ตัวบ่งปริมาณและค่าความจริงของตัวบ่งปริมาณ

ตัวบ่งปริมาณ

สารบัญ

Add LINE friends for one click to find article.

ตัวบ่งปริมาณ

ตัวบ่งปริมาณ คือ สัญลักษณ์หรือข้อความที่เมื่อเราเอาไปเติมใน “ประโยคเปิด” แล้วจะทำให้ประโยคนั้นกลายเป็นประพจน์

ประโยคเปิด คือประโยคบอกเล่าหรือปฏิเสธที่ติดค่าตัวแปรที่ยัง “ไม่รู้ว่าเป็นจริงหรือเท็จ” โดยตัวแปรนั้นเป็นสมาชิกของเอกภพสัมพัทธ์ (Universe : U)

ประโยคเปิด ยังไม่ใช่ประพจน์ (แต่เกือบเป็นแล้ว) เพราะเรายังไม่รู้ว่าเป็นจริงหรือเท็จ

เช่น  “x มากกว่า 3” จะเห็นว่าตัวแปร คือ x ซึ่งเราไม่รู้ว่า x คืออะไร และมากกว่า 3 จริงไหม ดังนั้น ข้อความนี้ยังไม่เป็นประพจน์

เราจะกำหนดให้ P(x) เป็นประโยคเปิดใดๆ

เราสามารถทำประโยคเปิดให้เป็น “ประพจน์” ได้ 2 วิธี คือ

1. นำสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์ แทนค่าตัวแปรลงไป

เช่น x มากกว่า 3 โดยเอกภพสัมพัทธ์ คือ จำนวนเต็ม

จะเห็นว่า ถ้าเราให้ x เท่ากับ 2 (ซึ่ง 2 เป็นสมาชิกของเอกภพสัมพัทธ์) เราจะได้ว่า ประโยค 2 มากกว่า 3 เป็นเท็จ ดังนั้น ประโยคดังกล่าวจึงเป็นประพจน์

2.) เติม “ตัวบ่งปริมาณ” ซึ่งมีอยู่ 2 ชนิด คือ

2.1) x (อ่านว่า for all x) ใช้แทนคำว่า “สำหรับ x ทุกตัว” คำที่มีความหมายเดียวกับ x ที่เราเห็นกันบ่อยๆ เช่น สำหรับ x ใดๆ, สำหรับ x แต่ละตัว

2.2) x (อ่านว่า for some x)ใช้แทนคำว่า “มี x บางตัว” คำที่เรามักเจอและมีความหมายเหมือน x เช่น มี x อย่างน้อย 1 ตัว

วิธีการเขียนตัวบ่งปริมาณ

เราจะให้ P(x) แทนประโยคเปิด เราจะใช้สัญลักษณ์ xP(x) และ xP(x) 

สมมติถ้าให้ P(x) แทน x+2 ≥ 2 และให้ U ∈ \mathbb{R} เมื่อ \mathbb{R} เป็นเซตของจำนวนจริง

จะได้ x[x+2 ≥ 2] อ่านว่า สำหรับ x ทุกตัว ที่ x+2 ≥ 2

และจะได้ x[x+2 ≥ 2]  อ่านว่า มี x บางตัว ที่ x+2 ≥ 2

**ค่า x ที่จะเอามาพิจารณาได้คือ เลขใดก็ได้ที่เป็นจำนวนจริง แต่!!! ค่าความจริงจะเป็นจริงหรือเท็จนั้นก็อีกเรื่องนะคะ**

ตัวบ่งปริมาณกับตัวเชื่อม

จากที่เรารู้กันว่า เราสามารถเชื่อมประพจน์สองประพจน์โดยใช้ตัวเชื่อมแล้วได้ประพจน์ใหม่ขึ้นมา เรื่องนี้ก็เหมือนกันค่ะ เราสามารถเชื่อมประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณโดยใช้ตัวเชื่อมที่เคยเรียนมา

