ลำดับเลขคณิต

supanaree

คณิตศาสตร์, ม.6, ลำดับและอนุกรม

Add LINE friends for one click to find article.

ลำดับเลขคณิต

ลำดับเลขคณิต คือลำดับที่มีค่าเพิ่มขึ้นหรือลดลงอย่างคงที่ โดยจำนวนที่เพิ่มขึ้นหรือลดลงนี้เราเรียกว่าผลต่างร่วม แทนด้วยสัญลักษณ์ d โดยที่ d = พจน์ขวา – พจน์ซ้าย

การเขียนลำดับเราจะเขียนแทนด้วย $ลำดับเลขคณิต$ โดยที่ $a_n$ คือพจน์ทั่วไปหรือเรียกอีกอย่างว่า พจน์สุดท้ายนั่นเอง

การหาพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิต

พจน์ที่1 $\rightarrow$ n = 1 ; $a_{1}=a_{1}$

พจน์ที่2 $\rightarrow$ n = 2 ; $a_{2}=a_{1}+d$

พจน์ที่3 $\rightarrow$ n = 3 ; $a_{3}=a_{2}+d+d =a_{2}+2d$

$=a_{1}+d+d$

. $=a_{1}+2d$

พจน์ที่ n $\rightarrow$ n = n ; $a_{n}=a_{n-1}+d$

$ลำดับเลขคณิต$

ดังนั้น สูตรในการหาพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิต

$ลำดับเลขคณิต$

วิธีการแก้โจทย์ปัญหาที่เกี่ยวกับลำดับเลขคณิต

ต้องรู้ว่าโจทย์ถามหาอะไร จากนั้นเขียนสิ่งที่โจทย์ต้องการไว้ เช่น โจทย์ต้องการหาพจน์ที่ 5 เราจะเขียน $a_5=a_1+4d$ จากนั้นเราก็จะรู้แล้วว่าเราต้องหาอะไรเพื่อให้สมการมันสมบูรณ์และได้คำตอบที่ต้องการ
ดูว่าโจทย์ให้อะไรมาบ้าง โจทย์บางโจทย์อาจจะไม่ให้มาแบบตรงๆ เช่น 1, 3, 5,7,… สิ่งที่โจทย์ให้มาคือ $a_1$ และ d จะเห็นว่าโจทย์ไม่ได้ให้ d มาตรงๆแต่เราต้องสังเกตเอง
ใช้สิ่งที่โจทย์มา ในการหาสิ่งที่เราต้องการในข้อ 1.

จากข้อ 1-3 ถ้าทำครบตามนี้เราก็จะได้คำตอบตามต้องการแล้ว ทั้งนี้ต้องอาศัยการสังเกต และการฝึกทำบ่อยๆให้ชินด้วย

ตัวอย่างลำดับเลขคณิต

โจทย์ลำดับเลขคณิตนั้น สามารถพลิกแพลงได้เยอะมาก ไม่ว่าจะเป็น หาพจน์ที่ n หาว่าค่าที่กำหนดให้นั้นคือพจน์ที่เท่าไหร่ และอีกมากมาย เราไปดูตัวอย่างกันเลย

1. จงหาพจน์ทั่วไป ( $a_{n}$ ) ของ 5, 7, 9, 11, …

จากโจทย์ $\inline a_{1}=5$ $\inline d=7-5=2$

จากสูตร $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$

จะได้ $a_{n}=5+(n-1)(2)$

$=5+2n-2$

$=3+2n$

ดังนั้น $a_{n}=3+2n$

2. ให้ a และ b เป็นจำนวนจริงบวก ถ้า a, 10, b, 20, … เป็นลำดับเลขคณิตจงหาพจน์ที่ 10 , a และ b

จากสูตร $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$

$10=a_{1}+d$ $\cdots$ (1)

$20=a_{1}+3d$ $\cdots$ (2)

