ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม

supanaree

คณิตศาสตร์, ฟังก์ชันตรีโกณมิติ, ม.5

Add LINE friends for one click to find article.

ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม

ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม จะเกี่ยวข้องกับมุมที่มีหน่วยเป็นองศา (degree) และมุมที่มัหน่วยเป็นเรเดียน (radian)

ในบทความนี้จะกล่าวถึงมุมทั้งหน่วยองศาและเรเดียน มุมฉาก การเปลี่ยนหน่วยของมุม สมบัติของฟังก์ชันตรีโกณมิติ และสามเหลี่ยมมุมฉาก

ก่อนที่จะเริ่มเข้าสู่เนื้อหา พี่อยากให้น้องๆได้รู้พื้นฐานเกี่ยวกับฟังก์ชันตรีโกณมิติเพื่อที่จะได้เข้าใจเนื้อหาในบทความนี้มากขึ้น

การวัดความยาวส่วนโค้ง
ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์
ฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่นๆ

หลังจากที่ไปทบทวนความรู้มาแล้วเรามาเริ่มเนื้อหาใหม่กันเลยค่ะ

หน่วยของมุม

1.) องศา (degree) คือหน่วยของมุมในระนาบ 2 มิติ โดยที่

1 มุมฉาก = 90°

1° = 60′ (ลิปดา)

1′ = 60″ (ฟิลิปดา)

มุมฉากที่น้องๆคุ้นกัน ก็คือ สามเหลี่ยมมุมฉาก

2.) เรเดียน (radian) คือหน่วยวัดมุมบนระนาบ 2 มิติ

มุม 1 เรเดียน คือขนาดของมุมที่วัดจากจุดศูนย์กลางของวงกลมที่กางออกตามส่วนโค้ง ซึ่งความยาวส่วนโค้งมีความยาวเท่ากับรัศมีของวงกลมพอดี

ดังนั้น มุม θ = $\frac{a}{r}$

ดังนั้นถ้าเราหมุนรัศมีครบ 1 รอบ จะได้ว่า $a=2\pi r$ นั่นคือ θ = $2\pi$ เรเดียน

จากนั้นเรามาพิจารณามุมฉาก (90°) ซึ่ง $a=\frac{2\pi r}{4}$

ดังนั้น 90° = $\frac{\pi}{2}$ ⇒ 180° = $\pi$

ตัวอย่างการเปลี่ยนหน่วยของมุม

5 $\pi$ เรเดียน เปลี่ยนเป็นองศา

จาก $\pi$ = 180° ดังนั้น 5 $\pi$ = 5(180) = 900°

$\frac{4\pi}{3}$ เรเดียน เปลี่ยนเป็นองศา

จะได้ $\frac{4\pi}{3}$ = $\frac{4(180)}{3}$ = 240°

780° เปลี่ยนเป็นเรเดียน

ใช้วิธีเทียบสัดส่วน คือ

180° = $\pi$

780° = $\frac{780\pi }{180}$ = $\frac{13\pi }{3}$

-330° เปลี่ยนเป็นเรเดียน

จะได้ $\frac{-330\pi }{180}$ = $\frac{-11\pi }{6}$

ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม 180° ± A, 360±A และ (-A) เมื่อ 0 < A < 90°

sin(180° – A) = sinA cosec(180° – A) = cosecA

cos(180° – A) = -cosA sec(180° – A) = -secA

tan(180° – A) = -tanA cot(180° – A) = -cotA

————————————————————————————————

sin(180° + A) = -sinA cosec(180° + A) = -cosecA

cos(180° + A) = -cosA sec(180° + A) = -secA

tan(180° + A) = tanA cot(180° + A) = cotA

————————————————————————————————

sin(360° + A) = sinA cosec(360° + A) = cosecA

cos(360° + A) = cosA sec(360° + A) = secA

tan(360° + A) = tanA cot(360° + A) = cot

————————————————————————————————

sin(360° – A) = -sinA cosec(360° – A) = -cosecA

cos(360° – A) = cosA sec(360° – A) = secA

tan(360° – A) = -tanA cot(360° – A) = -cot
————————————————————————————————
sin(-A) = -sinA cosec(-A) = -cosecA

cos(-A) = cosA sec(-A) = secA

tan(-A) = -tanA cot(-A) = -cotA

ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

A, B และ C เป็นมุมของสามเหลี่ยม

ในรูปนี้จะพิจารณามุม A

a แทนความยาวด้านตรงข้ามมุม A ⇒ ข้าม

b แทนความยาวด้านประชิดมุม A ⇒ ชิด

c แทนความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ⇒ ฉาก

จากรูปจะได้ว่า

sinA = ข้าม/ฉาก = $\frac{a}{c}$

cosA = ชิด/ฉาก = $\frac{b}{c}$

tanA = ข้าม/ชิด = $\frac{a}{b}$

ตัวอย่าง

ให้ cosθ = $\inline \frac{-3}{5}$ และ $\frac{\pi }{2}$ ≤ θ ≤ $\pi$

ขั้นแรกเราจะพิจารณาเงื่อนไขที่โจทย์ให้มา นั่นก็คือ $\frac{\pi }{2}$ ≤ θ ≤ $\pi$

ซึ่งจากเงื่อนไขนี้สามารถบอกได้ว่าเรากำลังพิจารณาค่าของฟังก์ชันตรีโกณที่อยู่ใน ควอดรันต์ที่ 2