มาดูตัวอย่างกันเลยดีกว่าค่ะ

ตัวอย่างที่ 1

กำหนดให้ U = \mathbb{R} เมื่อ \mathbb{R} เป็นเซตของจำนวนจริง

P(x) แทน x เป็นจำนวนนับ

Q(x) แทน x เป็นจำนวนจริง

ข้อความต่อไปนี้มีความหมายเหมือนกัน

  • จำนวนนับทุกตัวเป็นจำนวนจริง
  • สำหรับ x ทุกตัว ถ้า x เป็นจำนวนนับแล้ว x เป็นจำนวนจริง
  • สำหรับ x ทุกตัว ถ้า P(x )แล้ว Q(x )
  • x[P(x) → Q(x)]

ตัวอย่างที่ 2

กำหนดให้

P(x) แทน x เป็นจำนวนตรรกยะ

Q(x) แทน x เป็นจำนวนเฉพาะ

ข้อความต่อไปนี้มีความหมายเหมือนกัน

  • “มี” จำนวนตรรกยะบางตัว “ไม่ใช่” จำนวนเฉพาะ
  • มี x บางตัวซึ่ง P(x) และ ∼Q(x)
  • ∃x[P(x) ∧ ∼Q(x)]

ตัวอย่างของการใช้ ∀ และ  

1.) ให้ P(x) แทน 2x ≥ 10 และ U= {1,3,5,7,9}

ค่า x ที่สามารถแทนลงใน 2x ≥ 10 คือสมาชิกทุกตัวใน U

จากโจทย์ จะได้ว่า ∃x[2x ≥ 10] หมายความว่า มี x บางตัวที่ทำให้ 2x ≥ 10 เป็นจริง

 

2.) ให้ P(x) แทน x² + 2x – 8 = 0  และ U = {-4, 2}

จากโจทย์ จะได้ว่า ∀x[x² + 2x – 8 = 0] หมายความว่า x ทุกตัวใน U ทำให้สมการ x² + 2x – 8 = 0 เป็นจริง

 

ข้อความที่กำหนดให้ต่อไปนี้ ใช้กับข้อที่ 3-5

P(x) แทน x เป็นจำนวนเต็ม

Q(x) แทน x เป็นจำนวนตรรกยะ

E(x) แทน x เป็นจำนวนเต็มคู่

A(x) แทน x  เป็นจำนวนเต็มคี่

3.) จากข้อความข้างต้นสามารถสรุปอะไรได้บ้าง

  • จำนวนเต็มทุกตัวเป็นจำนวนตรรกยะ
  • จำนวนเต็มทุกตัวเป็นจำนวนเต็มคู่หรือจำนวนเต็มคี่

4.) นำคำตอบจากข้อ 3 มาเขียนเป็นสัญลักษณ์

  • จำนวนเต็มทุกตัวเป็นจำนวนตรรกยะ (หมายความว่า สำหรับทุก x ถ้า x เป็นจำนวนเต็มแล้ว x เป็นจำนวนตรรกยะ)

สามารถเขียนสัญลักษณ์ได้ ดังนี้ ∀x[P(x) → Q(x)]

  • จำนวนเต็มทุกตัวเป็นจำนวนคู่หรือจำนวนคี่ (หมายความว่า สำหรับทุก x ถ้า x เป็นจำนวนเต็มแล้ว x เป็นจำนวนเต็มคู่ หรือ จำนวนเต็มคี่)

สามารถเขียนสัญลักษณ์ได้ ดังนี้ ∀x[ P(x) → (E(x) ∨ A(x)) ]

5.) เขียนประโยคจากสัญลักษณ์ที่กำหนดให้

  1. ∃x[Q(x) ∧ P(x)] : มี x บางตัวที่เป็นจำนวนตรรกยะ และ เป็นจำนวนเต็ม
  2. ∃x[E(x) ∧ ∼A(x)] : มีจำนวนเต็มคู่บางตัวซึ่งไม่เป็นจำนวนเต็มคี่

ค่าความจริงของตัวบ่งปริมาณ

 

สำหรับ ∀

  • ∀xP(x) จะมีค่าความจริงเป็น จริง ก็ต่อเมื่อ แทนค่า x ด้วยสมาชิกจากเอกภพสัมพัทธ์ทุกครั้ง P(x) ก็ยังเป็นจริง

