ตัวบ่งปริมาณและค่าความจริงของตัวบ่งปริมาณ

ตัวบ่งปริมาณ

สารบัญ

ตัวบ่งปริมาณ

ตัวบ่งปริมาณ คือ สัญลักษณ์หรือข้อความที่เมื่อเราเอาไปเติมใน “ประโยคเปิด” แล้วจะทำให้ประโยคนั้นกลายเป็นประพจน์

ประโยคเปิด คือประโยคบอกเล่าหรือปฏิเสธที่ติดค่าตัวแปรที่ยัง “ไม่รู้ว่าเป็นจริงหรือเท็จ” โดยตัวแปรนั้นเป็นสมาชิกของเอกภพสัมพัทธ์ (Universe : U)

ประโยคเปิด ยังไม่ใช่ประพจน์ (แต่เกือบเป็นแล้ว) เพราะเรายังไม่รู้ว่าเป็นจริงหรือเท็จ

เช่น  “x มากกว่า 3” จะเห็นว่าตัวแปร คือ x ซึ่งเราไม่รู้ว่า x คืออะไร และมากกว่า 3 จริงไหม ดังนั้น ข้อความนี้ยังไม่เป็นประพจน์

เราจะกำหนดให้ P(x) เป็นประโยคเปิดใดๆ

เราสามารถทำประโยคเปิดให้เป็น “ประพจน์” ได้ 2 วิธี คือ

1. นำสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์ แทนค่าตัวแปรลงไป

เช่น x มากกว่า 3 โดยเอกภพสัมพัทธ์ คือ จำนวนเต็ม

จะเห็นว่า ถ้าเราให้ x เท่ากับ 2 (ซึ่ง 2 เป็นสมาชิกของเอกภพสัมพัทธ์) เราจะได้ว่า ประโยค 2 มากกว่า 3 เป็นเท็จ ดังนั้น ประโยคดังกล่าวจึงเป็นประพจน์

2.) เติม “ตัวบ่งปริมาณ” ซึ่งมีอยู่ 2 ชนิด คือ

2.1) x (อ่านว่า for all x) ใช้แทนคำว่า “สำหรับ x ทุกตัว” คำที่มีความหมายเดียวกับ x ที่เราเห็นกันบ่อยๆ เช่น สำหรับ x ใดๆ, สำหรับ x แต่ละตัว

2.2) x (อ่านว่า for some x)ใช้แทนคำว่า “มี x บางตัว” คำที่เรามักเจอและมีความหมายเหมือน x เช่น มี x อย่างน้อย 1 ตัว

วิธีการเขียนตัวบ่งปริมาณ

เราจะให้ P(x) แทนประโยคเปิด เราจะใช้สัญลักษณ์ xP(x) และ xP(x) 

สมมติถ้าให้ P(x) แทน x+2 ≥ 2 และให้ U ∈ \mathbb{R} เมื่อ \mathbb{R} เป็นเซตของจำนวนจริง

จะได้ x[x+2 ≥ 2] อ่านว่า สำหรับ x ทุกตัว ที่ x+2 ≥ 2

และจะได้ x[x+2 ≥ 2]  อ่านว่า มี x บางตัว ที่ x+2 ≥ 2

**ค่า x ที่จะเอามาพิจารณาได้คือ เลขใดก็ได้ที่เป็นจำนวนจริง แต่!!! ค่าความจริงจะเป็นจริงหรือเท็จนั้นก็อีกเรื่องนะคะ**

ตัวบ่งปริมาณกับตัวเชื่อม

จากที่เรารู้กันว่า เราสามารถเชื่อมประพจน์สองประพจน์โดยใช้ตัวเชื่อมแล้วได้ประพจน์ใหม่ขึ้นมา เรื่องนี้ก็เหมือนกันค่ะ เราสามารถเชื่อมประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณโดยใช้ตัวเชื่อมที่เคยเรียนมา