ดังนั้น sinθ, cosecθ มีค่าเป็นบวก tanθ, cotθ และ secθ มีค่าเป็นลบ

จาก cosθ = $\inline \frac{-3}{5}$ = ชิด/ฉาก เราจะวาดรูปได้ดังนี้

หา a โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

c² = a² + b²

25 = a² + 9

a² = 16

a = ±4

จาก a คือความยาว ดังนั้น a = 4

ดังนั้น sinθ = $\inline \frac{4}{5}$

tanθ = $\inline -\frac{4}{3}$

cotθ = $\inline -\frac{3}{4}$

secθ = $\inline -\frac{5}{3}$

cosecθ = $\inline \frac{5}{4}$

การหาขนาดของมุมจากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

ถ้าเรามีรูปสามเหลี่ยมที่บอกความยาวด้านมา เราสามารถหามุมได้โดยใช้ข้อมูลเหล่านั้นช่วย

เช่น

จากรูปจะเห็นว่าบอกความความยาวด้านชิดมุมA และด้านตรงข้ามมุมฉาก

นั่นคือ รู้ชิด รู้ฉาก ดังนั้นเราจะหามุมจากฟังก์ชันcos

cosA = $\inline \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}$ = $\inline \frac{1}{\sqrt{2}}$ = $\inline \frac{\sqrt{2}}{2}$

ดังนั้น A = 45°

จากรูป เรารู้ความยาวด้านชิดมุมA และด้านตรงข้ามมุมA

ดังนั้นจะหาโดยใช้ tanA = $\inline \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}$ = $\sqrt{3}$

ดังนั้น A = 60°

มุมอื่นๆที่ควรรู้

มุม A = 35 จะได้ sin35° = $\inline \frac{3}{5}$ และ cos35° = $\inline \frac{4}{5}$

มุมA = 53 จะได้ sin53° = $\inline \frac{4}{5}$ และ cos53° = $\inline \frac{3}{5}$

วิดีโอเพิ่มเติม

NockAcademy คือโรงเรียนออนไลน์สำหรับเด็ก โดยแอปฯ และเว็บไซต์ นักเรียนสามารถเรียนรู้ผ่านคลิปบทเรียนวิชา คณิตศาสตร์ ภาษาอังกฤษ และภาษาไทย
มากไปกว่านั้น เรายังมีคอร์สเรียนออนไลน์ การสอนพิเศษ การติวนอกสถานที่โดยติวเตอร์ที่แน่นไปด้วยความรู้ อีกด้วย

แค่ 10 นาที ก็เข้าใจได้

สามารถดูคลิปบทเรียนวิชา คณิตศาสตร์ ภาษาอังกฤษ และภาษาไทย ที่มีมากกว่า 2,000+ คลิป และยังสามารถทำแบบทดสอบที่มีมากกว่า 4000+ ข้อ

แนะนำ

แชร์

ความน่าจะเป็น

บทความนี้จะแนะนำให้รู้จักกับ ความน่าจะเป็น ซึ่งได้กล่าวถึงในลักษณะของความหมายและยกตัวอย่างประกอบ รวมถึงคำที่เกี่ยวข้องกับความน่าจะเป็น เช่นการทดลองสุ่ม ปริภูมิตัวอย่าง และเหตุการณ์ ดังต่อไปนี้ ความน่าจะเป็น ความน่าจะเป็น (Probability) เป็นจำนวนที่ใช้เพื่อบอกโอกาสที่เหตุการณ์หนึ่ง ๆ จะเกิดขึ้น ซึ่งมี 3 ลักษณะ คือ ไม่เกิดขึ้นอย่างแน่นอนจะมีค่าความน่าจะเป็นเท่ากับ 0 อาจจะเกิดขึ้นหรือไม่ก็ได้ จะมีค่าความน่าจะเป็นอยู่ระหว่าง 0 กับ 1

การใช้ประโยคคำสั่ง หรือ Imperative sentence ในชีวิตประจำวัน

สวัสดีค่ะนักเรียนชั้นป.5 ที่น่ารักทุกคน วันนี้ครูจะพาไปเรียนรู้เกี่ยวกับ การใช้ประโยคคำสั่ง หรือ Imperative sentence ในชีวิตประจำวัน กันนะคะ ซึ่งเราจะเจอประโยคเหล่านี้ตั้งแต่ตื่นนอน ทานข้าว เดินไปโรงเรียน ไปดูหนัง ข้ามถนน ข้ามสะพาน ขึ้นแท็กซี่ และในกิจกรรมอื่นๆอีกมากมาย หากว่าพร้อมแล้วก็ไปลุยกันเลย รูปแบบและโครงสร้างประโยคคำสั่ง Imperative sentence คือประโยคที่เจอบ่อยเมื่อต้องพูด ให้คำคำปรึกษา

