ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์

ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์

สารบัญ

Add LINE friends for one click to find article.

ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์

ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ จะเกี่ยวข้องกับ θ พิกัดของ จุด (x, y) ซึ่งในบทความนี้จะอธิบายเกี่ยวกับ ความสัมพันธ์ระหว่าง x, y กับ θ

จากบทความที่ผ่านมาเราได้รู้จักวงกลมหนึ่งหน่วยและการวัดความยาวส่วนโค้ง ในบทความนี้น้องๆจะได้รู้จักกับฟังก์ชันไซน์ (sine function) และฟังก์ชันโคไซน์ (cosine function) และวิธีการหาค่าของฟังก์ชันทั้งสอง

Sine function = {(θ, y) | y = sinθ}

cosine function = {(θ, x) | x = cosθ}

จาก P(θ) = (x, y)  และจาก x = cosθ และ y = sinθ

จะได้ว่า P(θ) = (cosθ, sinθ)

โดเมนและเรนจ์ของ sine function และ cosine function

โดเมนของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ คือ จำนวนจริง นั่นคือ θ ∈ \mathbb{R}

เรนจ์ของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์คือ [-1, 1] นั่นคือ ค่าของ cosθ และ sinθ จะอยู่ในช่วง [-1, 1]

 

ความสัมพันธ์ของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์

พิจารณาสมการวงกลมหนึ่งหน่วย (รัศมีเป็น 1)  x² + y² = 1

เมื่อแทน x = cosθ และ y = sinθ ในสมการของวงกลมหนึ่งหน่วย

จะได้ว่า (cosθ)² + (sinθ)² = 1 สามารถเขียนได้อีกรูปแบบหนึ่ง คือ

cos²θ + sin²θ = 1

การหา ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์

การหาค่าฟังก์ชันไซน์และโคไซน์นั้น น้องๆจะต้องมีพื้นฐานเรื่องความยาวส่วนโค้งและพิกัดจุดปลายส่วนโค้งพร้อมทั้งรู้เรื่องจตุภาคด้วย น้องๆสามารถดูเนื้อหาได้ที่ >>ความยาวส่วนโค้งของวงกลมหนึ่งหน่วย<<

ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์

กำหนดให้ P(θ) = (x, y) และ x = cosθ , y = sinθ

พิจารณา θ = 0 จะได้ว่า พิกัดจุดของ P(0) คือ (1, 0) นั่นคือ P(0) = (1, 0)

ดังนั้น x = 1 และ y = 0 นั่นคือ cos(0) = 1 และ sin(0) = 0

พิจารณาที่ θ = \frac{\pi }{2} จะได้ว่า P( \frac{\pi }{2} ) = (0, 1)

ดังนั้น cos( \frac{\pi }{2} ) = 0 และ sin( \frac{\pi }{2} ) = 1

พิจารณา θ = \pi จะได้ว่า P( \pi) = (-1, 0)

ดังนั้น cos( \pi) = -1 และ sin( \pi) = 0

พิจารณาที่ θ = \frac{3\pi }{2} จะได้ว่า P( \frac{3\pi }{2} ) = (0, -1)

ดังนั้น cos( \frac{3\pi }{2} ) = 0 และ cos( \frac{3\pi }{2} ) = -1

การหาค่า sinθ cosθ โดยใช้มือซ้าย

ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์

  • แต่ละนิ้วจะแทนค่าของ θ ดังรูป
  • เราจะหาค่าโดยการพับนิ้ว เช่น ต้องการหา sin( \frac{\pi }{3} ) เราก็จะพับนิ้วนางลง
  • เราจะให้นิ้วที่พับลงเป็นตัวแบ่งระหว่าง cos กับ sin ซึ่งจะแบ่งออกเป็นฝั่งซ้ายและฝั่งขวา
  • ช่องว่างในรูทคือ จำนวนนิ้วที่เรานับได้เมื่อเราพับนิ้วลง
  • หากต้องการค่า sin ให้นำจำนวนนิ้วฝั่งซ้ายมาเติมในรูท
  • และหากต้องการค่า cos ให้นำจำนวนนิ้วฝั่งขวามาเติมในรูท

หากน้องๆยังงงๆเรามาดูตัวอย่างกันค่ะ

ต้องการหาค่า cos( \frac{\pi }{4} ) และ sin( \frac{\pi }{6} )

cos( \frac{\pi }{4} )

ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์

จากโจทย์เราต้องการหาค่าโคไซน์ ที่ θ = \frac{\pi }{4} ซึ่งตรงกับนิ้วกลาง

ดังนั้นเราจึงพับนิ้วกลางลง และหาค่าโคไซน์เราต้องดูจำนวนนิ้วฝั่งขวาซึ่งก็คือนิ้วที่ถูกระบายด้วยสีส้ม จะเห็นว่ามี 2 นิ้ว ดังนั้น cos( \frac{\pi }{4} ) = \frac{\sqrt{2}}{2}

