 – 1) x 5
= [1000 + (-1)] x 5
= (1000 x 5)+[(-1) x 5]
= 5000 + (-5)
= 4,995
ดังนั้น 999 x 5 = 4,995
จากตัวอย่างทั้งหมด น้องๆจะเห็นว่ามีสมบัติการบวกและการคูณ แต่จะไม่มีสมบัติการลบและการหาร เพราะว่า การลบจำนวนเต็มก็คือ การบวกด้วยจำนวนเต็มลบ ซึ่งเราจะเรียกว่าสมบัติการบวก ส่วนการหารจำนวนเต็มคือ การนำเศษส่วนมาคูณ เราเรียกว่าสมบัติการคูณ
เมื่อน้องได้เรียนรู้เรื่อง สมบัติของจำนวนเต็ม ซึ่งสมบัติเหล่านี้จะนำมาใช้ในการบวก ลบ คูณ และหาร จำนวนเต็ม ซึ่งน้องๆจะต้องฝึกทำโจทย์อย่างสมำ่เสมอ จึงจะทำให้น้องๆสามารถคำนวณค่าต่างๆได้อย่างรวดเร็วและเป็นระบบ
คลิปวิดีโอ สมบัติของจำนวนเต็ม
คลิปวิดีโอนี้ได้รวบรวมวิธี สมบัติของจำนวนเต็ม ซึ่งเป็นคลิปสั้นๆ ที่สามารถเข้าใจได้ง่าย แฝงไปด้วยสาระความรู้ และเทคนิค รวมถึงการอธิบาย สมบัติของจำนวนเต็ม และสอนวิธีคิดที่จะทำให้วิชาคณิตศาสตร์เป็นเรื่องง่าย
