ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์

supanaree

คณิตศาสตร์, คณิตศาสตร์เพิ่มเติม, ฟังก์ชันตรีโกณมิติ, ม.5

Add LINE friends for one click to find article.

ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์

ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ จะเกี่ยวข้องกับ θ พิกัดของ จุด (x, y) ซึ่งในบทความนี้จะอธิบายเกี่ยวกับ ความสัมพันธ์ระหว่าง x, y กับ θ

จากบทความที่ผ่านมาเราได้รู้จักวงกลมหนึ่งหน่วยและการวัดความยาวส่วนโค้ง ในบทความนี้น้องๆจะได้รู้จักกับฟังก์ชันไซน์ (sine function) และฟังก์ชันโคไซน์ (cosine function) และวิธีการหาค่าของฟังก์ชันทั้งสอง

Sine function = {(θ, y) | y = sinθ}

cosine function = {(θ, x) | x = cosθ}

จาก P(θ) = (x, y) และจาก x = cosθ และ y = sinθ

จะได้ว่า P(θ) = (cosθ, sinθ)

โดเมนและเรนจ์ของ sine function และ cosine function

โดเมนของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ คือ จำนวนจริง นั่นคือ θ ∈ $\mathbb{R}$

เรนจ์ของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์คือ [-1, 1] นั่นคือ ค่าของ cosθ และ sinθ จะอยู่ในช่วง [-1, 1]

ความสัมพันธ์ของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์

พิจารณาสมการวงกลมหนึ่งหน่วย (รัศมีเป็น 1) x² + y² = 1

เมื่อแทน x = cosθ และ y = sinθ ในสมการของวงกลมหนึ่งหน่วย

จะได้ว่า (cosθ)² + (sinθ)² = 1 สามารถเขียนได้อีกรูปแบบหนึ่ง คือ

cos²θ + sin²θ = 1

การหา ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์

การหาค่าฟังก์ชันไซน์และโคไซน์นั้น น้องๆจะต้องมีพื้นฐานเรื่องความยาวส่วนโค้งและพิกัดจุดปลายส่วนโค้งพร้อมทั้งรู้เรื่องจตุภาคด้วย น้องๆสามารถดูเนื้อหาได้ที่ >>ความยาวส่วนโค้งของวงกลมหนึ่งหน่วย<<

กำหนดให้ P(θ) = (x, y) และ x = cosθ , y = sinθ

พิจารณา θ = 0 จะได้ว่า พิกัดจุดของ P(0) คือ (1, 0) นั่นคือ P(0) = (1, 0)

ดังนั้น x = 1 และ y = 0 นั่นคือ cos(0) = 1 และ sin(0) = 0

พิจารณาที่ θ = $\frac{\pi }{2}$ จะได้ว่า P( $\frac{\pi }{2}$ ) = (0, 1)

ดังนั้น cos( $\frac{\pi }{2}$ ) = 0 และ sin( $\frac{\pi }{2}$ ) = 1

พิจารณา θ = $\pi$ จะได้ว่า P( $\pi$ ) = (-1, 0)

ดังนั้น cos( $\pi$ ) = -1 และ sin( $\pi$ ) = 0

พิจารณาที่ θ = $\frac{3\pi }{2}$ จะได้ว่า P( $\frac{3\pi }{2}$ ) = (0, -1)

ดังนั้น cos( $\frac{3\pi }{2}$ ) = 0 และ cos( $\frac{3\pi }{2}$ ) = -1

การหาค่า sinθ cosθ โดยใช้มือซ้าย

แต่ละนิ้วจะแทนค่าของ θ ดังรูป
เราจะหาค่าโดยการพับนิ้ว เช่น ต้องการหา sin( $\frac{\pi }{3}$ ) เราก็จะพับนิ้วนางลง
เราจะให้นิ้วที่พับลงเป็นตัวแบ่งระหว่าง cos กับ sin ซึ่งจะแบ่งออกเป็นฝั่งซ้ายและฝั่งขวา
ช่องว่างในรูทคือ จำนวนนิ้วที่เรานับได้เมื่อเราพับนิ้วลง
หากต้องการค่า sin ให้นำจำนวนนิ้วฝั่งซ้ายมาเติมในรูท
และหากต้องการค่า cos ให้นำจำนวนนิ้วฝั่งขวามาเติมในรูท

หากน้องๆยังงงๆเรามาดูตัวอย่างกันค่ะ

ต้องการหาค่า cos( $\frac{\pi }{4}$ ) และ sin( $\frac{\pi }{6}$ )

cos( $\frac{\pi }{4}$ )