 

sin( \frac{\pi }{6} )

ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์

จากโจทย์ต้องการหาค่าฟังก์ชันไซน์ ที่ θ = \frac{\pi }{6} เราจึงพับนิ้วชี้ลง และดูจำนวนนิ้วฝั่งซ้ายซึ่งก็คือนิ้วที่ถูกทาด้วยสีฟ้า ดังนั้น sin( \frac{\pi }{6} ) = \frac{1}{2}

แล้วสมมติว่า θ เป็นค่าอื่นๆนอกเหนือจากค่าเหล่านี้ล่ะ เช่น \frac{2\pi }{3} เราจะหายังไงดี???

จริงๆแล้วค่าของ \frac{2\pi }{3} นั้นเราสามารถดูของ \frac{\pi }{3} ได้เลย แต่!!!! เครื่องหมายอาจจะต่างกัน ให้น้องๆสังเกตว่า ค่าของ \frac{2\pi }{3} นั้นอยู่ควอดรันต์ที่เท่าไหร่ แล้วน้องจะรู้ว่าค่า x ควรเป็นลบหรือเป็นบวก ค่า y ควรเป็นลบหรือเป็นบวก

อย่างเช่น cos( \frac{2\pi }{3} )

เรามาดูกันว่า θ = \frac{2\pi }{3} อยู่ควอดรันต์เท่าไหร่

จะเห็นว่าอยู่ควอดรันต์ที่ 2 ซึ่ง (- , +) ดังนั้น ค่า x เป็นจำนวนลบ ค่า y เป็นจำนวนบวก และเรารู้ว่า x = cosθ ดังนั้น ค่า cos( \frac{2\pi }{3} ) เป็นจำนวนลบแน่นอน

จากนั้นใช้มือซ้ายเพื่อหาค่า cos โดยใช้ค่า θ = \frac{\pi }{3} ได้เลย จะได้ว่า cos( \frac{\pi }{3} ) = \frac{1}{2}

ดังนั้น cos( \frac{2\pi }{3} ) = -\frac{1}{2}

 

นอกจากจะดูหาค่าโดยใช้มือซ้ายแล้ว น้องๆสามารถดูตามรูปด้านล่างนี้ได้เลยค่ะ

ในวงกลมที่ระบายสีฟ้านั้น คือค่าของ θ  ซึ่งแต่ละ θ ก็จะบอกพิกัดจุด (x, y) ซึ่งก็คือค่าของ cosθ และ sinθ นั่นเอง

เช่น sin( \frac{5\pi }{6} ) = \frac{1}{2} และ cos( \frac{5\pi }{6} ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}

ตัวอย่างการหาค่าฟังก์ชันไซน์และโคไซน์

1) หาค่า sin( \frac{7\pi }{6} )

วิธีทำ หาค่า sin( \frac{\pi }{6} )

จะได้ว่า sin( \frac{\pi }{6} ) = \frac{1}{2}

จากนั้นดูพิกัดจุดของ P( \frac{7\pi }{6} ) จะได้ว่า อยู่ควอดรันต์ที่ 3 ซึ่ง (- , -) นั่นคือ ค่า x เป็นจำนวนลบ (cosθ เป็นจำนวนลบ) และค่า y เป็นจำนวนลบ

และจาก y = sinθ

ดังนั้น sin( \frac{7\pi }{6} ) = -\frac{1}{2}

 

2) หาค่า sin²( \frac{\pi }{6} ) + cos²( \frac{\pi }{6} )

วิธีทำ จากความสัมพันธ์ของไซน์และโคไซน์ sin²θ + cos²θ = 1

จะได้ว่าค่าของ sin²( \frac{\pi }{6} ) + cos²( \frac{\pi }{6} ) = 1

เนื่องจากว่าเราเรียนคณิตศาสตร์เราจะต้องไม่เชื่ออะไรง่ายๆ ดังนั้นเราจะมาหาค่าโดยใช้วิธีตรงกันค่ะ

จาก sin( \frac{\pi }{6} ) = \frac{1}{2} จะได้ว่า sin²( \frac{\pi }{6} ) = \frac{1}{4} และ cos( \frac{\pi }{6} ) = \frac{\sqrt{3}}{2} จะได้ว่า cos²( \frac{\pi }{6} ) = \frac{3}{4}

ดังนั้น  \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{4}{4} = 1

ดังนั้น สรุปได้ว่า sin²( \frac{\pi }{6} ) + cos²( \frac{\pi }{6} ) = 1

 

