ระบบจำนวนจริง

ระบบจำนวนจริง

สารบัญ

Add LINE friends for one click to find article. Add LINE friends for one click to find article.

ระบบจำนวนจริง

“ระบบจำนวนจริง” เป็นรากฐานสำคัญของวิชาคณิตศาสตร์ ประกอบไปด้วยจำนวนต่างๆ ได้แก่ จำนวนตรรกยะ จำนวนอตรรกยะ จำนวนเต็ม จำนวนนับ

โครงสร้าง ระบบจำนวนจริง

มนุษย์เรามีความคิดเรื่องจำนวนและระบบการนับมาตั้งแต่โบราณ และจำนวนที่มนุษย์เรารู้จักเป็นอย่างแรกก็คือ จำนวนนับ การศึกษาระบบของจำนวนจึงใช้พื้นฐานของจำนวนนับในการสร้างจำนวนอื่นขึ้นมา จนกลายมาเป็นจำนวนจริง และจำนวนเชิงซ้อน (เนื้อหาม.5) ดังนั้น ถ้าน้องๆเข้าใจจำนวนนับแล้วน้องๆก็จะสามารถศึกษาระบบจำนวนอื่นๆได้ง่ายขึ้น

 

โครงสร้าง

ระบบจำนวนจริง

 

 

จำนวนจริง

จำนวนจริงคือจำนวนที่ประกอบไปด้วย จำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ \mathbb{R} 

 

จำนวนเต็ม

จำนวนนับหรือจำนวนเต็มบวก เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ \mathbb{N} หรือ I^+ คือจำนวนที่เอาไว้ใช้นับสิ่งต่างๆ

เซตของจำนวนนับเป็นเซตอนันต์ นั่นคือ ระบบจำนวนจริง = {1,2,3,…}

จำนวนเต็มศูนย์ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ระบบจำนวนจริง มีสมาชิกเพียงตัวเดียว คือ I^0 = {0}

จำนวนเต็มลบ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ระบบจำนวนจริง  คือ ตัวผกผันการบวกของจำนวนนับ ซึ่งตัวผกผัน คือตัวที่เมื่อนำมาบวกกับจำนวนนับจะทำให้ผลบวก เท่ากับ 0 เช่น จำนวนนับคือ 2 ตัวผกผันก็คือ -2 เพราะ 2+(-2) = 0 สมาชิกของเซตของจำนวนเต็มลบมีจำนวนเป็นอนันต์ นั่นคือ I^- = {…,-3,-2,-1}

จำนวนตรรกยะ

จำนวนตรรกยะ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ระบบจำนวนจริง คือจำนวนที่สามารถเขียนในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มได้ ซึ่งก็คือ ตัวเศษและตัวส่วนจะต้องเป็นจำนวนเต็มเท่านั้น (เต็มบวก, เต็มลบ) เช่น  \frac{1}{2}  จะเห็นว่า ตัวเศษคือ 1 ตัวส่วนคือ 2 ซึ่งทั้ง 1 และ 2 เป็นจำนวนเต็ม และจำนวนตรรกยะยังสามารถเขียนในรูปทศนิยมซ้ำได้อีกด้วย เช่น 3.\dot{3} เป็นต้น

น้องๆสงสัยไหมว่าทำไมจำนวนเต็มถึงอยู่ในจำนวนตรรกยะ?? 

ลองสังเกตตัวอย่างต่อไปนี้ดูค่ะ

-3, 2, 0

-3 เกิดจากอะไรได้บ้าง >>> \frac{-3}{1}, \frac{3}{-1}, \frac{-6}{2}  , … จะเห็นว่าเศษส่วนที่ยกตัวอย่างมานี้ มีค่าเท่ากับ -3 และเศษส่วนเหล่านี้เป็นจำนวนตรรกยะ

2 เกิดจากอะไรได้บ้าง >>> ระบบจำนวนจริง, … จะเห็นว่า 2 สามารถเขียนเป็นเศษส่วนของจำนวนเต็มได้

0 เกิดจากเศษส่วนได้เช่นกัน เพราะ 0 ส่วนอะไรก็ได้ 0  ยกเว้น!!! ระบบจำนวนจริง เศษส่วนนี้ไม่นิยามนะคะ 

ดังนั้น จำนวนเต็มเป็นจำนวนตรรกยะ

ข้อควรระวัง  ตัวเศษสามารถเป็นจำนวนเต็มอะไรก็ได้ แต่!! ตัวส่วนต้องไม่เป็น 0 นะจ๊ะ

เช่น  ระบบจำนวนจริง แบบนี้ถือว่าไม่เป็นจำนวนตรรกยะนะคะ

 

จำนวนอตรรกยะ

จำนวนอตรรกยะ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ระบบจำนวนจริง คือจำนวนที่ไม่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มได้ 