จากโจทย์เราต้องการหาค่าโคไซน์ ที่ θ = $\frac{\pi }{4}$ ซึ่งตรงกับนิ้วกลาง

ดังนั้นเราจึงพับนิ้วกลางลง และหาค่าโคไซน์เราต้องดูจำนวนนิ้วฝั่งขวาซึ่งก็คือนิ้วที่ถูกระบายด้วยสีส้ม จะเห็นว่ามี 2 นิ้ว ดังนั้น cos( $\frac{\pi }{4}$ ) = $\frac{\sqrt{2}}{2}$

sin( $\frac{\pi }{6}$ )

จากโจทย์ต้องการหาค่าฟังก์ชันไซน์ ที่ θ = $\frac{\pi }{6}$ เราจึงพับนิ้วชี้ลง และดูจำนวนนิ้วฝั่งซ้ายซึ่งก็คือนิ้วที่ถูกทาด้วยสีฟ้า ดังนั้น sin( $\frac{\pi }{6}$ ) = $\frac{1}{2}$

แล้วสมมติว่า θ เป็นค่าอื่นๆนอกเหนือจากค่าเหล่านี้ล่ะ เช่น $\frac{2\pi }{3}$ เราจะหายังไงดี???

จริงๆแล้วค่าของ $\frac{2\pi }{3}$ นั้นเราสามารถดูของ $\frac{\pi }{3}$ ได้เลย แต่!!!! เครื่องหมายอาจจะต่างกัน ให้น้องๆสังเกตว่า ค่าของ $\frac{2\pi }{3}$ นั้นอยู่ควอดรันต์ที่เท่าไหร่ แล้วน้องจะรู้ว่าค่า x ควรเป็นลบหรือเป็นบวก ค่า y ควรเป็นลบหรือเป็นบวก

อย่างเช่น cos( $\frac{2\pi }{3}$ )

เรามาดูกันว่า θ = $\frac{2\pi }{3}$ อยู่ควอดรันต์เท่าไหร่

จะเห็นว่าอยู่ควอดรันต์ที่ 2 ซึ่ง (- , +) ดังนั้น ค่า x เป็นจำนวนลบ ค่า y เป็นจำนวนบวก และเรารู้ว่า x = cosθ ดังนั้น ค่า cos( $\frac{2\pi }{3}$ ) เป็นจำนวนลบแน่นอน

จากนั้นใช้มือซ้ายเพื่อหาค่า cos โดยใช้ค่า θ = $\frac{\pi }{3}$ ได้เลย จะได้ว่า cos( $\frac{\pi }{3}$ ) = $\frac{1}{2}$

ดังนั้น cos( $\frac{2\pi }{3}$ ) = $-\frac{1}{2}$

นอกจากจะดูหาค่าโดยใช้มือซ้ายแล้ว น้องๆสามารถดูตามรูปด้านล่างนี้ได้เลยค่ะ

ในวงกลมที่ระบายสีฟ้านั้น คือค่าของ θ ซึ่งแต่ละ θ ก็จะบอกพิกัดจุด (x, y) ซึ่งก็คือค่าของ cosθ และ sinθ นั่นเอง

เช่น sin( $\frac{5\pi }{6}$ ) = $\frac{1}{2}$ และ cos( $\frac{5\pi }{6}$ ) = $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

ตัวอย่างการหาค่าฟังก์ชันไซน์และโคไซน์

1) หาค่า sin( $\frac{7\pi }{6}$ )

วิธีทำ หาค่า sin( $\frac{\pi }{6}$ )

จะได้ว่า sin( $\frac{\pi }{6}$ ) = $\frac{1}{2}$

จากนั้นดูพิกัดจุดของ P( $\frac{7\pi }{6}$ ) จะได้ว่า อยู่ควอดรันต์ที่ 3 ซึ่ง (- , -) นั่นคือ ค่า x เป็นจำนวนลบ (cosθ เป็นจำนวนลบ) และค่า y เป็นจำนวนลบ

และจาก y = sinθ

ดังนั้น sin( $\frac{7\pi }{6}$ ) = $-\frac{1}{2}$

2) หาค่า sin²( $\frac{\pi }{6}$ ) + cos²( $\frac{\pi }{6}$ )

วิธีทำ จากความสัมพันธ์ของไซน์และโคไซน์ sin²θ + cos²θ = 1

จะได้ว่าค่าของ sin²( $\frac{\pi }{6}$ ) + cos²( $\frac{\pi }{6}$ ) = 1

เนื่องจากว่าเราเรียนคณิตศาสตร์เราจะต้องไม่เชื่ออะไรง่ายๆ ดังนั้นเราจะมาหาค่าโดยใช้วิธีตรงกันค่ะ

จาก sin( $\frac{\pi }{6}$ ) = $\frac{1}{2}$ จะได้ว่า sin²( $\frac{\pi }{6}$ ) = $\frac{1}{4}$ และ cos( $\frac{\pi }{6}$ ) = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ จะได้ว่า cos²( $\frac{\pi }{6}$ ) = $\frac{3}{4}$