3) หาค่า cos²( \frac{\pi }{2} ) + cos²( \frac{3\pi }{2} ) – cos²( \pi )

วิธีทำ จาก cos( \frac{\pi }{2} ) = 0  cos( \frac{3\pi }{2} ) = 0 และ cos( \pi ) = -1

จะได้ว่า cos²( \frac{\pi }{2} ) = 0  cos²( \frac{3\pi }{2} ) = 0 และ cos²( \pi ) = (-1)² = 1

ดังนั้น cos²( \frac{\pi }{2} ) + cos²( \frac{3\pi }{2} ) – cos²( \pi ) = 0 + 0 – 1 = -1

น้องๆสามารถหาแบบฝึกหัดมาทำเพิ่มเติมโดยใช้กฎมือซ้ายในการช่วยหาค่าฟังก์ชันแต่ทั้งนี้น้องๆก็ต้องมีพื้นฐานเกี่ยวกับความยาวจุดปลายส่วนโค้งด้วยนะคะ และการหาค่าฟังก์นั้นนี้หากน้องๆทำบ่อยจะทำให้น้องจำได้ และเวลาสอบก็จะช่วยให้ทำข้อสอบได้เร็วยิ่งขึ้นด้วยค่ะ

 

NockAcademy คือโรงเรียนออนไลน์สำหรับเด็ก โดยแอปฯ และเว็บไซต์ นักเรียนสามารถเรียนรู้ผ่านคลิปบทเรียนวิชา คณิตศาสตร์ ภาษาอังกฤษ และภาษาไทย
มากไปกว่านั้น เรายังมีคอร์สเรียนออนไลน์ การสอนพิเศษ การติวนอกสถานที่โดยติวเตอร์ที่แน่นไปด้วยความรู้ อีกด้วย

Add LINE friends for one click to find article.
เรียนพิเศษออนไลน์ ดูได้ทั้ง 4 รายวิชา - NockAcademy

แค่ 10 นาที ก็เข้าใจได้

สามารถดูคลิปบทเรียนวิชา คณิตศาสตร์ ภาษาอังกฤษ และภาษาไทย ที่มีมากกว่า 2,000+ คลิป และยังสามารถทำแบบทดสอบที่มีมากกว่า 4000+ ข้อ

แนะนำ

แชร์

Profile

การตั้งประโยคคำถามแบบมีกริยาช่วยนำหน้าและ Wh-questions

สวัสดีค่ะนักเรียนชั้นม.1 ทุกคน วันนี้ครูจะพาไปดู ความแตกต่างของ ประโยคคำถามที่มีกริยาช่วยนำหน้า กับ Wh-questions กันค่ะ พร้อมแล้วก็ไปลุยกันเลย มารู้จักกับกริยาช่วย   Helping verb หรือ Auxiliary verb กริยาช่วย หรือ ภาษาทางการเรียกว่า กริยานุเคราะห์  คือกริยาที่วางอยู่หน้ากริยาหลัก (Main verb) ในประโยค  ทำหน้าที่ช่วยกริยาอื่นให้มีความหมายตาม

การบรรยายลักษณะ และ ความรู้สึก โดยใช้คำคุณศัพท์

การบรรยายลักษณะและความรู้สึก โดยใช้คำคุณศัพท์ Adjective

ทบทวนความหมายและหน้าที่ของคำคุณศัพท์   คำคุณศัพท์หรือ Adjective มีตัวย่อคือ Adj.  ทำหน้าที่ขยายคำนามหรือสรรพนามที่อยู่ในประโยค คำนามหรือสรรพนาม ณ ที่นี้ ก็คือ คน สัตว์ สิ่งของ สถานที่ นั่นเองค่า นอกจากนี้ยังทำหน้าที่ขยายในที่นี้เพื่อบอกให้รู้ว่าคำนามหรือสรรพนามเหล่านั้นมีลักษณะยังไง  และในบทนี้ครูจะพาไปดูการใช้คำคุณศัพท์บอกลักษณะและความรู้สึก (Descriptive Adjective) กันนะคะ ไปลุยกันเลย   การใช้คำคุณศัพท์ (Adjective)

