โดเมนของความสัมพันธ์

โดเมนของความสัมพันธ์

โดเมนของความสัมพันธ์ r คือ สมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับในความสัมพันธ์ r เขียนแทนด้วย $D_r$

กรณีที่ r เขียนแบบแจกแจงสมาชิก เราสามารถหาโดเมนได้เลยโดย $D_r$ คือสมาชิกตัวหน้า

เช่น $r_1$ = {(2, 2), (3, 4), (8, 9)}

จะได้ว่า $D_{r_1}$ = {2, 3, 8}

กรณีที่ r เขียนในรูปแบบที่บอกเงื่อนไข เราอาจจะสามารถนำมาเขียนแบบแจกแจงสมาชิกได้

เช่น ให้ A = {1, 2, 3} และ $r_2$ = {(x, y) ∈ A × A : y = 2x}

x = 1 ; y = 2(1) = 2

x = 2 ; y = 2(2) = 4

x = 3 ; y = 2(3) = 6

ได้คู่อันดับ ดังนี้ (1, 2), (2, 4), (3, 6) เนื่องจาก (x, y) ต้องเป็นสมาชิกใน A × A

และจาก (1, 2) ∈ A × A

(2, 4) ∉ A × A

(3, 6) ∉ A × A

ดังนั้น สามารถเขียน r ในรูปแจกแจงสมาชิกได้ดังนี้ $r_2$ = {(1, 2)}

สรุปได้ว่า $D_{r_2}$ = {1}

แต่บางกรณีเราไม่สามารถแจกแจงสมาชิกได้ เช่น ให้ x, y เป็นจำนวนจริงใดๆ และ $r_3$ = {(x, y) : y = $\frac{1}{x}$}

โดเมนของ $r_3$ คือ ค่า x ทุกตัวที่เป็นไปได้ ที่ทำให้ y เป็นจำนวนจริง

การที่จะหา x ที่ทำให้ y เป็นจำนวนจริงนั้น จำนวนของ x ที่เป็นไปได้มีเยอะมากๆๆๆๆ หายังไงก็ไม่หมดแน่นอน เราจึงต้องเปลี่ยนมา x ที่ทำให้ y ไม่เป็นจำนวนจริง ถ้าไม่มี เราสามารถตอบได้เลยว่า โดเมนคือ จำนวนจริง

แต่! ในตัวอย่างนี้เหมือนจะมี x ที่ทำให้ y ไม่เป็นจำนวนจริง นั่นคือ x = 0 จะได้ว่า y = $\frac{1}{0}$ ซึ่ง ไม่นิยาม

ดังนั้น โดเมนคือ จำนวนจริงทั้งหมดยกเว้น 0 เขียนได้เป็น $D_{r_3}$ = $\mathbb{R}$ – {0}

ตัวอย่างการหาโดเมนของความสัมพันธ์

1.) ให้ A = {1, 2, 3} และ r = {(x, y) : y = 2x , x ∈ A}

จาก x เป็นสมาชิกใน A

x = 1 ; y = 2(1) = 2

x = 2 ; y = 4

x = 3 ; y = 6

r = {(1, 2), (2, 4), (3, 6)}

ดังนั้น $D_r$ = {1, 2, 3} = A

2.) ให้ r = {(x, y) ∈ $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ : y = x²}

เงื่อนไขของ (x, y) ∈ $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$

พิจารณากราฟ y = x²

จะเห็นว่าค่ากราฟนั้นกางออกเรื่อยๆ ค่า x เป็นไปได้เรื่อยๆไม่สิ้นสุด จาก โดเมนของความสัมพันธืคือ สมาชิกตัวหน้าของความสัมพันธ์ใน r นั่นคือ x นั่นเอง

ดังนั้น $D_r$ = $\mathbb{R}$

3.) ให้ r = {(x, y) : y = $\frac{1}{x-3}$} และ x, y เป็นจำนวนจริงใดๆ

พิจารณากราฟของ y = $\frac{1}{x-3}$ จะได้

จะเห็นได้ว่า กราฟในรูปนั้น x เป็นอะไรก็ได้ ยกเว้น 3 เพราะ เมื่อลองลากเส้น x = 3 แล้ว กราฟของ y = $\frac{1}{x-3}$ นั้นไม่ตัดกับเส้น x = 3 เลย

หรือเราลองสังเกตจากสมการก็ได้ว่า ถ้า x = 3 จำทำให้ตัวส่วนเป็น 0 ซึ่งหาค่าไม่ได้ (ไม่นิยาม) ดังนั้น x อยู่ใน R ยกเว้น 3

และโดเมนก็คือ ค่า x เพราะ x เป็นสมาชิกตัวหน้าของความสัมพันธ์ r

ดังนั้น $D_r$ = R – {3} หรือ $D_r$ = {x : x ∈ R และ x ≠ 3}

4.) ให้ r = {(x, y) : y = $\sqrt{x}$} และ x, y เป็นจำนวนจริงใดๆ

พิจารณากราฟของสมการ y = $\sqrt{x}$

จะเห็นว่ากราฟที่ได้ x มีค่าตั้งแต่ 0 ไปเรื่อยๆ ไม่สิ้นสุด นั่นคือ x เป็นจำนวนจริงที่มากกว่าเท่ากับ 0

และโดเมนก็คือ ค่า x เพราะ x เป็นสมาชิกตัวหน้าของความสัมพันธ์ r

ดังนั้น $D_r$ = {x : x เป็นจำนวนจริง และ x ≥ 0}

วิดีโอ โดเมนของความสัมพันธ์

https://youtu.be/5opVt\_M5X7E

เนื้อหาที่เกี่ยวข้องกับโดเมนของความสัมพันธ์

1. กราฟของความสัมพันธ์