พื้นที่ผิวทรงกรวยและลูกบาศก์

phanuphong

คณิตศาสตร์ ม.3, ทรงกรวย, พื้นที่ผิว, ลูกบาศก์

Add LINE friends for one click to find article.

พื้นที่ผิวทรงกรวยและลูกบาศก์

การหาพื้นที่ผิวทรงกรวยเเละลูกบาศก์นั้นมักเป็นสิ่งที่เราอาจได้ใช้ในชีวิตประจำวัน ทั้งเรื่องการออกเเบบทางวิศวกรรม หรือสถาปัตยกรรม ที่ต้องนำพื้นที่ผิวมาประเมินค่าใช้จ่ายในการทาสี, การปูกระเบื้อง, หรือเเม้กระทั่งปริมาณการใช้วัสดุในการสร้างชิ้นงานต่าง ๆ

รูปร่างทรงกรวยเเละลูกบาศก์สามารถเห็นได้บ่อยครั้งในชีวิตประจำวัน เช่น โคนไอติม, กรวยจราจร, หมวกปาร์ตี้ ที่มีลักษณะเป็นทรงกรวย เเละลูกเต๋า, ก้อนน้ำเเข็ง ที่มีลักษณะเป็นลูกบาศก์ ซึ่งการหาพื้นที่ผิวทั้งหมดของทรงกรวยเเละลูกบาศก์นั้น มีวิธีง่ายๆ คือ ให้เรามองรูปสามมิติกลายเป็นรูปประกอบของเรขาสองมิติ

พื้นที่ผิวทรงกรวย

ทรงกรวย คือ รูปทรงเรขาคณิต 3 มิติ ที่มีลักษณะปลายด้านหนึ่งเป็นทรงเเหลม เเละปลายอีกด้านเป็นลักษณะวงกลม โดยภาพคลี่ของทรงกรวยจะมีลักษณะเป็นรูปเรขาสองมิติที่ประกอบด้วย รูปสามเหลี่ยมฐานโค้ง เเละ วงกลม

โดยการหาพื้นที่ผิวของทรงกรวยทำได้ดังนี้

พื้นที่ผิวทรงกรวย = $\large \pi r^{2} + \pi rl$

เมื่อ r คือ ความยาวรัศมีของวงกลมที่เป็นฐาน
. h คือ ความสูงของทรงกรวย หรือ เราเรียกว่า “สูงตรง”
. l คือ ความสูงเอียงของทรงกรวย หรือ เราเรียกว่า “สูงเอียง”

จากสูตรจะเห็นได้ว่าพื้นที่ผิวของทรงกรวยประกอบด้วยสองส่วนคือ ส่วนที่เป็นพื้นที่ผิวของวงกลมที่เป็นฐาน = $\pi r^{2}$ เเละพื้นที่ผิวของสามเหลี่ยมฐานโค้ง = $\pi rl$ รวมกันทั้งสองส่วนจะได้พื้นที่ผิวทั้งหมดของทรงกรวย

ตัวอย่างโจทย์พื้นที่ผิวทรงกรวย

ตัวอย่างที่ 1 จงหาพื้นที่ผิวของทรงกรวยมีความสูงตรง 16 นิ้ว, ความสูงเอียง 22 นิ้ว, เเละมีเส้นผ่านศูนย์กลาง 14 นิ้ว (โดยให้ π = 22/7)

วิธีทำ จากโจทย์วาดรูปได้ดังนี้

เส้นผ่านศูนย์กลางของทรงกรวยมีความยาว 14 นิ้ว ครึ่งหนึ่งของเส้นผ่านศูนย์กลางคือ รัศมี เเสดงว่ารัศมีความยาว 7 นิ้ว ดังนั้น

พื้นที่ผิวทรงกรวย = $\dpi{120} \pi r^{2} + \pi rl$

. = $\dpi{120} \frac{22}{7} \cdot 7^{2} + \frac{22}{7}\cdot 7\cdot 22$
. = $\dpi{120} 22\cdot 7+ 22\cdot 22$
. = $\dpi{120} 154 + 484$
. = $\dpi{120} 638$ ตารางนิ้ว

ตอบ พื้นที่ผิวของทรงกรวยมีขนาด 638 ตารางนิ้ว

ตัวอย่างที่ 2 จงหาพื้นที่ผิวของกรวยจราจรที่มีลักษณะทรงกรวยด้านล่างไม่มีส่วนปิดมีความสูงตรง 16 เซนติเมตรเเละมีความสูงเอียง 20 เซนติเมตร (โดยให้ π = 3.14)

วิธีทำ จากโจทย์วาดรูปได้ดังนี้

โจทย์บอกว่ากรวยจราจรด้านล่างไม่มีส่วนปิดดังนั้น เราจึงไม่ต้องหาพื้นที่ของวงกลมที่เป็นฐานของทรงกรวยจะได้ว่า
พื้นที่ผิวของกรวยจราจร = $\pi rl$

