สถิติ (ค่ากลางของข้อมูล/การกระจายของข้อมูล)

Nidtaya

การกระจายของข้อมูล, คณิตศาสตร์, คณิตศาสตร์ ม.3, ค่ากลางของข้อมูล, ค่าเฉลี่ยเลขคณิต, ฐานนิยม, มัธยฐาน, สถิติ, ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

Add LINE friends for one click to find article.

บทความนี้ได้รวบรวมความรู้เรื่อง ค่ากลางของข้อมูลและการกระจายของข้อมูล ซึ่งค่ากลางของข้อมูลจะประกอบด้วย ค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยม ส่วนการวัดการกระจายของข้อมูลจะศึกษาในเรื่องการหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ซึ่งน้องๆสามารถทบทวน การนำเสนอข้อมูลในรูปตารางแจกแจงความถี่ ได้ที่ ⇒⇒ การนำเสนอข้อมูลในรูปตารางแจกแจงความถี่ ⇐⇐

หมายเหตุ ค่าเฉลี่ยในทางคณิตศาสตร์มีหลายชนิด แต่ที่นิยมใช้คือค่าเฉลี่ยเลขคณิต

การวัดค่ากลางของข้อมูล เป็นการหาค่ากลางมาเป็นตัวแทนของข้อมูลแต่ละชุด ซึ่งมีวิธีการหาได้หลายวิธีที่นิยมกัน ได้แก่

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต
มัธยฐาน
ฐานนิยม

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต (Arithmetic mean)

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต คือ ค่าของผลรวมของค่าสังเกตของข้อมูลทั้งหมดหารด้วยจำนวนข้อมูลทั้งหมด เรียกสั้นๆ ว่า ค่าเฉลี่ย ซึ่งในการหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะประกอบด้วยการหาค่าเฉลี่ยของข้อมูลที่ไม่ได้แจกแจงความถี่ และ การหาค่าเฉลี่ยของข้อมูลที่แจกแจงความถี่

การหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลที่ไม่แจกแจงความถี่

(ข้อมูลไม่ได้จัดอยู่ในรูปตารางแจกแจงความถี่) มีสูตร ดังนี้

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต = ผลรวมของข้อมูลทั้งหมด ⁄จำนวนของข้อมูล

หรือ ผลรวมของข้อมูล = ค่าเฉลี่ยเลขคณิต x จำนวนของข้อมูล

หรือ จำนวนข้อมูลทั้งหมด = ผลรวมของข้อมูลทั้งหมด ⁄ ค่าเฉลี่ยเลขคณิต

ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูล 20 22 25 27 24 28 26 28

วิธีทำ ค่าเฉลี่ยเลขคณิต = ผลรวมของข้อมูลทั้งหมด ⁄จำนวนของข้อมูล

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต = $\frac{20+22+25+27+24+28+26+28}{8}$

= $\frac{200}{8}$

= 25

ดังนั้น ค่าเฉลี่ยเลขคณิต คือ 25

ตัวอย่างที่ 2 อนันต์ทดสอบเก็บคะแนนวิชาคณิตศาสตร์ 3 ครั้ง คือ 18 15 16 อยากทราบว่าอนันต์ทดสอบเก็บคะแนนได้คะแนนเฉลี่ยเท่าไร

วิธีทำ อนันต์ได้คะแนนเฉลี่ย = $\frac{18+15+16}{3}$

= $\frac{49}{3}$

≈ 16.33

ดังนั้น อนันต์ทดสอบเก็บคะแนนได้คะแนนเฉลี่ยประมาณ 16.33

ตัวอย่างที่ 3 ในค่ายมวยแห่งหนึ่งมีนักมวยทั้งหมด 6 คน โดยที่นักมวยแต่ละคนมีน้ำหนักคิดเป็น

ปอนด์ ดังนี้ 125, 303, 163, 175, 181, 220 จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของน้ำหนักของนักมวยในค่ายนี้

วิธีทำ น้ำหนักเฉลี่ยต่อคน = $\frac{125+330+163+175+181+220}{6}$

= $\frac{1194}{6}$

= 199

ดังนั้น ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของน้ำหนักของนักมวยในค่ายนี้เท่ากับ 199 ปอนด์

ตัวอย่างที่ 4 เลือกนักเรียนในชนบทแห่งหนึ่งมาจำนวน 10 คน ปรากฏว่ามีรายได้ต่อวันคิดเป็นบาทดังนี้ 85, 70, 10, 75, 44, 80, 42, 45, 40, 36 จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของรายได้ของนักเรียนดังกล่าว

วิธีทำ รายได้เฉลี่ยต่อวัน = $\frac{85+70+10+75+44+80+42+45+40+36}{10}$

= $\frac{567}{10}$

= 56.7

ดังนั้น ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของรายได้ของนักเรียนเท่ากับ 56.7 บาทต่อวัน

ตัวอย่างที่ 5 ข้อมูลชุดหนึ่งมี 9 จำนวน ถ้าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดนี้เท่ากับ 4.5 ผลรวมของ

