น้องๆ หลายคนมักมีปัญหากับการแก้โจทย์ปัญหาคณิตศาสตร์ใช่หรือไม่คะ บทความนี้ได้รวบรวม โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับ ห.ร.ม. และ ค.ร.น. พร้อมทั้งแสดงวิธีทำอย่างละเอียด ซึ่งจะทำให้น้องๆมองโจทย์ปัญหาคณิตศาสตร์์เป็นเรื่องง่ายดาย ทั้งนี้ น้องๆอย่าลืมทบทวนวิธีการหา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ป.6 กันด้วยนะคะ รวมถึงทบทวน ตัวประกอบของจำนวนนับ ด้วยนะคะ แต่ก่อนจะไปวิเคราห์โจทย์ปัญหาเรามาทบทวนวิธีการหา ห.ร.ม. กันก่อนคะ
ตัวหารร่วมที่มากที่สุด (ห.ร.ม.) ของจำนวนนับตั้งแต่สองจำนวนขึ้นไป คือ ตัวประกอบร่วมที่มีค่ามากที่สุดที่สามารถหารจำนวนทั้งหมดเหล่านั้นได้ลงตัว มีวิธีการหา ห.ร.ม. 3 วิธี ด้วยกัน คือ การพิจารณาตัวประกอบ การแยกตัวประกอบ และการตั้งหาร ห.ร.ม. สามารถนำไปใช้ในการทอนเศษส่วนให้เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ และนำไปใช้แบ่งสิ่งของที่มีจำนวนไม่เท่ากันออกเป็นส่วนที่เท่ากันและให้มีค่ามากที่สุด
โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับ ห.ร.ม.
โจทย์ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการนำความรู้เรื่อง ห.ร.ม. ไปใช้แก้ปัญหา
ตัวอย่างที่ 1 ทหาร 3 กอง กองละ 78, 91 และ 104 คน ตามลำดับ ถ้าแบ่งทหารออกเป็นหมู่ ๆ ละเท่ากัน จะได้ทหารมากที่สุดหมู่ละกี่คน
(มีคีย์เวิร์ด คำว่า มากที่สุด ตัวอย่างที่ 1 จึงแก้ปัญหาโดยใช้ ห.ร.ม.)
วิธีทำ แบ่งทหารออกเป็นหมู่ๆ ละเท่า ๆ กันและให้ได้ทหารมากที่สุด นั่นคือหา ห.ร.ม. ของ 78, 91 และ 104
หา ห.ร.ม. ของ 78, 91 และ 104 จะได้
13 ) 78 91 104
6 7 8
ห.ร.ม. ของ 78, 91 และ 104 คือ 13
ดังนั้น จะแบ่งทหารได้มากที่สุดหมู่ละ 13 คน
ตัวอย่างที่ 2 มีฝรั่ง 48 ผล ชมพู่ 84 ผล และส้ม 60 ผล ต้องการแบ่งผลไม้ออกเป็นกอง ๆ ละเท่า ๆ กัน ให้แต่ละกองมีจำนวนมากที่สุดและไม่เหลือเศษ โดยที่ผลไม้แต่ละชนิดไม่ปะปนกัน จะแบ่งผลไม้เหล่านี้ได้ทั้งหมดกี่กอง
(มีคีย์เวิร์ด คำว่า มากที่สุด ตัวอย่างที่ 2 จึงแก้ปัญหาโดยใช้ ห.ร.ม.)
วิธีทำ มีฝรั่ง 48 ผล ชมพู่ 84 ผล และส้ม 60 ผลต้องการแบ่งผลไม้ออกเป็นกอง ๆ ละเท่าๆ กัน ให้แต่ละกองมีจำนวนมากที่สุดและไม่เหลือเศษ นั่นคือหา ห.ร.ม. ของ 48, 84 และ 60
หา ห.ร.ม. ของ 48, 84 และ 60 จะได้
3 )48 84 60
2 ) 16 28 20
2 ) 8 14 10
4 7 5
นั่นคือ ห.ร.ม. ของ 48, 84 และ 60 คือ 3 x 2 x 2 = 12
ดังนั้น จะต้องแบ่งผลไม้ออกเป็นกอง กองละ 12 ผล เท่า ๆ กัน
จะแบ่งฝรั่งที่มี 48 ผล ออกเป็นกอง ๆ ละ 12 ผล เท่า ๆ กันได้ 48 ÷ 12 = 4 กอง
จะแบ่งชมพู่ที่มี 84 ผลออกเป็นกอง ๆ ละ 12 ผล เท่า ๆ กันได้ 84 ÷ 12 = 7 กอง
จะแบ่งส้มที่มี 60 ผลออกเป็นกอง ๆ ละ 12 ผล เท่า ๆ กันได้ 60 ÷ 12 = 5 กอง
เพราะฉะนั้นจะแบ่งผลไม้แต่ละชนิดโดยไม่ปะปนกันได้ทั้งหมด 4 + 7 + 5 = 16 กอง
ตัวอย่างที่ 3 จงหาจำนวนนับที่มากที่สุดที่หาร 267, 168 และ 201 แล้วเหลือเศษ 3 เท่ากัน
(มีคีย์เวิร์ด คำว่า มากที่สุด ตัวอย่างที่ 3 จึงแก้ปัญหาโดยใช้ ห.ร.ม.)