มาดูตัวอย่างกันเลยดีกว่าค่ะ

ตัวอย่างที่ 1

กำหนดให้ U = \mathbb{R} เมื่อ \mathbb{R} เป็นเซตของจำนวนจริง

P(x) แทน x เป็นจำนวนนับ

Q(x) แทน x เป็นจำนวนจริง

ข้อความต่อไปนี้มีความหมายเหมือนกัน

  • จำนวนนับทุกตัวเป็นจำนวนจริง
  • สำหรับ x ทุกตัว ถ้า x เป็นจำนวนนับแล้ว x เป็นจำนวนจริง
  • สำหรับ x ทุกตัว ถ้า P(x )แล้ว Q(x )
  • x[P(x) → Q(x)]

ตัวอย่างที่ 2

กำหนดให้

P(x) แทน x เป็นจำนวนตรรกยะ

Q(x) แทน x เป็นจำนวนเฉพาะ

ข้อความต่อไปนี้มีความหมายเหมือนกัน

  • “มี” จำนวนตรรกยะบางตัว “ไม่ใช่” จำนวนเฉพาะ
  • มี x บางตัวซึ่ง P(x) และ ∼Q(x)
  • ∃x[P(x) ∧ ∼Q(x)]

ตัวอย่างของการใช้ ∀ และ  

1.) ให้ P(x) แทน 2x ≥ 10 และ U= {1,3,5,7,9}

ค่า x ที่สามารถแทนลงใน 2x ≥ 10 คือสมาชิกทุกตัวใน U

จากโจทย์ จะได้ว่า ∃x[2x ≥ 10] หมายความว่า มี x บางตัวที่ทำให้ 2x ≥ 10 เป็นจริง

 

2.) ให้ P(x) แทน x² + 2x – 8 = 0  และ U = {-4, 2}

จากโจทย์ จะได้ว่า ∀x[x² + 2x – 8 = 0] หมายความว่า x ทุกตัวใน U ทำให้สมการ x² + 2x – 8 = 0 เป็นจริง

 

ข้อความที่กำหนดให้ต่อไปนี้ ใช้กับข้อที่ 3-5

P(x) แทน x เป็นจำนวนเต็ม

Q(x) แทน x เป็นจำนวนตรรกยะ

E(x) แทน x เป็นจำนวนเต็มคู่

A(x) แทน x  เป็นจำนวนเต็มคี่

3.) จากข้อความข้างต้นสามารถสรุปอะไรได้บ้าง

  • จำนวนเต็มทุกตัวเป็นจำนวนตรรกยะ
  • จำนวนเต็มทุกตัวเป็นจำนวนเต็มคู่หรือจำนวนเต็มคี่

4.) นำคำตอบจากข้อ 3 มาเขียนเป็นสัญลักษณ์

  • จำนวนเต็มทุกตัวเป็นจำนวนตรรกยะ (หมายความว่า สำหรับทุก x ถ้า x เป็นจำนวนเต็มแล้ว x เป็นจำนวนตรรกยะ)

สามารถเขียนสัญลักษณ์ได้ ดังนี้ ∀x[P(x) → Q(x)]

  • จำนวนเต็มทุกตัวเป็นจำนวนคู่หรือจำนวนคี่ (หมายความว่า สำหรับทุก x ถ้า x เป็นจำนวนเต็มแล้ว x เป็นจำนวนเต็มคู่ หรือ จำนวนเต็มคี่)

สามารถเขียนสัญลักษณ์ได้ ดังนี้ ∀x[ P(x) → (E(x) ∨ A(x)) ]

5.) เขียนประโยคจากสัญลักษณ์ที่กำหนดให้

  1. ∃x[Q(x) ∧ P(x)] : มี x บางตัวที่เป็นจำนวนตรรกยะ และ เป็นจำนวนเต็ม
  2. ∃x[E(x) ∧ ∼A(x)] : มีจำนวนเต็มคู่บางตัวซึ่งไม่เป็นจำนวนเต็มคี่

ค่าความจริงของตัวบ่งปริมาณ

 