เช่น ให้ P(x) แทน x² + 2x – 8 = 0  และ เอกภพสัมพัทธ์ (U) = {-4, 2}

จากตัวอย่างจะเห็นว่า เมื่อเราแทน x ด้วย -4 (ซึ่งเป็นสามาชิกใน U) จะได้ 16 – 8 – 8 = 0 ดังนั้น P(x) จริง

เมื่อแทน x ด้วย 2 (ซึ่งเป็นสมาชิกใน U) จะได้ 4 + 4 – 8 = 0 ดังนั้น P(x) จริง

ดังนั้น ∀xP(x) มีค่าความจริงเป็นจริง

  • ∀xP(x) จะมีค่าความจริงเป็น เท็จ ก็ต่อเมื่อ มีบางตัวใน U ที่เมื่อแทนค่าใน P(x) เป็นเท็จ

เช่น  ให้ P(x) แทน 2x ≥ 10 และ U= {1,3,5,7,9}

ถ้าเราแทนค่า x ด้วย 5, 7, 9 เห็นได้ชัดว่า P(x) เป็นจริง

เมื่อเราลองแทน x ด้วย 1 จะเห็นว่า 2(1) ≥ 10 เป็นเท็จ

ดังนั้นเราสรุปได้เลยว่า ∀xP(x) มีค่าความจริงเป็นเท็จ

สำหรับ ∃

  • ∃xP(x) จะมีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ มีสมาชิกบางตัวใน U ที่เมื่อแทนค่าใน P(x) แล้วทำให้เป็นจริง (อาจจะมีแค่ 1 ตัว หรือทุกตัวก็ได้นะจ๊ะ)

เช่น ให้ P(x) แทน 2x ≥ 10 และ U= {1,3,5,7,9}

จะเห็นว่า เมื่อแทนค่า x ด้วย 5, 7, 9 จะเห็นว่า  P(5) = 2(5) ≥ 10 , P(7) = 2(7) ≥ 10 และ P(9) = 2(9) ≥ 10 เป็นจริง

ดังนั้น ∃xP(x) มีค่าความจริงเป็นจริง

  • ∃xP(x) จะมีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ แทนค่าสมาชิกใน U แล้วทำให้ P(x) เป็น “เท็จทุกกรณี”

เช่น ให้ P(x) แทน 2x ≤ 10 และ U= {5,7,9}

จะเห็นว่า เมื่อเราแทนค่า x ด้วย 5 , 7, 9 ลงใน 2x ≤ 10 จะได้ว่า P(x) เป็นเท็จทุกกรณี

ดังนั้น ∃xP(x) มีค่าความจริงเป็นเท็จ

ค่าความจริงของ “ตัวบ่งปริมาณ” กรณีที่ประโยคเปิดมี 2 ตัวแปร

 

ในกรณีที่ประโยคเปิดมี 2 ตัวแปร เราจะใช้สัญลักษณ์ P(x, y) และเมื่อเราเติมตัวบ่งปริมาณลงไปแล้ว จะได้ประพจน์ 4 ประพจน์ที่เป็นไปได้ ดังนี้

ให้ a∈ U

  1. ∀x∀y P(x, y)

เป็นจริง ก็ต่อเมื่อ นำสมาชิก a ทุกตัวของ U  มาแทนค่าใน x แล้วทำให้  \forall yP(a, y) เป็นจริง

เป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ มี a บางตัวของ U แทนค่าใน x แล้วทำให้  \forall yP(a, y) เป็นเท็จ

2.∃x∃y P(x, y)

เป็นจริง ก็ต่อเมื่อ มี a บางตัวของ U ที่แทนค่าใน x แล้วทำให้  \exists yP(a, y) เป็นจริง

เป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ นำสมาชิก a ทุกตัวของ U  มาแทนค่าใน x แล้วทำให้  \exists yP(a, y) เป็นเท็จ

3.∀x∃y P(x, y)

เป็นจริง ก็ต่อเมื่อ นำสมาชิก a ทุกตัวของ U  มาแทนค่าใน x แล้วทำให้  \exists yP(a, y) เป็นเป็นจริง

เป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ มี a บางตัวของ U ที่แทนค่าใน x แล้วทำให้  \exists yP(a, y) เป็นเท็จ