ระยะห่างของเส้นตรง

ระยะห่างของเส้นตรง ระยะห่างของเส้นตรง มีทั้งระยะห่างระหว่างจุดกับเส้นตรง และระหว่างเส้นตรงสองเส้นที่ขนานกัน ซึ่งจากบทความเรื่องเส้นตรง น้องๆพอจะทราบแล้วว่าเส้นตรงสองเส้นที่ขนานกันความชันจะเท่ากัน ในบทความนี้น้องๆจะทราบวิธีการหาระยะห่างของเส้นตรงที่ขนานกันด้วยซึ่งสามารถประยุกต์ใช้ในการหาสมการเส้นตรงได้ด้วย ระยะห่างระหว่างเส้นตรงกับจุด จากรูปจะได้ว่า โดยที่ A, B และ C เป็นค่าคงที่ และ A, B ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน ตัวอย่าง1 หาระยะห่างระหว่างจุด (1, 5) และเส้นตรง 2x

กลอนบทละครอ่านอย่างไรให้ถูกต้อง และไพเราะ

บทนำ สวัสดีน้อง ๆ ที่น่ารักทุกคน ยินดีต้อนรับเข้าสู่เนื้อหาการเรียนรู้ภาษาไทยอีกครั้ง สำหรับใครที่กำลังรอคอย บทเรียนเกี่ยวกับการอ่านบทอาขยานต้องมาทางนี้เลย เพราะว่าเราจะมาเรียนรู้หลักการอ่านอาขยานในประเภทบทละคร ซึ่งแน่นอนว่านอกจากน้อง ๆ จะได้เรียนรู้วิธีการอ่านที่ถูกต้องแล้ว ก็ยังจะได้สนุกไปกับเนื้อเรื่องของบทละครที่เราจะยกมาเป็นตัวอย่างในเนื้อหาวันนี้ด้วย ถ้าหากทุกคนพร้อมแล้วอย่ารอช้า เตรียมตัวไปเข้าสู่บทเรียนกันเลย บทอาขยาน คืออะไร อาขยาน [อา – ขะ – หยาน] คือ

Direct and Indirect Objects

สวัสดีน้องๆ ม. 5 ทุกคนนะครับ วันนี้เราจะมาทำความเข้าใจเรื่อง Direct และ Indirect Objects กันครับว่าคืออะไร ถ้าพร้อมแล้วไปดูกันเลย

สามก๊ก ความเป็นมาของวรรณกรรมจีนเพชรน้ำเอกของโลก

สามก๊ก เป็นวรรณกรรมจีนที่มีมีชื่อเสียงไปทั่วโลก ไม่เว้นแม้แต่ประเทศไทย โดยฉบับแปลที่เราคุ้นเคยกันเป็นอย่างดีคือฉบับที่แปลโดยเจ้าพระยาคลัง (หน) และด้วยเนื้อหาที่เต็มไปด้วยเล่ห์กลเพทุบาย กลศึกในการรบ การชิงรักหักเหลี่ยม ความเคียดแค้นชิงชัง ทำให้เนื้อเรื่องมีความยาวสมกับเป็นกับเป็นวรรณกรรมอิงประวัติศาสตร์ แต่บทเรียนที่น้อง ๆ จะเรียนคือตอน กวนอูไปรับราชการกับโจโฉ จะมีเนื้อหาและความเป็นมาอย่างไรเราไปเรียนรู้พร้อมกันค่ะ ความเป็นมาของ สามก๊ก สามก๊ก เป็นวรรณกรรมจีนอิงประวัติศาสตร์ ที่เรื่องราวและเหตุการณ์ต่าง ๆ เกิดขึ้นจริงในประวัติศาสตร์ของจีน (ค.ศ.

ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม

สารบัญ

ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม

หน่วยของมุม

ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

การหาขนาดของมุมจากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

วิดีโอเพิ่มเติม

แค่ 10 นาที ก็เข้าใจได้

แนะนำ

แชร์

ความน่าจะเป็น

การใช้ประโยคคำสั่ง หรือ Imperative sentence ในชีวิตประจำวัน

ระยะห่างของเส้นตรง

กลอนบทละครอ่านอย่างไรให้ถูกต้อง และไพเราะ

Direct and Indirect Objects

สามก๊ก ความเป็นมาของวรรณกรรมจีนเพชรน้ำเอกของโลก

NockAcademy

ติดต่อ

เกี่ยวกับเรา

ความช่วยเหลือ

ทดลองฟรี!

เข้าใจได้ทันที NockAcademy ไลฟ์สดอันดับ 1

ทดลองฟรี!

เข้าใจได้ทันที NockAcademy ไลฟ์สดอันดับ 1