ลำดับเลขคณิต

supanaree

คณิตศาสตร์, ม.6, ลำดับและอนุกรม

Add LINE friends for one click to find article.

ลำดับเลขคณิต

ลำดับเลขคณิต คือลำดับที่มีค่าเพิ่มขึ้นหรือลดลงอย่างคงที่ โดยจำนวนที่เพิ่มขึ้นหรือลดลงนี้เราเรียกว่าผลต่างร่วม แทนด้วยสัญลักษณ์ d โดยที่ d = พจน์ขวา – พจน์ซ้าย

การเขียนลำดับเราจะเขียนแทนด้วย $ลำดับเลขคณิต$ โดยที่ $a_n$ คือพจน์ทั่วไปหรือเรียกอีกอย่างว่า พจน์สุดท้ายนั่นเอง

การหาพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิต

พจน์ที่1 $\rightarrow$ n = 1 ; $a_{1}=a_{1}$

พจน์ที่2 $\rightarrow$ n = 2 ; $a_{2}=a_{1}+d$

พจน์ที่3 $\rightarrow$ n = 3 ; $a_{3}=a_{2}+d+d =a_{2}+2d$

$=a_{1}+d+d$

. $=a_{1}+2d$

พจน์ที่ n $\rightarrow$ n = n ; $a_{n}=a_{n-1}+d$

$ลำดับเลขคณิต$

ดังนั้น สูตรในการหาพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิต

$ลำดับเลขคณิต$

วิธีการแก้โจทย์ปัญหาที่เกี่ยวกับลำดับเลขคณิต

ต้องรู้ว่าโจทย์ถามหาอะไร จากนั้นเขียนสิ่งที่โจทย์ต้องการไว้ เช่น โจทย์ต้องการหาพจน์ที่ 5 เราจะเขียน $a_5=a_1+4d$ จากนั้นเราก็จะรู้แล้วว่าเราต้องหาอะไรเพื่อให้สมการมันสมบูรณ์และได้คำตอบที่ต้องการ
ดูว่าโจทย์ให้อะไรมาบ้าง โจทย์บางโจทย์อาจจะไม่ให้มาแบบตรงๆ เช่น 1, 3, 5,7,… สิ่งที่โจทย์ให้มาคือ $a_1$ และ d จะเห็นว่าโจทย์ไม่ได้ให้ d มาตรงๆแต่เราต้องสังเกตเอง
ใช้สิ่งที่โจทย์มา ในการหาสิ่งที่เราต้องการในข้อ 1.

จากข้อ 1-3 ถ้าทำครบตามนี้เราก็จะได้คำตอบตามต้องการแล้ว ทั้งนี้ต้องอาศัยการสังเกต และการฝึกทำบ่อยๆให้ชินด้วย

ตัวอย่างลำดับเลขคณิต

โจทย์ลำดับเลขคณิตนั้น สามารถพลิกแพลงได้เยอะมาก ไม่ว่าจะเป็น หาพจน์ที่ n หาว่าค่าที่กำหนดให้นั้นคือพจน์ที่เท่าไหร่ และอีกมากมาย เราไปดูตัวอย่างกันเลย

1. จงหาพจน์ทั่วไป ( $a_{n}$ ) ของ 5, 7, 9, 11, …

จากโจทย์ $\inline a_{1}=5$ $\inline d=7-5=2$

จากสูตร $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$

จะได้ $a_{n}=5+(n-1)(2)$

$=5+2n-2$

$=3+2n$

ดังนั้น $a_{n}=3+2n$

2. ให้ a และ b เป็นจำนวนจริงบวก ถ้า a, 10, b, 20, … เป็นลำดับเลขคณิตจงหาพจน์ที่ 10 , a และ b

จากสูตร $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$

$10=a_{1}+d$ $\cdots$ (1)

$20=a_{1}+3d$ $\cdots$ (2)

(2) – (1) : $10=2d$

$d=5$

แทน $\inline d=5$ ใน (1) : $\inline 10=a_{1}+5$

$\inline a_{1}=5$

$\therefore$ $a=5$ และ $b=5+2(5)=15$

ดังนั้น $a_{10}=5+9(5)$

$=50$

3. ถ้าพจน์ที่ 5 และพจน์ที่ 10 ของลำดับเลขคณิตเป็น 14 และ 29 ตามลำดับ แล้วพจน์ที่ 99 เท่ากับเท่าใด

จากสูตร $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$

พจน์ที่ 5 จะได้ว่า $\inline a_{5}=14=a_{1}+4d$ $\cdots$ (1)