วิธีทำ จำนวนที่หาร 267 แล้วเหลือเศษ 3 คือจำนวนที่หาร 267 – 3 = 264 ลงตัว
จำนวนที่หาร 168 แล้วเหลือเศษ 3 คือจำนวนที่หาร 168 – 3 = 165 ลงตัว
จำนวนที่หาร 201 แล้วเหลือเศษ 3 คือจำนวนที่หาร 201 – 3 = 198 ลงตัว
หา ห.ร.ม. ของ 264, 165 และ 198
3 ) 264 165 198
11 ) 88 55 66
8 5 6
ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 264, 165 และ 198 คือ 3 x 11 = 33
นั่นคือ จำนวนนับที่มากที่สุดที่หาร 267, 168 และ 201 แล้วเหลือเศษ 3 เท่ากัน คือ 33
ตัวอย่างที่ 4 กระดาษรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าแผ่นหนึ่ง กว้าง 45 เซนติเมตร ยาว 72 เซนติเมตร ต้องการตัดกระดาษแผ่นนี้ออกเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดเท่า ๆ กันให้มีพื้นที่มากที่สุด จะได้รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีด้านยาวด้านละกี่เซนติเมตร และจะได้รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสทั้งหมดกี่รูป
(มีคีย์เวิร์ด คำว่า มากที่สุด ตัวอย่างที่ 4 จึงแก้ปัญหาโดยใช้ ห.ร.ม.)
วิธีทำ กระดาษสี่เหลี่ยมผืนผ้ากว้าง 45 เซนติเมตร ยาว 72 เซนติเมตร
ดังนั้นกระดาษมีพื้นที่ 45 x 72 ตารางเซนติเมตร
ต้องการตัดกระดาษแผ่นนี้ออกเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดเท่า ๆ กัน นั่นคือการหา ห.ร.ม. ของด้านกว้างและด้านยาวของกระดาษรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า
หา ห.ร.ม. ของ 45 และ 72 จะได้
3) 45 72
3) 15 24
5 8
ห.ร.ม. ของ 45 และ 72 คือ 3 x 3 = 9
นั่นคือ ตัดกระดาษเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสได้ยาวด้านละ 9 เซนติเมตร
ดังนั้น รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสแต่ละรูปที่ตัดได้มีพื้นที่ 9 x 9 ตารางเซนติเมตร
และจะตัดกระดาษเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสได้ทั้งหมด แผ่น
น้องๆทราบหรือไม่ว่า โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับ ห.ร.ม. มักมีคำว่า “มากที่สุด” หรือ “ยาวที่สุด” ปรากฎอยู่ในโจทย์ ซึ่งเป็นคีย์เวิร์ดสำคัญในการแก้ โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับ ห.ร.ม. ต่อไปน้องๆมาดูโจทย์ปัญหาเกี่ยวกับ ค.ร.น. กันนะคะ
โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับ ค.ร.น.
ในการหาตัวคูณร่วมน้อย (ค.ร.น.) ของจำนวนนับตั้งแต่สองจำนวนขึ้นไปนั้น เป็นการหาตัวตั้งร่วมหรือพหุคูณร่วมที่มีค่าน้อยที่สุดของจำนวนนับเหล่านั้น 3 วิธีที่สามารถนำไปใช้ในการแก้โจทย์ปัญหาได้
การหาตัวคูณร่วมน้อย (ค.ร.น.) ของจำนวนนับตั้งแต่ 2 จำนวนขึ้นไปซึ่งมี 3 วิธีดังนี้
- โดยการพิจารณาตัวตั้งร่วมหรือพหุคูณร่วมที่มีค่าน้อยที่สุด
- โดยการแยกตัวประกอบ
- โดยการตั้งหาร
โจทย์ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการนำความรู้เรื่อง ค.ร.น. ไปใช้แก้ปัญหา
ตัวอย่างที่ 5 ระฆังสามใบ ๆ ที่หนึ่งตีทุก ๆ 8 นาที ใบที่สองตีทุก ๆ 14 นาทีและใบที่สามตีทุก ๆ 20 นาที เมื่อระฆังเริ่มตีพร้อมกันครั้งแรกในเวลา 08.00 น.จงหาเวลาที่จะตีพร้อมกันอีกเป็นครั้งที่สอง
(มีคีย์เวิร์ด คำว่า พร้อมกัน ตัวอย่างที่ 5 จึงแก้ปัญหาโดยใช้ ค.ร.น.)