(2) – (1) : $10=2d$

$d=5$

แทน $\inline d=5$ ใน (1) : $\inline 10=a_{1}+5$

$\inline a_{1}=5$

$\therefore$ $a=5$ และ $b=5+2(5)=15$

ดังนั้น $a_{10}=5+9(5)$

$=50$

3. ถ้าพจน์ที่ 5 และพจน์ที่ 10 ของลำดับเลขคณิตเป็น 14 และ 29 ตามลำดับ แล้วพจน์ที่ 99 เท่ากับเท่าใด

จากสูตร $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$

พจน์ที่ 5 จะได้ว่า $\inline a_{5}=14=a_{1}+4d$ $\cdots$ (1)

พจน์ที่ 10 จะได้ว่า $\inline a_{10}=29=a_{1}+9d$ $\cdots$ (2)

(2) – (1) : $15=5d$

$d=3$

แทน $\inline d=3$ ใน (1) : $\inline 14=a_{1}+4(3)$

$\inline a_{1}=14-12=5$

$\therefore$ $a_{1}=2$ และ $\inline d=3$

พจน์ที่ 99

$a_{99}=a_{1}+98(d)$

$=2+98(3)$

$=296$

4. ลำดับ -24, -15, -6, 3, 12, 21, … , 1776 มีกี่พจน์ (O-net 54)

จากโจทย์ $d=-15-(-24)=9$ และ $a_{1}=-24$

“พจน์สุดท้าย (พจน์ที่ n ) มีค่าเท่ากับ 1776”

หา n โดยที่ $a_{n}=1776$

$1776=-24+(n-1)(9)$

$1776=-24+9n-9$

$1776+33=9n$

$n=\frac{1809}{9}=201$

ดังนั้น ลำดับดังกล่าวมี 201 พจน์

5. พจน์ที่ 60 ของลำดับเลขคณิต x + 2 , 2x – 5, 2x + 2, …เท่ากับเท่าไหร่

จากโจทย์สิ่งที่ต้องการหาคือ $a_{60}$

สื่งที่โจทย์ให้มาคือ พจน์แรก และ

สิ่งแรกที่ต้องทำคือหา x โดยใช้สูตรลำดับเลขคณิต

จาก d = พจน์ซ้าย – พจน์ขวา

d = 2x – 5 – (x + 2) = 2x + 2 – (2x – 5)

x – 7 = 7

x = 14

เมื่อนำค่า x ที่หาได้ไปแทน จะได้ลำดับเลขคณิต ดังนี้ 16, 23, 30,…

จากลำดับข้างต้นจะได้ d = 23 – 16 = 7

หา พจน์ที่ 60

$a_{60}=16+59(7)=16+413=429$

ดังนั้น พจน์ที่ 60 เท่ากับ 429

6. ลำดับเลขคณิต 4 จำนวนที่อยู่กลางระหว่าง 4 กับ 49 คือจำนวนใดบ้าง

ลองเขียนอนุกรมจะได้ 4, a, b, c, d, 49

จากโจทย์สิ่งที่เรารู้คือ พจน์แรก และพจน์สุดท้าย ดังนั้นเราามารถหา d จากพจน์สุดท้ายได้ โดยใช้สูตรลำดับเลขคณิต

ได้เป็น

49 = 4 + 5d (เนื่องจาก 49 คือพจน์ที่ 6 ดังนั้น n -1 = 5)

45 = 5d

d = 9

เขียนเป็นลำดับเลขคณิตได้เป็น 4, 13, 22, 31, 40, 49

ดังนั้น 4 พจน์ที่อยู่กลางระหว่าง 4 กับ 29 คือ 13, 22, 31, 40 ตามลำดับ

ตัวอย่างโจทย์ปัญหาเกี่ยวกับ ลำดับเลขคณิต

1.) แป้งกู้เงินมาจำนวนหนึ่ง โดยจ่ายเงินเดือนแรก 200 บาท และเดือนถัดไปแป้งต้องจ่ายเพิ่มทุกเดือนเดือนละ 50 บาท หลังจากชำระหมดพบว่าเดือนสุดท้ายแป้งจ่ายเงินไป 950 บาท แป้งจ่ายเงินไปทั้งสิ้นกี่เดือน