พจน์ที่ 10 จะได้ว่า $\inline a_{10}=29=a_{1}+9d$ $\cdots$ (2)

(2) – (1) : $15=5d$

$d=3$

แทน $\inline d=3$ ใน (1) : $\inline 14=a_{1}+4(3)$

$\inline a_{1}=14-12=5$

$\therefore$ $a_{1}=2$ และ $\inline d=3$

พจน์ที่ 99

$a_{99}=a_{1}+98(d)$

$=2+98(3)$

$=296$

4. ลำดับ -24, -15, -6, 3, 12, 21, … , 1776 มีกี่พจน์ (O-net 54)

จากโจทย์ $d=-15-(-24)=9$ และ $a_{1}=-24$

“พจน์สุดท้าย (พจน์ที่ n ) มีค่าเท่ากับ 1776”

หา n โดยที่ $a_{n}=1776$

$1776=-24+(n-1)(9)$

$1776=-24+9n-9$

$1776+33=9n$

$n=\frac{1809}{9}=201$

ดังนั้น ลำดับดังกล่าวมี 201 พจน์

5. พจน์ที่ 60 ของลำดับเลขคณิต x + 2 , 2x – 5, 2x + 2, …เท่ากับเท่าไหร่

จากโจทย์สิ่งที่ต้องการหาคือ $a_{60}$

สื่งที่โจทย์ให้มาคือ พจน์แรก และ

สิ่งแรกที่ต้องทำคือหา x โดยใช้สูตรลำดับเลขคณิต

จาก d = พจน์ซ้าย – พจน์ขวา

d = 2x – 5 – (x + 2) = 2x + 2 – (2x – 5)

x – 7 = 7

x = 14

เมื่อนำค่า x ที่หาได้ไปแทน จะได้ลำดับเลขคณิต ดังนี้ 16, 23, 30,…

จากลำดับข้างต้นจะได้ d = 23 – 16 = 7

หา พจน์ที่ 60

$a_{60}=16+59(7)=16+413=429$

ดังนั้น พจน์ที่ 60 เท่ากับ 429

6. ลำดับเลขคณิต 4 จำนวนที่อยู่กลางระหว่าง 4 กับ 49 คือจำนวนใดบ้าง

ลองเขียนอนุกรมจะได้ 4, a, b, c, d, 49

จากโจทย์สิ่งที่เรารู้คือ พจน์แรก และพจน์สุดท้าย ดังนั้นเราามารถหา d จากพจน์สุดท้ายได้ โดยใช้สูตรลำดับเลขคณิต

ได้เป็น

49 = 4 + 5d (เนื่องจาก 49 คือพจน์ที่ 6 ดังนั้น n -1 = 5)

45 = 5d

d = 9

เขียนเป็นลำดับเลขคณิตได้เป็น 4, 13, 22, 31, 40, 49

ดังนั้น 4 พจน์ที่อยู่กลางระหว่าง 4 กับ 29 คือ 13, 22, 31, 40 ตามลำดับ

ตัวอย่างโจทย์ปัญหาเกี่ยวกับ ลำดับเลขคณิต

1.) แป้งกู้เงินมาจำนวนหนึ่ง โดยจ่ายเงินเดือนแรก 200 บาท และเดือนถัดไปแป้งต้องจ่ายเพิ่มทุกเดือนเดือนละ 50 บาท หลังจากชำระหมดพบว่าเดือนสุดท้ายแป้งจ่ายเงินไป 950 บาท แป้งจ่ายเงินไปทั้งสิ้นกี่เดือน

วิธีทำ

1. หาว่าโจทย์ต้องการอะไร

จะเห็นว่า โจทย์ถามว่าจ่ายเงินไปกี่เดือน นั่นก็คือหาจำนวนเดือน หรือ หา n นั่นเอง

เราจะหา n ได้จากสูตร $ลำดับเลขคณิต$ ดังนั้นเราต้องหา $a_n,a_1$ และ d

2. ดูว่าโจทย์ให้อะไรมาบ้าง

จากโจทย์ สามารถเขียนได้เป็น 200, 250, 300,…, 950

จะเห็นว่า โจทย์ให้ $a_1=200$ , d = 50 และ $a_n=950$

3. นำข้อ 2 ไปเติมในสูตรที่เราเขียนไว้ จะได้ว่า

$a_n=a_1+(n-1)d$

950=200+(n-1)(50)