เช่น ทศนิยมไม่รู้จบ 1.254545782268975456… , \sqrt{2}, \sqrt{3} เป็นต้น

**√¯ อ่านว่า square root เป็นสัญลักษณ์แทนค่ารากที่ 2 

เช่น 

ระบบจำนวนจริง คือ รากที่ 2 ของ 2 หมายความว่า ถ้านำ \sqrt{2} × \sqrt{2} แล้วจะเท่ากับ 2 

\sqrt{3} คือ รากที่ 2 ของ 3 หมายความว่า ถ้านำ ระบบจำนวนจริง × \sqrt{3} แล้วจะเท่ากับ 3 

สรุปก็คือ รากที่ 2 คือ ตัวที่นำมายกกำลัง 2 แล้วทำให้ square root หายไป

 

ตัวอย่าง ระบบจำนวนจริง

พิจารณาจำนวนต่อไปนี้ แล้วตอบคำถามว่าจำนวนนั้นเป็นจำนวนตรรกยะ, อตรรกยะ, จำนวนจริง

1.) 1.5 

แนวคำตอบ 1.5 สามารถเขียนอยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มที่ตัวส่วนไม่เป็น 0 ได้ เช่น  ระบบจำนวนจริง ดังนั้น 1.5 เป็นจำนวนตรรกยะ และจำนวนตรรกยะอยู่ในเซตของจำนวนจริง ดังนั้น 1.5 เป็นจำนวนตรรกยะและเป็นจำนวนจริง

 

2.) ระบบจำนวนจริง 

แนวคำตอบ 1.\dot{3} เป็นทศนิยมที่ซ้ำ 3 ซึ่งก็คือ 1.33333333… ไปเรื่อยๆ และสามารถเขียนเป็นเศษส่วนของจำนวนเต็มที่ตัวส่วนไม่เป็น 0 ได้ เช่น  ระบบจำนวนจริง ดังนั้น 1.\dot{3} เป็นจำนวนตรรกยะและเป็นจำนวนจริง

 

3.) π 

แนวคำตอบ π = 3.14159265358979323846264338327950288420…. จะเห็นว่าเป็นเลขทศนิยมไม่ซ้ำและไม่สิ้นสุด ดังนั้น π เป็นจำนวนอตรรกยะ

และเนื่องจาก จำนวนอตรรกยะก็อยู่ในเซตของจำนวนจริง

ดังนั้น  π เป็นจำนวนอตรรกยะและจำนวนจริง

 

4.) \sqrt{5} 

เนื่องจาก \sqrt{5} ไม่ใช่จำนวนเต็ม และไม่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มที่ส่วนไม่เป็น 0 ได้ และไม่สามารถเขียนในรูปทศนิยมซ้ำได้ 

ดังนั้น \sqrt{5} เป็นจำนวนอตรรกยะและเป็นจำนวนจริง

 

5.) \sqrt{16}

เนื่องจาก \sqrt{16} = ระบบจำนวนจริง = 4 และ 4 เป็นจำนวนเต็ม

ดังนั้น  \sqrt{16} เป็นจำนวนตรรกยะและเป็นจำนวนจริง

 

6.) \sqrt{25}

เนื่องจาก \sqrt{25} = \sqrt{5}\times \sqrt{5} = 5 

ดังนั้น \sqrt{25} เป็นจำนวนตรรกยะและเป็นจำนวนจริง

 

วีดิโอ ระบบจำนวนจริง

 

 

 

 

 

 

 

NockAcademy คือโรงเรียนออนไลน์สำหรับเด็ก โดยแอปฯ และเว็บไซต์ นักเรียนสามารถเรียนรู้ผ่านคลิปบทเรียนวิชา คณิตศาสตร์ ภาษาอังกฤษ และภาษาไทย
มากไปกว่านั้น เรายังมีคอร์สเรียนออนไลน์ การสอนพิเศษ การติวนอกสถานที่โดยติวเตอร์ที่แน่นไปด้วยความรู้ อีกด้วย

Add LINE friends for one click to find article. Add LINE friends for one click to find article.
ครูผู้สอน NockAcademy

แค่ 10 นาที ก็เข้าใจได้

สามารถดูคลิปบทเรียนวิชา คณิตศาสตร์ ภาษาอังกฤษ และภาษาไทย ที่มีมากกว่า 2,000+ คลิป และยังสามารถทำแบบทดสอบที่มีมากกว่า 4000+ ข้อ

แนะนำ

แชร์

ม.1 หลักการใช้ Past Simple

หลักการใช้ Past Simple Tense

Hi guys! สวัสดีค่ะนักเรียนชั้นม.1 ที่น่ารักทุกคน วันนี้เราจะไปเรียนรู้เรื่อง หลักการใช้ Past Simple   ถ้าพร้อมแล้วก็ไปลุยกันโลด Past Simple Tense     หลักการใช้ง่ายๆ ใช้กับเหตุการณ์ หรือการกระทำที่เกิดขึ้นและจบลงในอดีต มักมีคำหรือกลุ่มคำของอดีตมากำกับ ตัวอย่างประโยคทั่วไปที่มักเจอบ่อยๆ   บอกเล่า I saw Jack yesterday.