จากสูตรจะเห็นได้ว่า ต้องใช้รัศมีของวงกลมเเต่โจทย์ไม่ได้ให้รัศมีมา ซึ่งเราสามารถหารัศมีของวงกลมได้ด้วย ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
. $c^{2} = a^{2} + b^{2}$
โดยให้ความสูงเอียงเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก = c เเละให้ความสูงตรงเป็น a เเละให้รัศมีเป็น b จะได้ว่า
. $20^{2} = 16^{2} + b^{2}$
. $400 = 256 + b^{2}$
. $400 - 256 = b^{2}$
. $144 = b^{2}$
. $b = \sqrt{144} = 12$
รัศมีของวงกลมมีความยาว 12 เซนติเมตร ดังนั้น
พื้นที่ผิวของกรวยจราจร = $\pi rl$
. = $3.14 \cdot 12\cdot 20$
. = $753.6$ ตารางเซนติเมตร

ตอบ พื้นที่ผิวของกรวยจราจรมีขนาด 753.6 ตารางเซนติเมตร

พื้นที่ผิวทรงลูกบาศก์

ลูกบาศก์ คือ รูปทรงสามมิติที่ประกอบด้วยรูปเรขาคณิตสองมิติที่เป็น สี่เหลี่ยมจตุรัสทั้ง 6 ด้านเเละเเต่ละด้านมีขนาดเเละความยาวเท่ากันทั้งหมด

โดยการหาพื้นที่ของทรงลูกบาศก์สามารถทำได้ดังนี้

พื้นที่ผิวทรงลูกบาศก์ = $6\cdot d^{2}$
เมื่อ d = ความยาวด้านของทรงลูกบาศก์

จากสูตรจะเห็นได้ว่าเป็นการหาพื้นที่สี่เหลี่ยมจตุรัส = ด้าน x ด้าน เเล้วคูณด้วย 6 เป็นเพราะว่ามีสี่เหลี่ยมจตุรัส 6 ชิ้นประกอบกันทำให้เราได้พื้นที่ผิวทั้งหมดของทรงลูกบาศก์

ตัวอย่างโจทย์พื้นที่ผิวทรงลูกบาศก์

ตัวอย่างที่ 3 จงหาพื้นที่ผิวของทรงลูกบาศก์โดยลูกบาศก์มีความยาวด้าน 10 เซนติเมตร

วิธีทำ จากโจทย์จะวาดรูปได้ดังนี้

ดังนั้นพื้นที่ผิวของทรงลูกบาศก์ = $6\cdot d^{2}$
. = $6\cdot 10^{2}$
. = $6\cdot 100$
. = $600$ ตารางเซนติเมตร

ตอบ พื้นที่ผิวของทรงลูกบาศก์นี้มีขนาด 600 ตารางเซนติเมตร

ตัวอย่างที่ 4 จงหาพื้นที่ผิวรอบนอกเเละพื้นที่ผิวทั้งหมดของทรงลูกบาศก์ต่อไปนี้

วิธีทำ จากโจทย์จะเห็นได้ว่าทรงสี่เหลี่ยมลูกบาศก์นี้มีช่องสี่เหลี่ยมที่มีความยาวด้าน 5 นิ้วให้เรามองสี่เหลี่ยมนี้เป็นปริซึมสี่เหลี่ยมที่มีความยาวด้าน 5 นิ้ว ยาว 10 นิ้ว เเละโจทย์บอกว่าให้เราหาพื้นที่ผิวรอบนอกของทรงลูกบาศก์ (พื้นที่เเรเงาสีเทา) เเสดงว่าพื้นที่ด้านในของปริซึมสี่เหลี่ยมไม่นำมาคิด

ดังนั้นพื้นที่ผิวของรอบนอกของทรงลูกบาศก์ = พื้นที่ผิวของทรงลูกบาศก์ – (พื้นที่ของสี่เหลี่ยม x 2)
. = $(6\cdot d^{^{2}}) - (2\cdot a^{^{2}})$ (โดยให้ความยาวด้านของสี่เหลี่ยม = a)
. = $(6\cdot 10^{2}) - (2\cdot 5^{2})$
. = $(6\cdot 100) - (2\cdot 25)$
. = $600 - 50$
. = 550 ตารางนิ้ว

เเละพื้นที่ผิวทั้งหมดของทรงลูกบาศก์คือผลรวมของพื้นที่ผิวรอบนอกของทรงลูกบาศก์ (พื้นที่เเรเงาสีเทา) กับพื้นที่ผิวด้านข้างของปริซึมสี่เหลี่ยม (พื้นที่เเรเงาสีเเดง)

