ทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ (1)

ทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ (1)

ทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์เป็นสิ่งสำคัญสำหรับวิชาคณิตศาสตร์ เป็นเพราะว่าคณิตศาสตร์เป็นวิชาที่ว่าด้วยสัญลักษณ์ เหตุผล เเละการคำนวณ ซึ่งคณิตศาสตร์เเบ่งเป็น 2 ประเภท คือ

1. คณิตศาสตร์บริสุทธิ์ คือ คณิตศาสตร์ที่ถูกคิดค้นขึ้นมาโดยไม่ได้นำไปประยุกต์ใช้กับศาสตร์ใด ๆ
2. คณิตศาสตร์ประยุกต์ คือ คณิตศาสตร์ที่ถูกนำไปประยุกต์ใช้กับศาสตร์ต่าง ๆ หรือนำไปใช้ในชีวิตประจำวัน เช่น คณิตศาสตร์สำหรับวิศวกรรม คณิตศาสตร์การคลัง

โดยทักษะเเละกระบวนการทางคณิตศาสตร์ที่บทความนี้จะนำเสนอคือ การบวกกันของตัวเลขที่น่าสนใจ น้อง ๆ จะได้เรียนสูตรทั้งหมด 4 สูตรในบทความนี้

ผลบวกของตัวเลขที่น่าสนใจ

สูตรที่ 1) 1 + 2 + 3 + 4 + … + n = $\frac{n(n+1)}{2}$

โดยสูตรที่ 1 เป็นการบวกกันของตัวเลขที่เรียงกัน เเละเริ่มต้นจากเลข 1 ซึ่งในกรณีที่ตัวเลขเริ่มต้นไม่ได้เริ่มจากเลข 1

สูตรผลบวกของเลขหลายจำนวนที่เรียงกัน = จำนวนพจน์(ปลาย + ต้น) . 2 โดยจำนวนพจน์ = ปลาย – ต้น + 1

จะเห็นได้ว่าจากสูตรที่ 1 คือสูตรเดียวกันกับสูตรผลบวกของเลขหลายจำนวนที่เรียงกันซึ่งสูตรที่ 1 เริ่มต้นจากเลข 1 เเสดงว่า ต้น = 1, ปลาย = n, เเละจำนวนพจน์ = n เหมือนกันเพราะว่าเป็นการเรียงตัวกันตั้งเเต่ 1 ถึง n ดังนั้นสามารถนำ n มาเป็นจำนวนพจน์ได้

การเลือกใช้สูตรที่ 1 หรือสูตรผลบวกของเลขหลายจำนวนที่เรียงกัน ให้เลือกจากเลขเริ่มต้นจากโจทย์ถ้าเริ่มจากเลข 1 ให้ใช้สูตรที่ 1 ในการหาคำตอบ ถ้าโจทย์เริ่มจากเลขอื่นให้ใช้สูตรผลบวกของเลขหลายจำนวนที่เรียงกัน

สูตรที่ 2) 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n-1) = $n^{2}$ โดยสูตรที่ 2 เป็นการหาผลบวกของตัวเลขจำนวนคี่ที่เรียงติดกันเเละเริ่มต้นด้วยเลข 1

สูตรที่ 3) $1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ... + n^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ โดยสูตรที่ 3 เป็นการหาผลบวกของตัวเลขกำลังสองที่เรียงติดกันเเละเริ่มจากเลข 1

สูตรที่ 4) $1^{2} + 3^{2} + 5^{2} + ... + (2n-1)^{2} = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$ โดยสูตรที่ 4 เป็นการหาผลบวกของตัวเลขจำนวนคี่กำลังสองที่เรียงติดกันเเละเริ่มจากเลข 1

---

**ตัวอย่างโจทย์ทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ (**1)

ตัวอย่างที่ 1) จงหาผลบวกของ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +… + 71

วิธีทำ จากโจทย์เป็นผลบวกของชุดตัวเลขที่เรียงติดกันโดยเริ่มจาก 1 ดังนั้นใช้สูตร 1

1 + 2 + 3 + 4 + 5 +… + 71 = $\frac{n(n+1)}{2}$

. = $\frac{71(71+1)}{2}$

. = $\frac{71(72)}{2}$

. = $\frac{5112}{2}$

. = $2556$

ตอบ ผลบวกของชุดเลขจำนวนนี้มีค่าเท่ากับ 2556

ตัวอย่างที่ 2) จงหาผลบวกของ 40 + 41 + 42 + 43 + … + 68

วิธีทำ จากโจทย์เป็นผลบวกของชุดตัวเลขที่เรียงติดกันโดยเริ่มจาก 40 ดังนั้นใช้สูตรผลบวกของเลขหลายจำนวนที่เรียงกัน