950=200+50n – 50

950 = 150 + 50n

800 = 50n

n = 16

ดังนั้น แป้งจ่ายเงินไปทั้งหมด 16 เดือน

2.) แป้งมีเงินในเก็บ 20 บาท และจะเก็บเพิ่มทุกวันวันละ 3 บาท ปริมมีเงินในธนาคาร 300 บาท และจะฝากเงินเพิ่มวันละ 20 บาททุกวัน ในวันที่ แป้งมีเงินในกระปุก 44 บาท ปริมจะมีเงินในธนาคารกี่บาท

วิธีทำ 1. โจทย์ต้องการหา จำนวนเงินของปริมในวันที่(n)แป้งมีเงิน 44 บาท นั่นคือ เราต้องหาจำนวนวันที่แป้งมีเงิน 44 บาท (หา n) จากนั้น หาว่าปริมมีเงินเท่าไหร่ในวันที่ n

2. สิ่งที่โจทย์ให้มา

20, 23, 26, …, 44 (การเก็บเงินของแป้ง) d = 3

300, 320,340, … (การเก็บเงินในธนาคารของปริม) d = 20

3. นำข้อมูลจากข้อ 2 มาแก้โจทย์

หาว่า วันที่แป้งมีเงิน 44 บาท คือวันที่เท่าไหร่

44=20+(n-1)(3) (สูตรลำดับเลขคณิต)

44=20+3n -3

44=17 + 3n

27 = 3n

n = 9

ดังนั้น วันที่ 9 แป้งมีเงินเก็บ 44 บาท

จากนั้นเราจะหาว่า วันที่ 9 ปริมมีเงินเก็บเท่าไหร่โดยใช้สูตรลำดับเลขคณิต

$a_9=300+(8-1)(20)$

$a_9=300+7(20)=300+140=440$

ดังนั้นวันที่แป้งมีเงินเก็บ 44 บาท ปริมจะมีเงินทั้งหมด 440 บาท

วิดีโอเพิ่มเติมเกี่ยวกับลำดับเลขคณิต

NockAcademy คือโรงเรียนออนไลน์สำหรับเด็ก โดยแอปฯ และเว็บไซต์ นักเรียนสามารถเรียนรู้ผ่านคลิปบทเรียนวิชา คณิตศาสตร์ ภาษาอังกฤษ และภาษาไทย
มากไปกว่านั้น เรายังมีคอร์สเรียนออนไลน์ การสอนพิเศษ การติวนอกสถานที่โดยติวเตอร์ที่แน่นไปด้วยความรู้ อีกด้วย

แค่ 10 นาที ก็เข้าใจได้

สามารถดูคลิปบทเรียนวิชา คณิตศาสตร์ ภาษาอังกฤษ และภาษาไทย ที่มีมากกว่า 2,000+ คลิป และยังสามารถทำแบบทดสอบที่มีมากกว่า 4000+ ข้อ

แนะนำ

แชร์

การใช้ Tenses : Present Simple Tense/ Present Continuous Tense

สวัสดีนักเรียนชั้นม.2 ที่น่ารักทุกคน วันนี้เราจะไปดู “การใช้ Tenses : Present simple/ Present Continuous” พร้อมทั้งตัวอย่างสถานการณ์ใกล้ตัว หากพร้อมแล้วก็ไปลุยกันเลย ทบทวน Present Simple Tense ความหมาย: Present แปลว่า ปัจจุบัน ดังนั้น Present

รอบรู้เรื่องมงคลสูตรคำฉันท์ วรรณคดีพระพุทธศาสนาที่มาของหลักมงคล 38

บทนำ สวัสดีน้อง ๆ ทุกคนกลับมาพบกับบทเรียนภาษาไทยที่น่าสนใจอีกเช่นเคย สำหรับเนื้อหาวันนี้เราจะขอหยิบยกวรรณคดีพระพุทธศาสนามาเล่าให้ทุกคนได้ฟังกันบ้าง ซึ่งวรรณคดีที่เราได้เลือกมานั่นก็คือเรื่อง มงคลสูตรคำฉันท์ เชื่อว่าน้อง ๆ มัธยมปลายหลายคนคงจะคุ้นเคยกับเรื่องนี้กันดีอยู่แล้ว เพราะเป็นวรรณคดี ที่สอนบรรทัดฐานของการกระทำความดีตามวิถีของชาวพุทธ และเป็นที่มาของหลักมงคล 38 ประการด้วย ดีงนั้น เดี๋ยววันนี้เราจะพาน้อง ๆ ไปรู้จักกับวรรณคดีเรื่องนี้ให้มากขึ้น ถ้าพร้อมแล้วก็เตรียมตัวเข้าสู่เนื้อหากันได้เลย ประวัติความเป็นมา เรื่อง