สำหรับ ∀

  • ∀xP(x) จะมีค่าความจริงเป็น จริง ก็ต่อเมื่อ แทนค่า x ด้วยสมาชิกจากเอกภพสัมพัทธ์ทุกครั้ง P(x) ก็ยังเป็นจริง

เช่น ให้ P(x) แทน x² + 2x – 8 = 0  และ เอกภพสัมพัทธ์ (U) = {-4, 2}

จากตัวอย่างจะเห็นว่า เมื่อเราแทน x ด้วย -4 (ซึ่งเป็นสามาชิกใน U) จะได้ 16 – 8 – 8 = 0 ดังนั้น P(x) จริง

เมื่อแทน x ด้วย 2 (ซึ่งเป็นสมาชิกใน U) จะได้ 4 + 4 – 8 = 0 ดังนั้น P(x) จริง

ดังนั้น ∀xP(x) มีค่าความจริงเป็นจริง

  • ∀xP(x) จะมีค่าความจริงเป็น เท็จ ก็ต่อเมื่อ มีบางตัวใน U ที่เมื่อแทนค่าใน P(x) เป็นเท็จ

เช่น  ให้ P(x) แทน 2x ≥ 10 และ U= {1,3,5,7,9}

ถ้าเราแทนค่า x ด้วย 5, 7, 9 เห็นได้ชัดว่า P(x) เป็นจริง

เมื่อเราลองแทน x ด้วย 1 จะเห็นว่า 2(1) ≥ 10 เป็นเท็จ

ดังนั้นเราสรุปได้เลยว่า ∀xP(x) มีค่าความจริงเป็นเท็จ

สำหรับ ∃

  • ∃xP(x) จะมีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ มีสมาชิกบางตัวใน U ที่เมื่อแทนค่าใน P(x) แล้วทำให้เป็นจริง (อาจจะมีแค่ 1 ตัว หรือทุกตัวก็ได้นะจ๊ะ)

เช่น ให้ P(x) แทน 2x ≥ 10 และ U= {1,3,5,7,9}

จะเห็นว่า เมื่อแทนค่า x ด้วย 5, 7, 9 จะเห็นว่า  P(5) = 2(5) ≥ 10 , P(7) = 2(7) ≥ 10 และ P(9) = 2(9) ≥ 10 เป็นจริง

ดังนั้น ∃xP(x) มีค่าความจริงเป็นจริง

  • ∃xP(x) จะมีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ แทนค่าสมาชิกใน U แล้วทำให้ P(x) เป็น “เท็จทุกกรณี”

เช่น ให้ P(x) แทน 2x ≤ 10 และ U= {5,7,9}

จะเห็นว่า เมื่อเราแทนค่า x ด้วย 5 , 7, 9 ลงใน 2x ≤ 10 จะได้ว่า P(x) เป็นเท็จทุกกรณี

ดังนั้น ∃xP(x) มีค่าความจริงเป็นเท็จ

ค่าความจริงของ “ตัวบ่งปริมาณ” กรณีที่ประโยคเปิดมี 2 ตัวแปร

 

ในกรณีที่ประโยคเปิดมี 2 ตัวแปร เราจะใช้สัญลักษณ์ P(x, y) และเมื่อเราเติมตัวบ่งปริมาณลงไปแล้ว จะได้ประพจน์ 4 ประพจน์ที่เป็นไปได้ ดังนี้

ให้ a∈ U

  1. ∀x∀y P(x, y)

เป็นจริง ก็ต่อเมื่อ นำสมาชิก a ทุกตัวของ U  มาแทนค่าใน x แล้วทำให้  \forall yP(a, y) เป็นจริง

เป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ มี a บางตัวของ U แทนค่าใน x แล้วทำให้  \forall yP(a, y) เป็นเท็จ

2.∃x∃y P(x, y)

เป็นจริง ก็ต่อเมื่อ มี a บางตัวของ U ที่แทนค่าใน x แล้วทำให้  \exists yP(a, y) เป็นจริง

เป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ นำสมาชิก a ทุกตัวของ U  มาแทนค่าใน x แล้วทำให้  \exists yP(a, y) เป็นเท็จ