ส่วน 10 หรือ ส่วน 1000 แปลงเป็นทศนิยมกันได้หมดถ้าสดชื่น!

จากบทความที่แล้วเราได้ทราบความสัมพันธ์ของเศษส่วนและทศนิยมไปแล้ว เชื่อว่าน้อง ๆหลายคนคงเกิดคำถามในใจว่า แล้วถ้าเจอเศษส่วนที่ตัวส่วนไม่ใช่ 10, 100 หรือ 1000 ต้องทำอย่างไร บทความนี้จะมาไขข้อสงสัยพร้อมกับแสดงวิธีคิดที่ทำให้น้อง ๆต้องพูดเป็นเสียงเดียวกันว่า ง๊ายง่าย!

ลบไม่ได้ช่วยให้ลืม เช่นเดียวกับการลบเศษส่วนและจำนวนคละ!

บทความที่แล้วเราได้กล่าวถึงการบวกเศษส่วนและจำนวนคละไปแล้ว บทต่อมาก็จะเป็นเรื่องของการลบเศษส่วนและจำนวนคละ ทั้งสองเรื่องนี้มีหลักการคล้ายกันต่างกันที่เครื่องหมายที่บ่งบอกว่าโจทย์ต้องการทราบอะไร ดังนั้นบทความนี้จะอธิบายถึงหลักการลบเศษส่วนและจำนวนคละอย่างละเอียดและยกตัวอย่างให้น้อง ๆเข้าใจอย่างเห็นภาพและสามารถนำไปปรับใช้กับแบบฝึกหัดเรื่องการลบเศษส่วนและจำนวนคละได้

การบวกและการลบเอกนาม

การบวกและการลบเอกนาม บทความนี้จะทำให้น้องๆ รู้จักเอกนามและเข้าใจวิธีการบวกลบเอกนามได้อย่างง่ายดาย ซึ่งได้รวบรวมตัวอย่างการบวกและการลบเอกนามมานำเสนออกในรูปแบที่เข้าใจง่าย ทำให้น้องๆสนุกกับการเรียนคณิตศาสตร์ ซึ่งเนื้อหาในบทความนี้เป็นเนื้อหาวิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5 เอกนาม เอกนาม คือ นิพจน์ที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปการคูณของค่าคงตัวกับตัวแปรตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไป โดยเลขชี้กำลังของตัวแปรแต่ละตัวเป็นศูนย์หรือจำนวนเต็มบวก ค่าคงตัว คือ ตัวเลข ตัวแปร คือ สัญลักษณ์ของข้อมูลที่เปลี่ยนแปลงได้ มักเขียนอยู่ในรูปสัญลักษณ์ x, y เอกนาม ประกอบด้วย 2

นิราศภูเขาทอง ศึกษาตัวบทที่น่าสนใจและคุณค่าที่แฝงอยู่ในเรื่อง

  นิราศภูเขาทองเป็นหนึ่งในนิราศที่ได้รับการยกย่องว่าแต่งดีของสุนทรภู่ เป็นงานอันทรงคุณค่าที่ใช้เป็นแบบเรียนภาษาไทยในปัจจุบัน เรามาถอดคำประพันธ์ตัวบทที่น่าสนใจในนิราศภูเขาทองกันดีกว่าค่ะว่ามีบทไหนที่เด่น ๆ ควรศึกษาและจดจำไว้เพื่อไม่ให้พลาดในการทำข้อสอบ ถอดคำประพันธ์ นิราศภูเขาทอง   เนื่องจากนิราศภูเขาทองมีหลายบท ในที่นี้จะเลือกเฉพาะบทที่เด่น ๆ มาศึกษากันนะคะ เราไปดูกันที่บทแรกเลยค่ะ   ถอดคำประพันธ์ บทนี้เป็นการเปรียบเทียบการดื่มเหล้ากับความรัก เหล้าเป็นอบายมุข เมื่อดื่มเข้าไปจะทำให้มีอาการมึนเมา สติสัมปชัญญะไม่ครบถ้วน แต่เมื่อเวลาผ่านไปอาการมึนเมาเหล่านั้นก็จะหายไป แต่หากหลงมัวเมาอยู่กับความรัก ไม่ว่าจะใช้เวลาเท่าไหร่ก็หายไปง่าย ๆ  

conjunctions

เรียนรู้การใช้คำสันธาน (Conjunctions) ในภาษาอังกฤษ

สวัสดีน้องๆ ม. 3 ทุกคนนะครับ วันนี้เราจะมาทำความรู้จักกับ Conjuctions หรือคำสันธานในภาษาอังกฤษ พร้อมวิธีการใช้คำสันธานในประโยคแบบเข้าใจง่ายๆ กันครับ

โลโก้ NockAcademy

ทดลองฟรี!

เข้าใจได้ทันที NockAcademy ไลฟ์สดอันดับ 1 

โลโก้ NockAcademy

ทดลองฟรี!

เข้าใจได้ทันที NockAcademy ไลฟ์สดอันดับ 1