ระดับภาษา เรียนรู้วิธีใช้ให้ถูกต้องและเหมาะสม

ระดับภาษา มีความสำคัญอย่างมากในภาษาไทย น้อง ๆ ทราบไหมคะว่าภาษาที่เราใช้กันอยู่ในทุกวันนี้ ก็มีระดับของมันที่จะเป็นตัวบ่งบอกความเหมาะสม ให้เราได้เลือกใช้กันอย่างถูกกาลเทศะ อยากรู้ไหมคะว่ามีกี่ระดับ แต่ละระดับเป็นอย่างไร ต้องใช้แบบไหน ใช้กับใครจึงจะถูก ถ้าพร้อมแล้ว ไปเรียนรู้บทเรียนภาษาไทยในวันนี้กันเลยค่ะ ความหมายของ ระดับภาษา ระดับภาษา หมายถึง ความลดหลั่นของถ้อยคำและการเรียบเรียงถ้อยคำที่ใช้โดยพิจารณาตามโอกาสหรือกาลเทศะ ความสัมพันธ์ระหว่างบุคคลที่เป็นผู้สื่อสาร ผู้รับสาร และเนื้อหาที่สื่อสาร

เสียงพยัญชนะไทย ออกเสียงอย่างไรให้ถูกต้อง

เชื่อว่าน้อง ๆ หลายคงเคยสงสัยเรื่องการออกเสียงพยัญชนะไทยกันไม่มากก็น้อย เพราะพยัญชนะในภาษาไทยของเรานั้นมีด้วยกัน 44 ตัว แต่กลับมีหน่วยเสียงเพียงครึ่งเดียวเท่านั้น ทำไมการออกเสียงพยัญชนะไทยถึงไม่สามารถออกเสียงตามรูปอักษรทั้ง 44 รูปได้? ไหนจะพยัญชนะท้ายที่เขียนอีกอย่างแต่ดันออกเสียงไปอีกอย่าง บทเรียนในวันนี้จะช่วยไขข้อข้องใจให้กับน้อง ๆ หรือคนที่กำลังสับสนเรื่องการออกเสียงพยัญชนะไทย ให้กระจ่างและสามารถออกเสียงได้อย่างถูกต้อง ดังนั้น เราไปเรียนรู้เรื่องนี้พร้อม ๆ กันเลยค่ะ เสียงพยัญชนะไทย เสียงพยัญชนะ คือ

Conjunctions of time

สวัสดีค่ะนักเรียนชั้นม.5 ที่รักทุกคนวันนี้เราจะไปเรียนรู้กันเรื่อง “การใช้ Conjunctions of time” กันนะคะ ถ้าพร้อมแล้วก็ไปลุยกันโลด Conjunctions of time คืออะไร Conjunctions of time คือ คำสันธานที่ถือเป็น Subordinating conjunctions รูปแบบหนึ่งที่เน้นบอกเวลา (time) เช่น whenever (

จำนวนอตรรกยะ

ในบทความนี้เราจะได้รู้จักความหมายของจำนวนอตรรกยะ และหลักการของจำนวนอตรรกยะกับการนำไปประยุกต์

ลำดับเลขคณิต

สารบัญ

ลำดับเลขคณิต

ตัวอย่างลำดับเลขคณิต

ตัวอย่างโจทย์ปัญหาเกี่ยวกับ ลำดับเลขคณิต

วิดีโอเพิ่มเติมเกี่ยวกับลำดับเลขคณิต

แค่ 10 นาที ก็เข้าใจได้

แนะนำ

แชร์

การใช้ Tenses : Present Simple Tense/ Present Continuous Tense

รอบรู้เรื่องมงคลสูตรคำฉันท์ วรรณคดีพระพุทธศาสนาที่มาของหลักมงคล 38

ระดับภาษา เรียนรู้วิธีใช้ให้ถูกต้องและเหมาะสม

เสียงพยัญชนะไทย ออกเสียงอย่างไรให้ถูกต้อง

Conjunctions of time

จำนวนอตรรกยะ

NockAcademy

ติดต่อ

เกี่ยวกับเรา

ความช่วยเหลือ

ทดลองฟรี!

เข้าใจได้ทันที NockAcademy ไลฟ์สดอันดับ 1

ทดลองฟรี!

เข้าใจได้ทันที NockAcademy ไลฟ์สดอันดับ 1