ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์
ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ จะเกี่ยวข้องกับ θ พิกัดของ จุด (x, y) ซึ่งในบทความนี้จะอธิบายเกี่ยวกับ ความสัมพันธ์ระหว่าง x, y กับ θ
จากบทความที่ผ่านมาเราได้รู้จักวงกลมหนึ่งหน่วยและการวัดความยาวส่วนโค้ง ในบทความนี้น้องๆจะได้รู้จักกับฟังก์ชันไซน์ (sine function) และฟังก์ชันโคไซน์ (cosine function) และวิธีการหาค่าของฟังก์ชันทั้งสอง
Sine function = {(θ, y) | y = sinθ}
cosine function = {(θ, x) | x = cosθ}
จาก P(θ) = (x, y) และจาก x = cosθ และ y = sinθ
จะได้ว่า P(θ) = (cosθ, sinθ)
โดเมนและเรนจ์ของ sine function และ cosine function
โดเมนของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ คือ จำนวนจริง นั่นคือ θ ∈
เรนจ์ของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์คือ [-1, 1] นั่นคือ ค่าของ cosθ และ sinθ จะอยู่ในช่วง [-1, 1]
ความสัมพันธ์ของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์
พิจารณาสมการวงกลมหนึ่งหน่วย (รัศมีเป็น 1) x² + y² = 1
เมื่อแทน x = cosθ และ y = sinθ ในสมการของวงกลมหนึ่งหน่วย
จะได้ว่า (cosθ)² + (sinθ)² = 1 สามารถเขียนได้อีกรูปแบบหนึ่ง คือ
cos²θ + sin²θ = 1
การหา ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์
การหาค่าฟังก์ชันไซน์และโคไซน์นั้น น้องๆจะต้องมีพื้นฐานเรื่องความยาวส่วนโค้งและพิกัดจุดปลายส่วนโค้งพร้อมทั้งรู้เรื่องจตุภาคด้วย น้องๆสามารถดูเนื้อหาได้ที่ >>ความยาวส่วนโค้งของวงกลมหนึ่งหน่วย<<
กำหนดให้ P(θ) = (x, y) และ x = cosθ , y = sinθ
พิจารณา θ = 0 จะได้ว่า พิกัดจุดของ P(0) คือ (1, 0) นั่นคือ P(0) = (1, 0)
ดังนั้น x = 1 และ y = 0 นั่นคือ cos(0) = 1 และ sin(0) = 0
พิจารณาที่ θ = จะได้ว่า P(
) = (0, 1)
ดังนั้น cos( ) = 0 และ sin(
) = 1
พิจารณา θ = จะได้ว่า P(
) = (-1, 0)
ดังนั้น cos( ) = -1 และ sin(
) = 0
พิจารณาที่ θ = จะได้ว่า P(
) = (0, -1)
ดังนั้น cos( ) = 0 และ cos(
) = -1
การหาค่า sinθ cosθ โดยใช้มือซ้าย
- แต่ละนิ้วจะแทนค่าของ θ ดังรูป
- เราจะหาค่าโดยการพับนิ้ว เช่น ต้องการหา sin(
) เราก็จะพับนิ้วนางลง
- เราจะให้นิ้วที่พับลงเป็นตัวแบ่งระหว่าง cos กับ sin ซึ่งจะแบ่งออกเป็นฝั่งซ้ายและฝั่งขวา
- ช่องว่างในรูทคือ จำนวนนิ้วที่เรานับได้เมื่อเราพับนิ้วลง
- หากต้องการค่า sin ให้นำจำนวนนิ้วฝั่งซ้ายมาเติมในรูท
- และหากต้องการค่า cos ให้นำจำนวนนิ้วฝั่งขวามาเติมในรูท
หากน้องๆยังงงๆเรามาดูตัวอย่างกันค่ะ
ต้องการหาค่า cos( ) และ sin(
)
cos( )
จากโจทย์เราต้องการหาค่าโคไซน์ ที่ θ = ซึ่งตรงกับนิ้วกลาง
ดังนั้นเราจึงพับนิ้วกลางลง และหาค่าโคไซน์เราต้องดูจำนวนนิ้วฝั่งขวาซึ่งก็คือนิ้วที่ถูกระบายด้วยสีส้ม จะเห็นว่ามี 2 นิ้ว ดังนั้น cos( ) =
sin( )
จากโจทย์ต้องการหาค่าฟังก์ชันไซน์ ที่ θ = เราจึงพับนิ้วชี้ลง และดูจำนวนนิ้วฝั่งซ้ายซึ่งก็คือนิ้วที่ถูกทาด้วยสีฟ้า ดังนั้น sin(
) =
แล้วสมมติว่า θ เป็นค่าอื่นๆนอกเหนือจากค่าเหล่านี้ล่ะ เช่น เราจะหายังไงดี???