วิธีทำ

1. หาว่าโจทย์ต้องการอะไร

จะเห็นว่า โจทย์ถามว่าจ่ายเงินไปกี่เดือน นั่นก็คือหาจำนวนเดือน หรือ หา n นั่นเอง

เราจะหา n ได้จากสูตร $ลำดับเลขคณิต$ ดังนั้นเราต้องหา $a_n,a_1$ และ d

2. ดูว่าโจทย์ให้อะไรมาบ้าง

จากโจทย์ สามารถเขียนได้เป็น 200, 250, 300,…, 950

จะเห็นว่า โจทย์ให้ $a_1=200$ , d = 50 และ $a_n=950$

3. นำข้อ 2 ไปเติมในสูตรที่เราเขียนไว้ จะได้ว่า

$a_n=a_1+(n-1)d$

950=200+(n-1)(50)

950=200+50n – 50

950 = 150 + 50n

800 = 50n

n = 16

ดังนั้น แป้งจ่ายเงินไปทั้งหมด 16 เดือน

2.) แป้งมีเงินในเก็บ 20 บาท และจะเก็บเพิ่มทุกวันวันละ 3 บาท ปริมมีเงินในธนาคาร 300 บาท และจะฝากเงินเพิ่มวันละ 20 บาททุกวัน ในวันที่ แป้งมีเงินในกระปุก 44 บาท ปริมจะมีเงินในธนาคารกี่บาท

วิธีทำ 1. โจทย์ต้องการหา จำนวนเงินของปริมในวันที่(n)แป้งมีเงิน 44 บาท นั่นคือ เราต้องหาจำนวนวันที่แป้งมีเงิน 44 บาท (หา n) จากนั้น หาว่าปริมมีเงินเท่าไหร่ในวันที่ n

2. สิ่งที่โจทย์ให้มา

20, 23, 26, …, 44 (การเก็บเงินของแป้ง) d = 3

300, 320,340, … (การเก็บเงินในธนาคารของปริม) d = 20

3. นำข้อมูลจากข้อ 2 มาแก้โจทย์

หาว่า วันที่แป้งมีเงิน 44 บาท คือวันที่เท่าไหร่

44=20+(n-1)(3) (สูตรลำดับเลขคณิต)

44=20+3n -3

44=17 + 3n

27 = 3n

n = 9

ดังนั้น วันที่ 9 แป้งมีเงินเก็บ 44 บาท

จากนั้นเราจะหาว่า วันที่ 9 ปริมมีเงินเก็บเท่าไหร่โดยใช้สูตรลำดับเลขคณิต

$a_9=300+(8-1)(20)$

$a_9=300+7(20)=300+140=440$

ดังนั้นวันที่แป้งมีเงินเก็บ 44 บาท ปริมจะมีเงินทั้งหมด 440 บาท

วิดีโอเพิ่มเติมเกี่ยวกับลำดับเลขคณิต

NockAcademy คือโรงเรียนออนไลน์สำหรับเด็ก โดยแอปฯ และเว็บไซต์ นักเรียนสามารถเรียนรู้ผ่านคลิปบทเรียนวิชา คณิตศาสตร์ ภาษาอังกฤษ และภาษาไทย
มากไปกว่านั้น เรายังมีคอร์สเรียนออนไลน์ การสอนพิเศษ การติวนอกสถานที่โดยติวเตอร์ที่แน่นไปด้วยความรู้ อีกด้วย

แค่ 10 นาที ก็เข้าใจได้

สามารถดูคลิปบทเรียนวิชา คณิตศาสตร์ ภาษาอังกฤษ และภาษาไทย ที่มีมากกว่า 2,000+ คลิป และยังสามารถทำแบบทดสอบที่มีมากกว่า 4000+ ข้อ