3.∀x∃y P(x, y)

เป็นจริง ก็ต่อเมื่อ นำสมาชิก a ทุกตัวของ U  มาแทนค่าใน x แล้วทำให้  \exists yP(a, y) เป็นเป็นจริง

เป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ มี a บางตัวของ U ที่แทนค่าใน x แล้วทำให้  \exists yP(a, y) เป็นเท็จ

4.∃x∀y P(x, y)

เป็นจริง ก็ต่อเมื่อ มี a บางตัวของ U แทนค่าใน x แล้วทำให้  \forall yP(a, y) เป็นจริง

เป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ นำสมาชิก a ทุกตัวของ U  มาแทนค่าใน x แล้วทำให้  \forall yP(a, y) เป็นเท็จ

 

ถ้าน้องๆอ่านแล้วยังงงๆเราลองมาดูตัวอย่างกันค่ะ

ตัวอย่างโจทย์เกี่ยวกับค่าความจริงของตัวบ่งปริมาณ

 

พิจารณาประพจน์ต่อไปนี้ว่าเป็นจริงหรือเท็จ

ให้ U เป็นเซตของจำนวนเต็ม

1.) ∀x[x ≠ x²]

แนวคำตอบ เป็นเท็จ เพราะ เมื่อ แทน x = 1 จะเห็นว่า 1 = 1²

2.) ∃x[x² ≥ 0]

แนวคำตอบ เป็นจริง เพราะ เมื่อเราลองแทนค่า x = 1 จะเห็นว่า 1² ≥ 0 (∃ : เป็นจริงแค่กรณีเดียวก็ถือว่าประพจน์เป็นจริงแล้ว)

3.) ∃x[x + 2 = x]

แนวคำตอบ เป็นเท็จ เพราะ ในระบบจำนวนจริงนั้น มีแค่ x + 0 = x ดังนั้น จึงไม่มี x ที่ทำให้ x +2 = 0

 

พิจารณาประพจน์ต่อไปนี้ว่าเป็นจริงหรือเท็จ

ให้ U = {-1, 0, 1}

1.) ∀x∀y[x² – y = y² – x] (หมายความว่า x ทุกตัว ทำให้ y ทุกตัวเป็นจริง)

แนวคำตอบ เป็นเท็จ เพราะ เมื่อแทน x = -1 และ y = 1 จะได้ (-1)²- 1 = 1² – (-1)  ⇒  1 – 1  = 1 + 1 ⇒ 0 = 1 (เป็นเท็จ)

**∀ : เป็นเท็จแค่กรณีเดียวก็ถือว่าเป็นประพจน์นั้นเป็นเท็จ

วิธีคิดอย่างละเอียด :

ตัวบ่งปริมาณ

แต่สำหรับคนที่เชี่ยวชาญแล้ว เพื่อเป็นการประหยัดเวลา ให้เราลองคิดว่ากรณีไหนบ้างที่จะทำให้เป็นเท็จ แล้วลองแทนค่า x y แค่กรณีนั้นก็พอ ถ้าได้คำตอบออกมาเป็นเท็จจริงก็สามารถสรุปได้เลย

 

2.) ∀x∃y[x² – y = y² – x] (หมายความว่า x ทุกตัว ทำให้ y บางตัวเป็นจริง)

แนวคำตอบ เป็นจริง เพราะ เมื่อแทน -1, 0 และ 1 ใน x แล้วจะได้

จะเห็นว่ามีสมาชิกบางตัวของ U ที่เมื่อแทนค่าลงใน y แล้วเป็นจริง

 

3.) ∃x∀y[x² – y ≠ y² – x] (หมายความว่า มี x บางตัว ที่ทำให้ y ทุกตัวเป็นจริง)

แนวคำตอบ เป็นเท็จ เพราะ

4.) ∃x∃y[2x + 1 ≤ y] (หมายความว่า มี x บางตัว ที่ทำให้ y บางตัวเป็นจริง)