4.∃x∀y P(x, y)

เป็นจริง ก็ต่อเมื่อ มี a บางตัวของ U แทนค่าใน x แล้วทำให้  \forall yP(a, y) เป็นจริง

เป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ นำสมาชิก a ทุกตัวของ U  มาแทนค่าใน x แล้วทำให้  \forall yP(a, y) เป็นเท็จ

 

ถ้าน้องๆอ่านแล้วยังงงๆเราลองมาดูตัวอย่างกันค่ะ

ตัวอย่างโจทย์เกี่ยวกับค่าความจริงของตัวบ่งปริมาณ

 

พิจารณาประพจน์ต่อไปนี้ว่าเป็นจริงหรือเท็จ

ให้ U เป็นเซตของจำนวนเต็ม

1.) ∀x[x ≠ x²]

แนวคำตอบ เป็นเท็จ เพราะ เมื่อ แทน x = 1 จะเห็นว่า 1 = 1²

2.) ∃x[x² ≥ 0]

แนวคำตอบ เป็นจริง เพราะ เมื่อเราลองแทนค่า x = 1 จะเห็นว่า 1² ≥ 0 (∃ : เป็นจริงแค่กรณีเดียวก็ถือว่าประพจน์เป็นจริงแล้ว)

3.) ∃x[x + 2 = x]

แนวคำตอบ เป็นเท็จ เพราะ ในระบบจำนวนจริงนั้น มีแค่ x + 0 = x ดังนั้น จึงไม่มี x ที่ทำให้ x +2 = 0

 

พิจารณาประพจน์ต่อไปนี้ว่าเป็นจริงหรือเท็จ

ให้ U = {-1, 0, 1}

1.) ∀x∀y[x² – y = y² – x] (หมายความว่า x ทุกตัว ทำให้ y ทุกตัวเป็นจริง)

แนวคำตอบ เป็นเท็จ เพราะ เมื่อแทน x = -1 และ y = 1 จะได้ (-1)²- 1 = 1² – (-1)  ⇒  1 – 1  = 1 + 1 ⇒ 0 = 1 (เป็นเท็จ)

**∀ : เป็นเท็จแค่กรณีเดียวก็ถือว่าเป็นประพจน์นั้นเป็นเท็จ

วิธีคิดอย่างละเอียด :

ตัวบ่งปริมาณ

แต่สำหรับคนที่เชี่ยวชาญแล้ว เพื่อเป็นการประหยัดเวลา ให้เราลองคิดว่ากรณีไหนบ้างที่จะทำให้เป็นเท็จ แล้วลองแทนค่า x y แค่กรณีนั้นก็พอ ถ้าได้คำตอบออกมาเป็นเท็จจริงก็สามารถสรุปได้เลย

 

2.) ∀x∃y[x² – y = y² – x] (หมายความว่า x ทุกตัว ทำให้ y บางตัวเป็นจริง)

แนวคำตอบ เป็นจริง เพราะ เมื่อแทน -1, 0 และ 1 ใน x แล้วจะได้

จะเห็นว่ามีสมาชิกบางตัวของ U ที่เมื่อแทนค่าลงใน y แล้วเป็นจริง

 

3.) ∃x∀y[x² – y ≠ y² – x] (หมายความว่า มี x บางตัว ที่ทำให้ y ทุกตัวเป็นจริง)

แนวคำตอบ เป็นเท็จ เพราะ

4.) ∃x∃y[2x + 1 ≤ y] (หมายความว่า มี x บางตัว ที่ทำให้ y บางตัวเป็นจริง)

แนวคำตอบ เป็นจริงเพราะ เมื่อลองแทน x = -1 และ y = 1 จะได้ 2(-1) + 1 ≤ 1  ⇒  -2 + 1 ≤ 1  ⇒  -1 ≤ 1 (เป็นจริง)

 