40 + 41 + 42 + 43 + … + 68 = (จำนวนพจน์(ปลาย + ต้น))/2

เริ่มจากการหาจำนวนพจน์ก่อน ซึ่งจำนวนพจน์ = ปลาย – ต้น + 1 . = 68-40+1 . = 29

40 + 41 + 42 + 43 + … + 68 = (29(68 + 40))/2 . = (29(108))/2 . = (3132)/2 . = 1566

ตอบ ผลบวกของชุดเลขจำนวนนี้มีค่าเท่ากับ 1566

ตัวอย่างที่ 3) จงหาผลบวกของ 1 + 3 + 5 + 7 + … + 61

วิธีทำ จากโจทย์เป็นการหาผลบวกของตัวเลขจำนวนคี่ที่เรียงติดกันเเละเริ่มต้นด้วยเลข 1 ดังนั้นใช้สูตร 2

1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n-1) = $n^{2}$

โดยเราเริ่มจากการหา n ก่อนซึ่ง (2n-1) = 61 . 2n = 61 + 1 . 2n = 62 . n = 62/2 . n = 31

เมื่อ n = 31 เราสามารถหาผลบวกของชุดจำนวนนี้ได้ดังนี้

1 + 3 + 5 + 7 + … + 61 = $61^{2}$

1 + 3 + 5 + 7 + … + 61 = 3721

ตอบ ผลบวกของชุดเลขจำนวนนี้มีค่าเท่ากับ 3721

ตัวอย่างที่ 4) จงหาผลบวกของ $1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ... + 12^{2}$

วิธีทำ จากโจทย์เป็นการหาผลบวกของตัวเลขกำลังสองที่เรียงติดกันเเละเริ่มจากเลข 1 ดังนั้นใช้สูตร 3

$1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ... + 12^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ... + 12^{2} = \frac{12(12+1)(2(12)+1)}{6}$

$1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ... + 12^{2} = \frac{12(13)(25)}{6}$

$1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ... + 12^{2} = 2(13)(25)$

$1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ... + 12^{2} = 650$

ตอบ ผลบวกของชุดเลขจำนวนนี้มีค่าเท่ากับ 650

ตัวอย่างที่ 5) จงหาผลบวกของ $1^{2} + 3^{2} + 5^{2} + ... + 15^{2}$

วิธีทำ จากโจทย์เป็นการหาผลบวกของจำนวนคี่กำลังสองที่เรียงติดกันเเละเริ่มจากเลข 1 ดังนั้นใช้สูตร 4

$1^{2} + 3^{2} + 5^{2} + ... + (2n-1)^2 = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$

โดยเราเริ่มจากการหา n ก่อนซึ่ง (2n-1) = 15 . 2n = 15 + 1 . 2n = 16 . n = 16/2 . n = 8

$1^{2} + 3^{2} + 5^{2} + ... + 15^2 = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$

$1^{2} + 3^{2} + 5^{2} + ... + 15^2 = \frac{15(2(15)-1)(2(15)+1)}{3}$

$1^{2} + 3^{2} + 5^{2} + ... + 15^2 = \frac{15(29)(31)}{3}$

$1^{2} + 3^{2} + 5^{2} + ... + 15^2 = 5(29)(31)$

$1^{2} + 3^{2} + 5^{2} + ... + 15^2 = 4495$

ตอบ ผลบวกของชุดเลขจำนวนนี้มีค่าเท่ากับ 4495

หากน้อง ๆ สามารถหาผลบวกของตัวเลขที่น่าสนใจได้เเล้ว น้อง ๆ สามารถนำไปประยุกต์ใช้ในชีวิตประจำวันได้หลากหลายในอนาคตทั้งเรื่องของอนุกรมเเละผลบวกของอนุกรม น้อง ๆ สามารถศึกษา ทักษะเเละกระบวนการทางคณิตศาสตร์ เพิ่มเติมได้ในคลิปวิดีโอด้านล่าง

---

คลิปวิดีโอ ทักษะเเละกระบวรการทางคณิตศาสตร์ (1)

คลิปวิดีโอนี้ได้รวบรวมวิธีหา ทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ ไว้อย่างละเอียด ซึ่งเป็นคลิปสั้นๆ ที่สามารถเข้าใจได้ง่าย แฝงไปด้วยความรู้ เเละเทคนิครวมถึงการอธิบาย ตัวอย่าง เเละสอนวิธีคิดที่จะทำให้วิชาคณิตศาสตร์เป็นเรื่องง่าย