ดังนั้นพื้นที่ผิวทั้งหมดของทรงลูกบาศก์ = พื้นที่ผิวรอบนอกของทรงลูกบาศก์+พื้นที่ผิวด้านข้างของปริซึมสี่เหลี่ยม
. = $550 + (4\cdot d\cdot a)$
. = $550 + (4\cdot 10\cdot 5)$
. = $550 + (200)$
. = $750$ ตารางนิ้ว

ตอบ พื้นที่ผิวรอบนอกของทรงลูกบาศก์มีขนาด 550 ตารางนิ้ว เเละพื้นที่ผิวทั้งหมดของทรงลูกบาศก์มีขนาด 750 ตารางนิ้ว

ตัวอย่างที่ 5 จงหาพื้นที่ผิวของทรงลูกบาศก์ต่อไปนี้

วิธีทำ จากโจทย์จะเห็นได้ว่าเส้นทะเเยงมุมของพื้นที่สี่เหลี่ยมมีความยาว 12 หน่วย เราสามารถหาความยาวด้านของทรงลูกบาศก์ได้ด้วย ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

$c^{2} = a^{2} + b^{2}$
$12^{2} = a^{2} + b^{2}$ โดยด้าน a เเละ b เป็นความยาวด้านของทรงลูกบาศก์ซึ่งมีขนาดเท่ากัน มีค่า = d
$144 = d^{2} + d^{2}$
$144 = 2d^{2}$

$\frac{144}{2} = d^{2}$
$72 = d^{2}$
$d = \sqrt{72}$ หน่วย

ดังนั้น พื้นที่ผิวของทรงลูกบาศก์ = $6\cdot d^{2}$
. = $6\cdot (\sqrt{72})^{2}$
. = $6\cdot 72$
. = $432$ ตารางหน่วย

ตอบ พื้นที่ผิวของทรงลูกบาศก์นี้มีขนาด 432 ตารางหน่วย

หากน้อง ๆ สามารถคำนวณพื้นที่ผิวของทรงกรวยเเละลูกบาศก์ได้เเล้ว น้อง ๆ สามารถนำไปประยุกต์ใช้ในชีวิตประจำวันได้หลากหลายในอนาคต น้องสามารถศึกษาการหา พื้นที่ผิวทรงกรวยเเละลูกบาศก์ เพิ่มเติมได้ในคลิปวิดีโอด้านล่าง

คลิปวิดีโอ พื้นที่ผิวทรงกรวยเเละลูกบาศก์

คลิปวิดีโอนี้ได้รวบรวมวิธีหา พื้นที่ผิวทรงกรวยเเละลูกบาศก์ ไว้อย่างละเอียด ซึ่งเป็นคลิปสั้นๆ ที่สามารถเข้าใจได้ง่าย แฝงไปด้วยความรู้ เเละเทคนิครวมถึงการอธิบาย ตัวอย่าง เเละสอนวิธีคิดที่จะทำให้วิชาคณิตศาสตร์เป็นเรื่องง่าย

NockAcademy คือโรงเรียนออนไลน์สำหรับเด็ก โดยแอปฯ และเว็บไซต์ นักเรียนสามารถเรียนรู้ผ่านคลิปบทเรียนวิชา คณิตศาสตร์ ภาษาอังกฤษ และภาษาไทย
มากไปกว่านั้น เรายังมีคอร์สเรียนออนไลน์ การสอนพิเศษ การติวนอกสถานที่โดยติวเตอร์ที่แน่นไปด้วยความรู้ อีกด้วย

แค่ 10 นาที ก็เข้าใจได้

สามารถดูคลิปบทเรียนวิชา คณิตศาสตร์ ภาษาอังกฤษ และภาษาไทย ที่มีมากกว่า 2,000+ คลิป และยังสามารถทำแบบทดสอบที่มีมากกว่า 4000+ ข้อ

แนะนำ

แชร์

เรียนรู้ที่มาของชาติกำเนิดอันยิ่งใหญ่ มหาเวสสันดรชาดก

หลายคนคงจะเคยได้ยินคำว่า มหาชาติชาดก หรือ มหาเวสสันดรชาดก กันมาบ้างแล้วผ่านสื่อต่าง ๆ แต่รู้หรือไม่คะว่าคำ ๆ นี้มีที่จากอะไร คำว่า มหาชาติ เป็นคำเรียก เวสสันดรชาดก ส่วนชาดกนั้นเป็นชื่อคัมภีร์หนึ่งของพุทธศาสนาที่กล่าวถึงอดีตชาติของพระพุทธเจ้า ดังนั้นมหาเวสสันดรชาดก จึงเป็นเรื่องราวที่เกี่ยวกับชาติกำเนิดอันหยิ่งใหญ่ของพระพุทธเจ้า น้อง ๆ คงสงสัยใช่ไหมคะว่าทำไมเวสสันดรชาดกถึงได้ชื่อว่าเป็นชาดกที่ยิ่งใหญ่ที่สุด ถ้าอยากรู้คำตอบแล้วล่ะก็ เราไปเรียนรู้ความเป็นของเรื่องนี้พร้อมกันเลยค่ะ มหาเวสสันดรชาดก มหาชาติชาดก