ศึกษาตัวบทโคลนติดล้อ ตอน ความนิยมเป็นเสมียน

โคลนติดล้อ เป็นบทความแสดงความคิดเห็นของพระบาทสมเด็จพระมงกุฎมีเนื้อหาเกี่ยวกับการเมือง การปลุกใจคนไทยให้รักชาติ และมีทั้งฉบับภาษาไทยและฉบับแปลเป็นภาษาอังกฤษ แค่นี้ก็น่าสนใจแล้วใช่ไหมคะ แต่ความดีเด่นของหนังสือเล่มนี้ยังมีอีกมาก บทเรียนในวันนี้จะพาน้อง ๆ ไปเรียนรู้ตัวบทที่สำคัญและคุณค่าของบทความที่ 4 ในเรื่องโคลนติดล้อตอน ความนิยมเป็นเสมียน พร้อม ๆ กันเลยค่ะ   บทเด่นใน โคลนติดล้อ ตอน ความนิยมเป็นเสมียน   บทนี้พูดถึงความนิยมในการเป็นเสมียนของหนุ่มสาวในยุคนั้นที่สนใจงานเสมียนมากกว่าการกลับไปช่วยทำการเกษตรที่บ้านเกิดเพราะเห็นว่าเสียเวลา คิดว่าตัวเองเป็นผู้ได้รับการศึกษาสูง จึงไม่สมควรที่จะไปทำงานที่คนไม่รู้หนังสือก็ทำได้  

เตรียมสอบเข้า ม.1 โรงเรียนสตรีวิทยา

เตรียมสอบเข้า ม.1 โรงเรียนสตรีวิทยากันเถอะ   สวัสดีค่ะ มาพบกับแอดมินและ Nock Academy กับบทความเตรียมสอบเข้าม.1 กันอีกแล้วแต่วันนี้เรามาในบทความการสอบเข้าของโรงเรียนสตรีวิทยา โรงเรียนหญิงล้วนที่มีชื่อเสียงโด่งดังมานานกว่า 118 ปี อีกทั้งยังเคยเป็นสถานศึกษาของสมเด็จย่าและเคยได้รับเสด็จสมเด็จพระราชินีนาถเอลิซาเบธที่ 2 กล่าวได้ว่าเป็นโรงเรียนที่มีความผูกพันธ์กับราชวงศ์ของไทยและเป็นสถานที่ที่เคยต้อนรับราชวงศ์ชั้นสูงมาแล้วอีกด้วย นับเป็นความภาคภูมิใจแก่ผู้ที่ได้เข้าศึกษาที่โรงเรียนแห่งนี้เป็นอย่างมาก ไม่เพียงแต่เรื่องของความเก่าแก่และยาวนานของโรงเรียนที่ทำให้โรงเรียนสตรีวิทยานั้นเป็นที่รู้จัก แต่ในด้านของวิชาการก็มีความเข้มข้นและการแข่งขันที่สูงด้วยเช่นเดียวกัน โรงเรียนสตรีวิทยาในปัจจุบันมีการเรียนการสอนตั้งแต่ระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 1 ไปจนถึงมัธยมศึกษาปีที่ 6 ถือได้ว่าเป็นโรงเรียนมัธยมขนาดใหญ่ มีอัตราการสอบเข้าศึกษาที่สูงมากในแต่ละปี

สถิติ (ค่ากลางของข้อมูล/การกระจายของข้อมูล)

บทความนี้ได้รวบรวมความรู้เรื่อง ค่ากลางของข้อมูลและการกระจายของข้อมูล ซึ่งค่ากลางของข้อมูลจะประกอบด้วย ค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยม ส่วนการวัดการกระจายของข้อมูลจะศึกษาในเรื่องการหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ซึ่งน้องๆสามารถทบทวน การนำเสนอข้อมูลในรูปตารางแจกแจงความถี่ ได้ที่  ⇒⇒  การนำเสนอข้อมูลในรูปตารางแจกแจงความถี่ ⇐⇐ หมายเหตุ ค่าเฉลี่ยในทางคณิตศาสตร์มีหลายชนิด แต่ที่นิยมใช้คือค่าเฉลี่ยเลขคณิต การวัดค่ากลางของข้อมูล  เป็นการหาค่ากลางมาเป็นตัวแทนของข้อมูลแต่ละชุด ซึ่งมีวิธีการหาได้หลายวิธีที่นิยมกัน ได้แก่ ค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน ฐานนิยม ค่าเฉลี่ยเลขคณิต (Arithmetic

การวัด

การวัดและความเป็นมาของการวัด

ในบทความนี้เราจะได้เรียนรู้ความเป็นมาของการวัดในหลายๆมิติ จนกระทั่งวิวัฒนาการที่ทำให้ได้ความแม่นยำในการวัดอย่างเป็นมาตรฐานมากขึ้นเรื่อยๆ

Nockacademy web logo 3

ทดลองฟรี!

และรับข่าวสารข้อมูลเพิ่มเติม ง่าย ๆ เพียงแค่แอด LINE

Nockacademy web logo 3

ทดลองฟรี!

รับข่าวสารข้อมูลเพิ่มเติม ง่าย ๆ เพียงแค่แอด LINE​