แนวคำตอบ เป็นจริงเพราะ เมื่อลองแทน x = -1 และ y = 1 จะได้ 2(-1) + 1 ≤ 1  ⇒  -2 + 1 ≤ 1  ⇒  -1 ≤ 1 (เป็นจริง)

 

สรุป

  1. ตัวบ่งปริมาณ มี 2 ชนิด คือ ∀ (ทุกตัว) ∃ (บางตัว)
  2. เราสามารถเชื่อมประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณ 2 ประพจน์ได้ โดยใช้ตัวเชื่อมของประพจน์
  3. กรณี 1 ตัวแปร การหาค่าความจริงจะไม่ซับซ้อนมาก
  4. กรณี 2 ตัวแปร การหาค่าความจริงค่อนข้างซับซ้อน ให้แทนค่าใน x ก่อน แล้วค่อยแทนค่าใน y ทีหลัง
  5. แน่นอนค่ะ อะไรที่ง่ายๆ จะไม่ค่อยออกสอบ(แต่ก็ไม่ได้แปลว่าจะไม่ออกนะคะ) ดังนั้น ให้ศึกษากรณี 2 ตัวแปรให้เยอะๆนะคะ เพราะถ้าทำ 2 ตัวแปรได้ 1 ตัวแปรก็คงชิลๆแล้วค่ะ

 

 

 

 

+4
NockAcademy คือโรงเรียนออนไลน์สำหรับเด็ก โดยแอปฯ และเว็บไซต์ นักเรียนสามารถเรียนรู้ผ่านวิดีโอบทเรียนวิชา คณิตศาสตร์ ภาษาอังกฤษ และภาษาไทย มากไปกว่านั้น เรายังมีคอร์สเรียนออนไลน์ การสอนพิเศษ การติวนอกสถานที่โดยติวเตอร์ที่แน่นไปด้วยความรู้ อีกด้วย

แค่ 10 นาที ก็เข้าใจได้

สามารถดูวิดีโอบทเรียนวิชา คณิตศาสตร์ ภาษาอังกฤษ และภาษาไทย ที่มีมากกว่า 2,000+ วิดีโอ และยังสามารถทำแบบทดสอบที่มีมากกว่า 4000+ ข้อ

แนะนำ

แชร์

Share on twitter
Share on facebook
Compound sentences Profile

ประโยคความรวม (Compound Sentence)

  สวัสดีค่ะนักเรียนชั้นม.2 ที่น่ารักทุกคน เจอกันอีกแล้วจร้ากับไวยากรณ์การเขียนภาษาอังกฤษและวันนี้ครูจะพาไปดูเทคนิคการการใช้ประโยคความรวมในภาษาอังกฤษกันค่ะ ซึ่งเป็นไม้เบื่อไม้เมามากกับคนที่ไม่ชอบเขียน  ครูเอาใจช่วยทุกคนค่า ไปลุยกันเลย     ประโยคความรวม (Compound Sentence)   ประโยคความรวม ภาษาอังกฤษคือ Compound Sentence อ่านว่า เคิมพาวดฺ เซนเท่นสฺ เป็นประโยคที่ประกอบด้วยประโยคความเดียวอย่างน้อย 2 ประโยคโดยมีคำเชื่อมระหว่างประโยค เช่น for,

NokAcademy_ม5 Relative Clause

การเรียนเรื่อง Relative Clause

สวัสดีค่ะนักเรียนม. 5 ที่รักทุกคน วันนี้เราจะไปดู Relative clause หรือ อนุประโยคในภาษาอังกฤษ ที่ทำหน้าที่เหมือนกันกับคำคุณศัพท์ (Adjective) ซึ่งมีหน้าที่ขยายคำนามที่อยู่ข้างหน้า  และจะใช้ตามหลัง Relative Pronoun เช่น  who, whom, which, that, และ whose แต่สงสัยมั้ยคะว่าทำไมต้องเรียนเรื่องนี้ ลองดูตัวอย่างประโยคด้านล่างแล้วจะร้องอ๋อมากขึ้น พร้อมข้อสอบ Error

โจทย์ปัญหา ห.ร.ม. และค.ร.น.

โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับ ห.ร.ม. และ ค.ร.น.

บทความนี้เป็นเรื่องการแก้ โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับ ห.ร.ม. และ ค.ร.น ซึ่งโจทย์ที่ได้นำมาเป็นตัวอย่างจะประกอบด้วยการวิเคราะห์โจทย์ปัญหา การเลือกใช้วิธีการแก้โจทย์ปัญหา รวมไปถึงการแสดงวิธีทำอย่างละเอียด หวังว่าน้องๆจะสามารถนำข้อมูลเหล่านี้ไปใช้ได้จริงกับโจทย์ปัญหาในห้องเรียน ซึงเป็นเเรื่องย่อยของ ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ป.6

บทพากย์เอราวัณ

บทพากย์เอราวัณ ที่มาของวรรณคดีพากย์โขนอันทรงคุณค่า

บทนำ สวัสดีน้อง ๆ ทุกคนยินดีต้องรับเข้าสู่เนื้อหาวิชาภาษาไทยที่จะมาให้สาระความรู้ดี ๆ ซึ่งวันนี้เราจะมาเรียนรู้ความเป็นมาของวรรณคดีเรื่องหนึ่งที่มักจะใช้ในการแสดงโขน นั่นก็คือบทพากย์เอราวัณแน่นอนว่าน้อง ๆ ในระดับมัธยมต้นจะต้องได้เรียนเรื่องนี้ เพราะเป็นวรรณคดีอีกเรื่องที่แสดงถึงพระปรีชาสามารถของรัชกาลที่ 2 ในด้านกวีนิพนธ์จากการที่เลือกใช้ถ้อยคำภาษาที่สวยงามเพื่อมาบรรยายถึงลักษณะของช้างเอราวัณได้อย่างดี ดังนั้น ถ้าพร้อมแล้วมาดูกันว่าวันนี้เรามีเนื้อหาที่น่าสนใจอะไรมาฝากน้อง ๆ กันบ้างดีกว่า ประวัติความเป็นมา สำหรับวรรณคดี บทพากย์เอราวัณ เป็นอีกหนึ่งผลงานการพระราชนิพนธ์ในรัชสมัยของพระบาทสมเด็จพระพุทธเลิศหล้านภาลัย (รัชกาลที่ 2) ซึ่งถือเป็นบทที่นิยมนำไปใช้ในการแสดงโขน โดยได้เค้าโครงเรื่องมาจาก “รามายณะ”

เสียงพยัญชนะ

การออกเสียงพยัญชนะต้นคำและพยัญชนะท้ายคำที่ออกเสียงยากในภาษาอังกฤษ

สวัสดีน้องๆ ม.​ 3 ทุกคนนะครับ วันนี้เราจะมาเรียนรู้การออกเสียงพยัญชนะต่างๆ ที่ขึ้นชื่อว่าออกเสียง “ยาก” ในภาษาอังกฤษ จะมีตัวอะไรกันบ้างนั้นเราไปดูกันเลยครับ

การแยกตัวประกอบพหุนาม

การแยกตัวประกอบพหุนาม การแยกตัวประกอบพหุนาม เป็นการแยกตัวประกอบของสมการเพื่อให้ง่ายต่อการหาคำตอบของสมการที่จะต้องเรียนในเนื้อหาถัดไป ในบทความนี้จะพูดถึงพหุนามดีกรี 2 ตัวแปรเดียว พหุนามดีกรี 2 คือ พหุนามที่มีเลขยกกำลังสูงสุด คือ 2 พหุนามดีกรี 2 ตัวแปรเดียว คือ พหุนามที่มีเลขยกกำลังสูงสุดคือ 2 และ มีตัวแปร 1 ตัว เขียนอยู่ในรูป ax² +

ฟรี! ดูวิดีโอบทเรียนสั้นๆ แค่ 10 นาที ก็เข้าใจได้