ดังนั้น $\frac{1}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = 1

ดังนั้น สรุปได้ว่า sin²( $\frac{\pi }{6}$ ) + cos²( $\frac{\pi }{6}$ ) = 1

3) หาค่า cos²( $\frac{\pi }{2}$ ) + cos²( $\frac{3\pi }{2}$ ) – cos²( $\pi$ )

วิธีทำ จาก cos( $\frac{\pi }{2}$ ) = 0 cos( $\frac{3\pi }{2}$ ) = 0 และ cos( $\pi$ ) = -1

จะได้ว่า cos²( $\frac{\pi }{2}$ ) = 0 cos²( $\frac{3\pi }{2}$ ) = 0 และ cos²( $\pi$ ) = (-1)² = 1

ดังนั้น cos²( $\frac{\pi }{2}$ ) + cos²( $\frac{3\pi }{2}$ ) – cos²( $\pi$ ) = 0 + 0 – 1 = -1

น้องๆสามารถหาแบบฝึกหัดมาทำเพิ่มเติมโดยใช้กฎมือซ้ายในการช่วยหาค่าฟังก์ชันแต่ทั้งนี้น้องๆก็ต้องมีพื้นฐานเกี่ยวกับความยาวจุดปลายส่วนโค้งด้วยนะคะ และการหาค่าฟังก์นั้นนี้หากน้องๆทำบ่อยจะทำให้น้องจำได้ และเวลาสอบก็จะช่วยให้ทำข้อสอบได้เร็วยิ่งขึ้นด้วยค่ะ

NockAcademy คือโรงเรียนออนไลน์สำหรับเด็ก โดยแอปฯ และเว็บไซต์ นักเรียนสามารถเรียนรู้ผ่านคลิปบทเรียนวิชา คณิตศาสตร์ ภาษาอังกฤษ และภาษาไทย
มากไปกว่านั้น เรายังมีคอร์สเรียนออนไลน์ การสอนพิเศษ การติวนอกสถานที่โดยติวเตอร์ที่แน่นไปด้วยความรู้ อีกด้วย

แค่ 10 นาที ก็เข้าใจได้

สามารถดูคลิปบทเรียนวิชา คณิตศาสตร์ ภาษาอังกฤษ และภาษาไทย ที่มีมากกว่า 2,000+ คลิป และยังสามารถทำแบบทดสอบที่มีมากกว่า 4000+ ข้อ

แนะนำ

แชร์

ผู้ชนะ บทอาขยานที่ว่าด้วยความไม่ย่อท้อ

บทอาขยาน คือ บทท่องจำจากวรรณคดีเรื่องต่าง ๆ หรือเป็นคำประพันธ์ที่มีความไพเราะ และมีความงดงามทางภาษา มีความหมายดี และให้ข้อคิดที่มีคุณค่า สามารถนำไปใช้ในชีวิตได้ และบทอาขยานที่เราจะได้เรียนรู้กันในวันนี้ก็คือบทอาขยานเรื่อง ผู้ชนะ จะเป็นอย่างไรบ้างนั้นเราไปดูพร้อมกันเลยค่ะ ประวัติความเป็นมาของเรื่องผู้ชนะ บุญเสริม แก้วพรหม เป็นนักแต่งกลอนชาวนครศรีธรรมราช เริ่มฝึกเขียนกลอนตั้งแต่สมัยเรียนอยู่ชั้นประถม จากการคลุกคลีกับหนังสือและเรียนรู้เกี่ยวกับบทกลอนในห้องเรียน แต่มาเริ่มเขียนอย่างจริงจังในระดับชั้นมัธยมศึกษา ได้ส่งผลงานเข้าประกวดและผ่านการคัดเลือกลงหนังสือพิมพ์ ออกอากาศทางวิทยุ แนวที่เขียนเป็นเรื่องเกี่ยวกับความรักและสะท้อนสังคม

นิราศภูเขาทอง ศึกษาตัวบทที่น่าสนใจและคุณค่าที่แฝงอยู่ในเรื่อง

นิราศภูเขาทองเป็นหนึ่งในนิราศที่ได้รับการยกย่องว่าแต่งดีของสุนทรภู่ เป็นงานอันทรงคุณค่าที่ใช้เป็นแบบเรียนภาษาไทยในปัจจุบัน เรามาถอดคำประพันธ์ตัวบทที่น่าสนใจในนิราศภูเขาทองกันดีกว่าค่ะว่ามีบทไหนที่เด่น ๆ ควรศึกษาและจดจำไว้เพื่อไม่ให้พลาดในการทำข้อสอบ ถอดคำประพันธ์ นิราศภูเขาทอง เนื่องจากนิราศภูเขาทองมีหลายบท ในที่นี้จะเลือกเฉพาะบทที่เด่น ๆ มาศึกษากันนะคะ เราไปดูกันที่บทแรกเลยค่ะ ถอดคำประพันธ์ บทนี้เป็นการเปรียบเทียบการดื่มเหล้ากับความรัก เหล้าเป็นอบายมุข เมื่อดื่มเข้าไปจะทำให้มีอาการมึนเมา สติสัมปชัญญะไม่ครบถ้วน แต่เมื่อเวลาผ่านไปอาการมึนเมาเหล่านั้นก็จะหายไป แต่หากหลงมัวเมาอยู่กับความรัก ไม่ว่าจะใช้เวลาเท่าไหร่ก็หายไปง่าย ๆ