Present Perfect ในภาษาอังกฤษ

สวัสดีน้องๆ ม. 4 ทุกคนนะครับ วันนี้เราจะมาพูดถึงเรื่อง Present Perfect ในภาษาอังกฤษ จะเป็นอย่างไรลองไปดูกันเลยดีกว่าครับ

พื้นที่ผิวของปริซึมและทรงกระบอก

เราได้หาปริมาตรของรูปเรขาคณิตสามมิติต่าง ๆ มาบ้างแล้ว ในหัวข้อนี้จะกล่าวถึงการหาพื้นที่ผิวของปริซึมและทรงกระบอก

มารู้จักกับ Passive Modals

สวัสดีค่านักเรียนชั้นม.6 ที่น่ารักทุกคน วันนี้เราจะไปดู ” Passive Modals” ที่ใช้บ่อยพร้อม เทคนิคการจำและนำไปใช้ และทำแบบฝึกหัดท้ายบทเรียน กันค่า Let’s go! ไปลุยกันโลดเด้อ Passive Modals คืออะไรเอ่ย Passive Modals คือ กลุ่มของ Modal verbs ที่ใช้ในโครงสร้าง

เรื่อง Present Tense โดยมีคำบอกเวลา และเเต่งประโยคให้เข้ากับคำศัพท์เรื่องสถานที่ต่างๆ

สวัสดีนักเรียนชั้นมป.5 ที่น่ารักทุกคน วันนี้เราจะไปดูวิธีการบอกข้อมูลทั่วไปเกี่ยวกับ “เรื่อง Present Tense โดยมีคำบอกเวลา และเเต่งประโยคให้เข้ากับคำศัพท์เรื่องสถานที่ต่างๆ” พร้อมทั้งตัวอย่างสถานการณ์ใกล้ตัวกันค่ะ ไปลุยกันเลยค่า Let’s go! ความหมาย Present แปลว่า ปัจจุบัน Simple แปลว่า ธรรมดา ส่วน Tense นั้น แปลว่ากาล ดังนั้น

ดีเทอร์มิแนนต์

ดีเทอร์มิแนนต์ ดีเทอร์มิแนนต์ (Determinant) คือ ค่าของตัวเลขที่สอดคล้องกับเมทริกซ์จัตุรัส ถ้า A เป็นเมทริกซ์จัตุรัส จะเขียนแทนดีเทอร์มิแนนต์ของ A ด้วย det(A) หรือ โดยทั่วไปการหาค่าดีเทอร์มิแนนต์ที่เจอในข้อสอบจะไม่เกินเมทริกซ์ 3×3 เพราะถ้ามากกว่า 3 แล้ว จะเริ่มมีความยุ่งยาก **ค่าของดีเทอร์มิแนนต์จะเป็นจำนวนจริงและมีเพียงค่าเดียวเท่านั้นที่จะสอดคล้องกับเมทริกซ์จัตุรัส เช่น เมทริกซ์ B ก็จะมีค่าดีเทอร์มิแนนต์เพียงค่าเดียวเท่านั้น**

พื้นที่ผิวทรงกรวยและลูกบาศก์

สารบัญ

พื้นที่ผิวทรงกรวยและลูกบาศก์

พื้นที่ผิวทรงกรวย

ตัวอย่างโจทย์พื้นที่ผิวทรงกรวย

พื้นที่ผิวทรงลูกบาศก์

ตัวอย่างโจทย์พื้นที่ผิวทรงลูกบาศก์

คลิปวิดีโอ พื้นที่ผิวทรงกรวยเเละลูกบาศก์

แค่ 10 นาที ก็เข้าใจได้

แนะนำ

แชร์

เรียนรู้ที่มาของชาติกำเนิดอันยิ่งใหญ่ มหาเวสสันดรชาดก

Present Perfect ในภาษาอังกฤษ

พื้นที่ผิวของปริซึมและทรงกระบอก

มารู้จักกับ Passive Modals

เรื่อง Present Tense โดยมีคำบอกเวลา และเเต่งประโยคให้เข้ากับคำศัพท์เรื่องสถานที่ต่างๆ

ดีเทอร์มิแนนต์

NockAcademy

ติดต่อ

เกี่ยวกับเรา

ความช่วยเหลือ

ทดลองฟรี!

เข้าใจได้ทันที NockAcademy ไลฟ์สดอันดับ 1

ทดลองฟรี!

เข้าใจได้ทันที NockAcademy ไลฟ์สดอันดับ 1