สรุป

  1. ตัวบ่งปริมาณ มี 2 ชนิด คือ ∀ (ทุกตัว) ∃ (บางตัว)
  2. เราสามารถเชื่อมประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณ 2 ประพจน์ได้ โดยใช้ตัวเชื่อมของประพจน์
  3. กรณี 1 ตัวแปร การหาค่าความจริงจะไม่ซับซ้อนมาก
  4. กรณี 2 ตัวแปร การหาค่าความจริงค่อนข้างซับซ้อน ให้แทนค่าใน x ก่อน แล้วค่อยแทนค่าใน y ทีหลัง
  5. แน่นอนค่ะ อะไรที่ง่ายๆ จะไม่ค่อยออกสอบ(แต่ก็ไม่ได้แปลว่าจะไม่ออกนะคะ) ดังนั้น ให้ศึกษากรณี 2 ตัวแปรให้เยอะๆนะคะ เพราะถ้าทำ 2 ตัวแปรได้ 1 ตัวแปรก็คงชิลๆแล้วค่ะ

 

 

 

 

NockAcademy คือโรงเรียนออนไลน์สำหรับเด็ก โดยแอปฯ และเว็บไซต์ นักเรียนสามารถเรียนรู้ผ่านคลิปบทเรียนวิชา คณิตศาสตร์ ภาษาอังกฤษ และภาษาไทย
มากไปกว่านั้น เรายังมีคอร์สเรียนออนไลน์ การสอนพิเศษ การติวนอกสถานที่โดยติวเตอร์ที่แน่นไปด้วยความรู้ อีกด้วย

Add LINE friends for one click to find article.
เรียนพิเศษออนไลน์ ดูได้ทั้ง 4 รายวิชา - NockAcademy

แค่ 10 นาที ก็เข้าใจได้

สามารถดูคลิปบทเรียนวิชา คณิตศาสตร์ ภาษาอังกฤษ และภาษาไทย ที่มีมากกว่า 2,000+ คลิป และยังสามารถทำแบบทดสอบที่มีมากกว่า 4000+ ข้อ

แนะนำ

แชร์

สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

ในบทความนี้นักเรียนจะได้เรียนรู้สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่ทำให้เข้าใจง่ายและมีวิธีในการวิเคราะห์โจทย์ที่หลากหลาย

รากที่ n ของจำนวนจริง

รากที่ n ของจำนวนจริง และจำนวนจริงในรูปกรณฑ์

รากที่ n ของจำนวนจริง รากที่ n ของจำนวนจริง คือจำนวนจริงตัวหนึ่งยกกำลัง n แล้วเท่ากับ x   เมื่อ n > 1 เราสามารถตรวจสอบรากที่ n ได้ง่ายๆ โดยนิยามดังนี้ นิยาม ให้  x, y เป็นจำนวนจริง และ n

โคลงโลกนิติ

ศึกษาตัวบทและคุณค่าที่แฝงอยู่ในโคลงโลกนิติ

หลังจากที่ได้เรียนรู้ความเป็นมาและเนื้อหาในโคลงโลกนิติกันแล้ว น้อง ๆ ก็คงจะอยากรู้กันแล้วใช่ไหมคะว่าตัวบทในโคลงโลกนิติที่มีอยู่มากมายนั้น มีตัวบทไหนที่เด่น ๆ กันบ้าง วันนี้เรามาศึกษาตัวบทที่น่าสนใจเพื่อทำความเข้าใจถึงคติธรรมและคุณค่าที่อยู่ในเรื่องกันค่ะ โคลงโลกนิติ โคลงโลกนิติเป็นบทประพันธ์ที่มีคำสอนมากมาย ไม่ว่าจะเป็นเรื่องของการคบเพื่อน การปฏิบัติตัวกับพ่อแม่ หรือแม้แต่การดำเนินชีวิตในแต่ละวัน เรามาดูตัวบทเด่น ๆ ที่ควรรู้กันทีละบทเลยนะคะว่าแต่ละบทสอนเรื่องอะไรบ้าง   ศึกษาตัวบท     ความหมาย กล่าวถึงปลาร้าที่มีกลิ่นเหม็น และใบคา แม้ใบคาจะเป็นใบไม้ที่ไม่มีกลิ่นเฉพาะตัว แต่เมื่อนำไปห่อปลาร้าก็จะทำให้มีกลิ่นเหม็นจากปลาร้าติดไปด้วย