แนะนำ

แชร์

นิราศภูเขาทอง ประวัติความเป็นมาของวรรณคดีที่แต่งโดยสุนทรภู่

นิราศภูเขาทอง เชื่อว่าน้อง ๆ หลายคนคงจะเคยได้ยินเรื่องนิราศภูเขาทองผ่านหูกันมาบ้างไม่มากก็น้อย แต่น้อง ๆ ทราบหรือเปล่าคะว่านิราศภูเขาทองคืออะไร และมีที่มาอย่างไร ก่อนอื่นมาดูความหมายของนิราศกันก่อนนะคะ นิราศ คือวรรณคดีที่แต่งขึ้นเพื่อเล่าถึงการเดินจากที่หนึ่งไปอีกที่หนึ่ง โดยระหว่างการเดินทาง กวีก็จะนำสิ่งต่าง ๆ ที่ได้พบเห็น ไม่ว่าจะเป็นธรรมชาติ วิวทิวทัศน์หรือความเป็นอยู่ของผู้คนมาพรรณนา หลังจากเข้าใจความหมายของนิราศแล้วก็ไปเริ่มเรียนรู้ประวัติความเป็นมาและเรื่องย่อของนิราศภูเขาทอง หนึ่งในกลอนนิราศที่ได้รับการยกย่องว่าแต่งดีที่สุดของสุนทรภู่กันเลยค่ะ ประวัติความเป็นมา สุนทรภู่แต่งนิราศภูเขาทองขึ้นมาในสมัยรัชสมัยพระบาทสมเด็จพระนั่งเกล้าเจ้าอยู่เจ้าหัว

โคลงนฤทุมนาการ โคลงสุภาษิตสอนใจรู้ไว้ไม่เป็นทุกข์

หลังจากได้ศึกษาเรื่องโคลงโสฬสไตรยางค์ไปแล้ว น้อง ๆ ทราบไหมคะว่าในโครงสุภาษิตยังมีเรื่องอื่นอีกด้วย และในบทเรียนที่น้อง ๆ จะได้เรียนต่อไปนี้ก็คือเรื่อง โคลงนฤทุมนาการ เป็นโคลงสุภาษิต ที่ใช้โคลงสี่สุภาพในการประพันธ์เหมือนโคลงโสฬสไตรยางค์ แต่จะมีความหมาย และเนื้อหาอย่างไรบ้าง ไปเรียนรู้พร้อม ๆ กันเลยค่ะ โคลงนฤทุมนาการ คืออะไร ก่อนที่จะไปเรียนรู้ว่าในโคลงนฤทุมนาการมีอะไรบ้างนั้น เรามาดูกันที่ความหมายก่อนเลยค่ะ คำว่า นฤทุมนาการ มาจากคำศัพท์ต่าง

การใช้ Past Simple Tense เน้น Verb to be

การใช้ Past Simple Tense เน้น Verb to be เกริ่นนำ เกริ่นใจ เรื่องอดีตนั้นไม่ง่ายที่จะลืม โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เรื่องราวชีวิตของใครคนหนึ่งที่เราเอาใจใส่ นั่นจึงเป็นเหตุผลว่าทำไมเราควรที่จะให้ความสำคัญกับการทำความเข้าใจเรื่องง่าย ๆ อย่าง Past simple tense ซึ่งเป็นโครงสร้างประโยคที่เราใช้ในการเล่าเรื่องราวในอดีตที่เคยเกิดขึ้นแล้วตั้งแต่เมื่อกี้ ไปจนถึงเรื่องของเมื่อวาน ภาษาไทยของเราเองก็ใช้โครงสร้างประโยคนี้บ่อย ๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่งตอนที่เราอยากจะเล่าเรื่องของเรา ของใครคนอื่นที่เราอยากจะเม้ามอยกับคนรอบข้างอ่ะ