การหารเลขยกกำลัง เมื่อเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก

การหารเลขยกกำลัง เมื่อเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก บทความนี้ ได้รวบรวมตัวอย่าง การหารเลขยกกำลัง เมื่อเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่งทำได้โดยการใช้สมบัติการหารของเลขยกกำลัง ก่อนจะเรียนรู้ ตัวอย่างการหารเลขยกกำลัง เมื่อเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก น้องๆจำเป็นต้องมีความรู้ในเรื่อง การคูณเลขยกกำลัง เมื่อเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก สามารถศึกษาเพิ่มเติมได้ที่ ⇒⇒ การคูณเลขยกกำลัง เมื่อเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก ⇐⇐ สมบัติของการหารเลขยกกำลัง am ÷ an = am – n (ถ้าเลขยกกำลังฐานเหมือนกันหารกัน ให้นำเลขชี้กำลังมาลบกัน)

Past Passive คืออะไร

Hi guys! สวัสดีค่ะนักเรียนชั้นม.3 ทุกคน วันนี้เราจะไปเรียนรู้เรื่อง Past Passive กันค่ะ ก่อนอื่นจะต้องไปรู้ความหมายกันก่อนน๊าว่ามันคืออะไร พร้อมแล้วก็ไปลุยกันโลด Past Passive คืออะไร Past หมายถึง อดีต ส่วน Passive มาจากโครงสร้างของ Passive voice (ประโยคที่ประธานถูกกระทำ เน้นกรรม) เมื่อนำมารวมกันแล้วPast

การนำเสนอข้อมูลในรูปแบบกราฟเส้น

ในบทคาวมนี้จะนำเสนอเนื้อของบทเรียนเรื่องกราฟเส้น นักเรียนจะสามารถเข้าในหลักการอ่านและการวิเคราะห์ข้อมูลจากกราฟเส้น รวมไปถึงสามารถมองความสัมพันธ์ของข้อมูลในแกนแนวตั้งและแนวนอนของกราฟเส้นได้อย่างถูกต้อง

ประโยคความรวม (Compound Sentence)

สวัสดีค่ะนักเรียนชั้นม.2 ที่น่ารักทุกคน เจอกันอีกแล้วจร้ากับไวยากรณ์การเขียนภาษาอังกฤษและวันนี้ครูจะพาไปดูเทคนิคการการใช้ประโยคความรวมในภาษาอังกฤษกันค่ะ ซึ่งเป็นไม้เบื่อไม้เมามากกับคนที่ไม่ชอบเขียน ครูเอาใจช่วยทุกคนค่า ไปลุยกันเลย ประโยคความรวม (Compound Sentence) ประโยคความรวม ภาษาอังกฤษคือ Compound Sentence อ่านว่า เคิมพาวดฺ เซนเท่นสฺ เป็นประโยคที่ประกอบด้วยประโยคความเดียวอย่างน้อย 2 ประโยคโดยมีคำเชื่อมระหว่างประโยค เช่น for,

ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์

สารบัญ

ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์

โดเมนและเรนจ์ของ sine function และ cosine function

ความสัมพันธ์ของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์

การหา ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์

การหาค่า sinθ cosθ โดยใช้มือซ้าย

ตัวอย่างการหาค่าฟังก์ชันไซน์และโคไซน์

แค่ 10 นาที ก็เข้าใจได้

แนะนำ

แชร์

ผู้ชนะ บทอาขยานที่ว่าด้วยความไม่ย่อท้อ

นิราศภูเขาทอง ศึกษาตัวบทที่น่าสนใจและคุณค่าที่แฝงอยู่ในเรื่อง

การหารเลขยกกำลัง เมื่อเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก

Past Passive คืออะไร

การนำเสนอข้อมูลในรูปแบบกราฟเส้น

ประโยคความรวม (Compound Sentence)

NockAcademy

ติดต่อ

เกี่ยวกับเรา

ความช่วยเหลือ

ทดลองฟรี!

เข้าใจได้ทันที NockAcademy ไลฟ์สดอันดับ 1

ทดลองฟรี!

เข้าใจได้ทันที NockAcademy ไลฟ์สดอันดับ 1