วิธีทำ ระฆังสามใบ ๆ ที่หนึ่งตีทุก ๆ 8 นาที ใบที่สองตีทุก ๆ 14 นาทีและใบที่สามตีทุก ๆ 20 นาที จะหาเวลาที่จะตีพร้อมกันอีกเป็นครั้งที่สอง
โดยหา ค.ร.น. ของ 8, 14 และ 20
2) 8 14 20
2 ) 4 7 10
2 7 5
ค.ร.น. ของ 8, 14 และ 20 คือ 2 x 2 x 2 x 7 x 5 = 280
นั่นคือ เมื่อเวลาผ่านไป 280 นาที หรือคิดเป็น 4 ชั่วโมง 40 นาที ระฆังจะตีพร้อมกันรอบที่สอง
ดังนั้น ระฆังทั้งสามใบ จะตีพร้อมกันอีกเป็นครั้งที่สอง เมื่อเวลา 12.40 น.
ตัวอย่างที่ 6 จงหาจำนวนนับที่น้อยที่สุดซึ่งหารด้วย 6, 8 และ 10 แล้วเหลือเศษ 3 ทุกจำนวน
(มีคีย์เวิร์ด คำว่า น้อยที่สุด ตัวอย่างที่ 6 จึงแก้ปัญหาโดยใช้ ค.ร.น.)
วิธีทำ จำนวนนับที่น้อยที่สุดที่หารด้วย 6, 8 และ 10 ได้ลงตัว คือ ค.ร.น. ของ 6, 8 และ 10
หา ค.ร.น. ของ 6, 8 และ 10 ได้ดังนี้
2) 6 8 10
3 4 5
ค.ร.น. ของ 6, 8 และ 10 คือ 2 x 3 x 4 x 5 = 120
ดังนั้น จำนวนนับที่น้อยที่สุดซึ่งหารด้วย 6, 8 และ 10 แล้วเหลือเศษ 3 คือ 120 + 3 = 123
ตัวอย่างที่ 7 จิ้งหรีด 3 ตัวใช้เวลา 10, 15 และ 20 วินาที จึงจะร้องครั้งหนึ่งตามลำดับ ถ้าจิ้งหรีดร้องพร้อมกันครั้งหนึ่งแล้วอีกนานเท่าใดจึงจะร้องพร้อมกันอีกเป็นครั้งที่สอง
(มีคีย์เวิร์ด คำว่า พร้อมกัน ตัวอย่างที่ 7 จึงแก้ปัญหาโดยใช้ ค.ร.น.)
วิธีทำ ตัวที่ 1 ใช้เวลา 10 วินาที
ตัวที่ 2 ใช้เวลา 15 วินาที
ตัวที่ 3 ใช้เวลา 20 วินาที
จิ้งหรีด 3 ตัวจะร้องพร้อมกันอีกกี่นาทีต่อไป โดยการหา ค.ร.น. ของ 10, 15 และ 20
หา ค.ร.น. ของ 10 , 15 และ 20
5) 10 15 20
2) 2 3 4
1 3 2
ค.ร.น. ของ 10 , 15 และ 20 คือ 5 x 2 x 1 x 3 x 2 = 60
ดังนั้น อีก 60 วินาที หรืออีก 1 นาที จิ้งหรีดทั้ง 3 ตัวจึงจะร้องพร้อมกันเป็นครั้งที่สอง
น้องๆทราบหรือไม่ว่า โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับ ค.ร.น. มักมีคำว่า “น้อยที่สุด” หรือ “พร้อมกัน” ปรากฎอยู่ในโจทย์ ซึ่งเป็นคีย์เวิร์ดสำคัญในการแก้ โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับ ห.ร.ม.
สรุปวิธีการแก้ โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับ ห.ร.ม. และ ค.ร.น.
วิธีการแก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับ ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ง่ายนิดเดียว เพียงแค่น้องๆจำคีย์เวิร์ดสำคัญได้ เช่น “น้อยที่สุด” หรือ “พร้อมกัน” จะปรากฎอยู่ในโจทย์ปัญหาเกี่ยวกับ ค.ร.น. ส่วนคีย์เวิร์ดสำคัญคำว่า “มากที่สุด” หรือ “ยาวที่สุด” จะปรากฎอยู่ในโจทย์ปัญหาเกี่ยวกับ ห.ร.ม. เมื่อน้องวิเคราห์โจทย์ปัญหาได้แล้วว่าจใช้ ค.ร.น. หรือ ห.ร.ม. ในการแก้โจทย์ปัญหา ลำดับต่อไปคือ น้องๆจะต้องใช้ความรู้ในเรื่อง ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ป.6 ที่ได้เรียนผ่านมาแล้ว