เรียนรู้และประเมินคุณค่าบทประพันธ์ อิศรญาณภาษิต

หลังจากครั้งที่แล้ว ที่เราได้เรียนรู้ประวัติความเป็นมา ลักษณะคำประพันธ์ และตัวบทที่สำคัญในเรื่องกันแล้ว ครั้งนี้เรื่องที่น้อง ๆ จะได้เรียนรู้ต่อไปก็คือคุณค่าที่อยู่ใน อิศรญาณภาษิต นั่นเองค่ะ อย่างที่รู้กันว่าวรรณคดีเรื่องนี้อัดแน่นไปด้วยคำสอนและข้อคิดเตือนใจต่าง ๆ มากมาย เพราะงั้นเราไปเรียนรู้กันให้ลึกขึ้นดีกว่านะคะว่าคุณค่าในเรื่องนี้จะมีด้านใดบ้าง ไปดูกันเลยค่ะ   คุณค่าในเรื่องอิศรญาณภาษิต     คุณค่าด้านเนื้อหา   อิศรญาณภาษิต มีเนื้อหาที่เป็นคำสอน ข้อคิดเตือนใจ เพื่อให้คนในสังคมได้ตระหนักถึงการกระทำของตน ว่าทำอย่างไรจึงจะอยู่ร่วมกับผู้อื่นอย่างเป็นปกติสุขได้

โคลนติดล้อ บทความปลุกใจในรัชกาลที่ 6

เป็นที่รู้กันดีกว่าพระบาทสมเด็จพระมงกุฎเกล้าเจ้าอยู่หัว รัชกาลที่ 6 ของเรานั้น ทรงโปรดงานด้านวรรณกรรมมาตั้งแต่ยังเยาว์ และเริ่มงานวรรณกรรมตั้งแต่ยังทรงศึกษาอยู่ที่ประเทศอังกฤษ ทำให้มีผลงานในพระราชนิพนธ์มากมายหลายเรื่อง และแตกต่างกันออกไป ที่ผ่านมาน้อง ๆ คงจะได้เรียนมาหลายเรื่องแล้ว บทเรียนในวันนี้ก็จะพาน้อง ๆ ไปรู้จักกับผลงานของพระองค์อีกเรื่องหนึ่ง แตกต่างจากเรื่องก่อน ๆ ที่เคยเรียนมาอย่างแน่นอน เพราะเรากำลังพูดถึงโคลนติดล้อ ผลงานในพระราชนิพนธ์ที่อยู่ในรูปแบบของบทความ จะมีที่มา มีเนื้อหาที่น่าสนใจอย่างไรบ้างนั้น เราไปติดตามกันเลยค่ะ   ที่มาของ โคลนติดล้อ

การใช้ไวยากรณ์ Past Simple ในการตั้งคำถาม

เกริ่นนำ เกริ่นใจ อดีต ปัจจุบันและอนาคต ทั้งหมดนี้ล้วนแล้วได้รับความสำคัญในหลักไวยากรณ์ของภาษาอังกฤษ เอาเข้าจริง ภาษาไทยของเราเองก็มีอะไรในลักษณะนี้เหมือนกันนะ แต่จะไม่เด่นชัดในรูปประโยคจนรู้สึกว่าซับซ้อนเหมือนภาษาอังกฤษที่เรากำลังเรียน ตัวอย่างเช่น เมื่อวานไปไหนมา….หรือ ฉันไป…มา ในขณะที่ภาษาอังกฤษจะต้องมีการปรับโครงสร้างให้เป็นรูปอดีตด้วยการเปลี่ยนคำกริยาเป็นช่องที่ 2 ตัวอย่างเช่น Where “did” you go yesterday? หรือ I “went to…” เป็นต้น อย่างไรก็ดี

Nockacademy web logo 3

ทดลองฟรี! รับชมคลิปบทเรียนสั้นๆ

และการสอนแบบไลฟ์สดทุกวันเพื่อให้คุณเข้าใจมากขึ้น

Nockacademy web logo 3

ทดลองฟรี! รับชมคลิปบทเรียนสั้นๆ

และการสอนแบบไลฟ์สดทุกวันเพื่อให้คุณเข้าใจมากขึ้น​