การใช้ประโยคคำสั่ง หรือ Imperative sentence ในชีวิตประจำวัน

สวัสดีค่ะนักเรียนชั้นป.5 ที่น่ารักทุกคน วันนี้ครูจะพาไปเรียนรู้เกี่ยวกับ การใช้ประโยคคำสั่ง หรือ Imperative sentence ในชีวิตประจำวัน กันนะคะ ซึ่งเราจะเจอประโยคเหล่านี้ตั้งแต่ตื่นนอน ทานข้าว เดินไปโรงเรียน ไปดูหนัง ข้ามถนน ข้ามสะพาน ขึ้นแท็กซี่ และในกิจกรรมอื่นๆอีกมากมาย หากว่าพร้อมแล้วก็ไปลุยกันเลย รูปแบบและโครงสร้างประโยคคำสั่ง Imperative sentence คือประโยคที่เจอบ่อยเมื่อต้องพูด ให้คำคำปรึกษา

ประโยคความรวม (Compound Sentence)-2

สวัสดีค่ะนักเรียนชั้นม.3 ที่น่ารักทุกคน เจอกันอีกแล้วจร้ากับไวยากรณ์การเขียนภาษาอังกฤษและวันนี้ครูจะพาไปดูเทคนิคการการใช้ประโยคความรวมในภาษาอังกฤษกันค่ะ ซึ่งเป็นไม้เบื่อไม้เมามากกับคนที่ไม่ชอบเขียน ครูเอาใจช่วยทุกคนค่า ไปลุยกันเลย ประโยคความรวม (Compound Sentence) ประโยคความรวม ภาษาอังกฤษคือ Compound Sentence อ่านว่า เคิมพาวดฺ เซนเท่นสฺ เป็นประโยคที่ประกอบด้วยประโยคความเดียวอย่างน้อย 2 ประโยคโดยมีคำเชื่อมระหว่างประโยค เช่น for, and,

การใช้โครงสร้างประโยค Question Tags (ปัจจุบัน)

สวัสดีค่ะนักเรียนชั้นป. 6 ที่น่ารักทุกคนวันนี้เราจะไปเรียนรู้ในหัวข้อเรื่อง การใช้โครงสร้างประโยค Question Tags ในรูปแบบปัจจุบัน โดยที่เราจะเจอกลุ่มประโยคในลักษณะนี้ร่วมกับรูปแบบโครงสร้างประโยคและกริยาที่เป็นปัจจุบัน (V. 1 and Present form) พร้อมแล้วก็ไปลุยกันเลยค่า ความหมายของ Question Tags Question แปลว่า คำถาม ส่วนคำว่า Tag จะแปลว่า วลี

ลำดับเลขคณิต

สารบัญ

ลำดับเลขคณิต

ตัวอย่างลำดับเลขคณิต

ตัวอย่างโจทย์ปัญหาเกี่ยวกับ ลำดับเลขคณิต

วิดีโอเพิ่มเติมเกี่ยวกับลำดับเลขคณิต

แค่ 10 นาที ก็เข้าใจได้

แนะนำ

แชร์

นิราศภูเขาทอง ประวัติความเป็นมาของวรรณคดีที่แต่งโดยสุนทรภู่

โคลงนฤทุมนาการ โคลงสุภาษิตสอนใจรู้ไว้ไม่เป็นทุกข์

การใช้ Past Simple Tense เน้น Verb to be

การใช้ประโยคคำสั่ง หรือ Imperative sentence ในชีวิตประจำวัน

ประโยคความรวม (Compound Sentence)-2

การใช้โครงสร้างประโยค Question Tags (ปัจจุบัน)

NockAcademy

ติดต่อ

เกี่ยวกับเรา

ความช่วยเหลือ

ทดลองฟรี!

เข้าใจได้ทันที NockAcademy ไลฟ์สดอันดับ 1

ทดลองฟรี!

เข้าใจได้ทันที NockAcademy ไลฟ์สดอันดับ 1