ความสัมพันธ์
ความสัมพันธ์ เกิดจากสิ่งสองสิ่งมาเกี่ยวข้องกันภายใต้กฎเกณฑ์บางอย่าง เช่น ความสัมพันธ์ของ a กับ b ซึ่ง a มากกว่า b เป็นต้น
ก่อนที่เราจะเริ่มเนื้อหาของความสำคัญพี่อยากให้น้องๆรู้จักกับคู่อันดับ และผลคูณคาร์ทีเซียนก่อนนะคะ
คู่อันดับ
ในการเขียนคู่อันดับเป็นสิ่งที่ค่อนข้างสำคัญเลยทีเดียว เพราะถ้าน้องๆเขียนคู่อันดับผิดตำแหน่งนั่นหมายความว่า ความหมายของมันจะเปลี่ยนไปทันที
เช่น คู่อันดับ (x, y) โดย x แทนเวลาที่ใช้ในการอ่านหนังสือ y แทนจำนวนหน้าของหนังสือที่อ่านแล้ว เมื่อแทนคู่อันดับด้วย (10, 3) หมายความว่าใช้เวลา 10 นาทีในการอ่านหนังสือ และจำนวนหน้าที่อ่านได้คือ 3 หน้า แต่! ถ้าน้องเขียนคู่อันดับเป็น (3, 10) จะหมายความว่า ใช้เวลา 3 นาที อ่านหนังสือทั้งหมด 10 หน้า จะเห็นว่าความหมายต่างกันโดยสิ้นเชิง ดังนั้นน้องๆควรดูคู่อันดับให้ดีๆนะคะ
โดยทั่วไปแล้ว เราจะใช้ (x, y) หรือ (a, b) เป็นตัวแปรของคู่อันดับในทางคณิตศาสตร์ โดยที่เราจะเรียก x, a ว่า สมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับ และเรียก y, b ว่า สมาชิกตัวหลังของคู่อันดับ
บทนิยามของคู่อันดับ
กำหนดให้คู่อันดับ (x, y) ใดๆ จะได้ว่า คู่อันดับ (x, y) = (a, b) เมื่อ x = a และ y = b
อธิบายให้เข้าใจก็คือ คู่อันดับ 2 คู่จะเท่ากันได้ สมาชิกตัวหน้าของทั้งสองคู่อันดับจะต้องเท่ากัน และ สมาชิกตัวหลังของคู่อันดับก็ต้องเท่ากันด้วย
เช่น
- (x, -5) = (6, y) จะได้ว่า x = 6 และ y = -5
- (5x, y + 2) = (10, 3x)
ผลคูณคาร์ทีเซียน
นิยาม ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และ B คือ {(a, b) : a ∈ A และ b ∈ B} เขียนแทนด้วย A × B
แปลให้เข้าใจง่าย ผลคูณคาร์ทีเซียนก็คือ คู่อันดับเซตใหม่ที่เกิดจากการเอาสมาชิกใน A และ B มาจับคู่กัน โดยสมาชิกตัวหน้ามาจาก A และสมาชิกตัวหลังมาจาก B
ตัวอย่าง A = {1, 2, 3} B = {a, b}
A × B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}
B × A = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)}
B × B ={(a, a), (a, b), (b, a), (b, b)}
เราสามารถหาจำนวนคู่อันดับผลคูณคาร์ทีเซียนได้ ด้วยสูตร n(A×B) = n(A) × n(B)
จะได้ว่า n(A×A) = 3 × 3 = 9 n(A×B) = 3 × 2 = 6 n(B×B) = 2 × 2 = 4
ความสัมพันธ์
บทนิยามของความสัมพันธ์
ให้ A และ B เป็นเซตใดๆ เราจะบอกว่า r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ r เป็นสับเซตของ A × B
หมายความว่า คู่อันดับใดๆใน r จะเป็นความสัมพันธืจาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ เซตของคู่อันดับเหล่านั้นเป็นสับเซตของผลคูณคาร์ทีเซียน A × B นั่นเอง
เช่น A = {1, 2, 3} B = {a, b}
จะได้ว่า A × B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}
= {(1, a), (2, b), (3, b)} เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B เพราะ {(1, a), (2, b), (3, b)} ⊂ A × B
= {(1, a), (1, b), (2, a), (1, 1)} ไม่เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B เพราะ (1, 1) ไม่เป็นสมาชิกของ A × B นั่นคือ {(1, a), (1, b), (2, a), (1, 1)} ⊄ A × B
ความสัมพันธ์ r ข้างต้นเป็นการเขียนความสัมพันธ์แบบแจกแจงสมาชิก
การเขียนความสัมพันธ์ r แบบบอกเงื่อนไข
ให้ A = {1, 2, 3} B = {1, 2} และความสัมพันธ์ r = {(x, y) ∈ B × A : x < y}
เราจะได้ B × A = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3)}
จากเงื่อนไข x < y
ให้เราพิจารณาว่าจากผลคูณคาร์ทีเซียนข้างต้นกว่า มีคู่ไหนตรงตามเงื่อนไขบ้าง
จะได้คู่อันดับ ดังนี้ (1, 2), (1, 3), (2, 3) ดังนั้นจะได้ว่า r = {(1, 2), (1, 3), (2, 3)}
ทำไมถึงต้องพิจารณาเงื่อนไขจากผลคูณคาร์ทีเซียน?
เพราะว่า r นั้นเป็นคู่อันดับที่เป็นสมาชิกของ B × A นั่นเอง
และเรายังได้อีกว่า r เป็นความสัมพันธ์จาก B ไป A
เรามาดูตัวอย่างอีกหนึ่งข้อกันค่ะ
ให้ A ={1, 2, 4, 5} B = {1, 2, 5} และให้ r = {(x, y) ∈ A × B : 2x < y}
จะเขียนคู่อันดับของ r
วิดีโอเรื่อง ความสัมพันธ์