จริงๆแล้วค่าของ นั้นเราสามารถดูของ
ได้เลย แต่!!!! เครื่องหมายอาจจะต่างกัน ให้น้องๆสังเกตว่า ค่าของ
นั้นอยู่ควอดรันต์ที่เท่าไหร่ แล้วน้องจะรู้ว่าค่า x ควรเป็นลบหรือเป็นบวก ค่า y ควรเป็นลบหรือเป็นบวก
อย่างเช่น cos( )
เรามาดูกันว่า θ = อยู่ควอดรันต์เท่าไหร่
จะเห็นว่าอยู่ควอดรันต์ที่ 2 ซึ่ง (- , +) ดังนั้น ค่า x เป็นจำนวนลบ ค่า y เป็นจำนวนบวก และเรารู้ว่า x = cosθ ดังนั้น ค่า cos( ) เป็นจำนวนลบแน่นอน
จากนั้นใช้มือซ้ายเพื่อหาค่า cos โดยใช้ค่า θ = ได้เลย จะได้ว่า cos(
) =
ดังนั้น cos( ) =
นอกจากจะดูหาค่าโดยใช้มือซ้ายแล้ว น้องๆสามารถดูตามรูปด้านล่างนี้ได้เลยค่ะ
ในวงกลมที่ระบายสีฟ้านั้น คือค่าของ θ ซึ่งแต่ละ θ ก็จะบอกพิกัดจุด (x, y) ซึ่งก็คือค่าของ cosθ และ sinθ นั่นเอง
เช่น sin( ) =
และ cos(
) =
ตัวอย่างการหาค่าฟังก์ชันไซน์และโคไซน์
1) หาค่า sin( )
วิธีทำ หาค่า sin( )
จะได้ว่า sin( ) =
จากนั้นดูพิกัดจุดของ P( ) จะได้ว่า อยู่ควอดรันต์ที่ 3 ซึ่ง (- , -) นั่นคือ ค่า x เป็นจำนวนลบ (cosθ เป็นจำนวนลบ) และค่า y เป็นจำนวนลบ
และจาก y = sinθ
ดังนั้น sin( ) =
2) หาค่า sin²( ) + cos²(
)
วิธีทำ จากความสัมพันธ์ของไซน์และโคไซน์ sin²θ + cos²θ = 1
จะได้ว่าค่าของ sin²( ) + cos²(
) = 1
เนื่องจากว่าเราเรียนคณิตศาสตร์เราจะต้องไม่เชื่ออะไรง่ายๆ ดังนั้นเราจะมาหาค่าโดยใช้วิธีตรงกันค่ะ
จาก sin( ) =
จะได้ว่า sin²(
) =
และ cos(
) =
จะได้ว่า cos²(
) =
ดังนั้น +
=
= 1
ดังนั้น สรุปได้ว่า sin²( ) + cos²(
) = 1
3) หาค่า cos²( ) + cos²(
) – cos²(
)
วิธีทำ จาก cos( ) = 0 cos(
) = 0 และ cos(
) = -1
จะได้ว่า cos²( ) = 0 cos²(
) = 0 และ cos²(
) = (-1)² = 1
ดังนั้น cos²( ) + cos²(
) – cos²(
) = 0 + 0 – 1 = -1
น้องๆสามารถหาแบบฝึกหัดมาทำเพิ่มเติมโดยใช้กฎมือซ้ายในการช่วยหาค่าฟังก์ชันแต่ทั้งนี้น้องๆก็ต้องมีพื้นฐานเกี่ยวกับความยาวจุดปลายส่วนโค้งด้วยนะคะ และการหาค่าฟังก์นั้นนี้หากน้องๆทำบ่อยจะทำให้น้องจำได้ และเวลาสอบก็จะช่วยให้ทำข้อสอบได้เร็วยิ่งขึ้นด้วยค่ะ