ข้อมูลชุดนี้เท่ากับเท่าใด

วิธีทำ จากสูตร ผลรวมของข้อมูล = ค่าเฉลี่ยเลขคณิต x จำนวนของข้อมูล

จะได้ ผลรวมของข้อมูล = 9 x 4.5

= 40.5

ดังนั้น ผลรวมของข้อมูลชุดนี้เท่ากับ 40.5

ตัวอย่างที่ 6 ในการทดสอบเก็บคะแนน อาริสาสอบได้ 76, 84 และ 73 คะแนน ตามลำดับ จงหาว่าในการสอบครั้งที่ 4 อาริสาจะต้องสอบให้ได้กี่คะแนนจึงจะทำให้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบทั้งสี่ครั้งเป็น 80 คะแนน

วิธีทำ จาก ค่าเฉลี่ย = $\frac{X_{1}+X_{2}+X_{3}+X_{4}}{n}$

จะได้ 80 = $\frac{76+84+73+X_{4}}{4}$

80 x 4 = 233 + X₄

320 = 233 + X₄

X₄ = 320 – 233

X₄ = 87

ดังนั้น ในการสอบครั้งที่ 4 อาริสาจะต้องสอบได้ 87 คะแนน

การหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลที่แจกแจงความถี่

(ในรูปตารางที่เป็นช่วงหรืออันตรภาคชั้น) มีสูตร ดังนี้

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต = ∑fX ⁄ N

เมื่อ ∑ คือผลรวม , X คือ ข้อมูล , N คือ จำนวนข้อมูลหรือความถี่

ตัวอย่างที่ 7 ผลการสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียน 20 คน เป็นดังนี้

คะแนน	15	18	20	21	25	27	30
จำนวนนักเรียน	2	3	2	4	2	1	1

จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบครั้งนี้

วิธีทำ สร้างตารางเพื่อคำนวณหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตดังนี้

คะแนน (X)	จำนวนนักเรียน (f)	fX
15	2	15 x 2
18	3	18 x 3
20	2	20 x 2
21	4	21 x 4
25	2	25 x 2
27	1	27 x 1
30	1	30 x 1
รวม	N = 15	∑fX = 315

จาก ค่าเฉลี่ยเลขคณิต = ∑fX ⁄ N

จะได้ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบ = ³¹⁵⁄₁₅ = 21

ดังนั้น ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบครั้งนี้ เท่ากับ 21 คะแนน

ตัวอย่างที่ 8 จงหาค่าเฉลี่ยของอายุชาวบ้านในชุมชนแห่งหนึ่งจำนวน 20 คน

อายุ (ปี)	จำนวนคน
11 – 15	4
16 – 20	3
21 – 25	2
26 – 30	4
31 – 35	5
36 – 40	2

วิธีทำ สร้างตารางเพื่อคำนวณหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตดังนี้

อายุ (ปี)	จำนวนคน(f)	จุดกึ่งกลาง (X)	fX
11 – 15	4	13	52
16 – 20	3	18	54
21 – 25	2	23	46
26 – 30	4	28	112
31 – 35	5	33	165
36 – 40	2	38	76
	N = 20		∑fX = 505

จาก ค่าเฉลี่ยเลขคณิต = ∑fX ⁄ N

จะได้ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบ = ⁵⁰⁵⁄₂₀ = 25.25

ดังนั้น ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบครั้งนี้ เท่ากับ 25.25 คะแนน

มัธยฐาน (Median)

มัธยฐาน คือ ค่าที่มีตำแหน่งอยู่กึ่งกลางของข้อมูลทั้งหมด เมื่อได้เรียงข้อมูลตามลำดับ ไม่ว่าจากน้อยไปมาก หรือจากมากไปน้อย แทนด้วยสัญลักษณ์ Me หรือ Med

การหามัธยฐานของข้อมูลที่ไม่ได้แจกแจงความถี่

1) เรียงข้อมูลที่มีอยู่ทั้งหมดจากน้อยไปมาก หรือมากไปน้อยก็ได้

2) ตำแหน่งมัธยฐาน คือ ตำแหน่งกึ่งกลางข้อมูลทั้งหมด

ดังนั้น ตำแหน่งของมัธยฐาน คือ เมื่อ N คือ จำนวนข้อมูลทั้งหมด

3) มัธยฐาน คือ ค่าที่มีตำแหน่งอยู่กึ่งกลางของข้อมูลทั้งหมด

ตัวอย่างที่ 9 จงหามัธยฐานของข้อมูล 2, 6, 4, 8, 12, 14, 10

วิธีทำ เรียงข้อมูลจากน้อยไปมาก จะได้ 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14

ตำแหน่งของค่ามัธยฐาน คือ $\frac{N+1}{2}$ = $\frac{7+1}{2}$ = 4

ดังนั้น ค่ามัธยฐาน คือ 8

ตัวอย่างที่ 10 จงหามัธยฐานของข้อมูล 1, 7, 5, 11, 13, 15, 17, 9

วิธีทำ เรียงข้อมูลจากน้อยไปมาก จะได้ 1, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17

ตำแหน่งของค่ามัธยฐาน คือ $\frac{N+1}{2}$ = $\frac{8+1}{2}$ = 4.5

ค่ามัธยฐานของข้อมูลอยู่ระหว่างตำแหน่งที่ 4 และ 5

ดังนั้น ค่ามัธยฐาน เท่ากับ $\frac{9+11}{2}$ = ²⁰⁄₂ = 10

ฐานนิยม (Mode)

ฐานนิยม คือ ข้อมูลที่มีความถี่สูงสุดหรือปรากฏบ่อยครั้งที่สุด จะใช้กับข้อมูลเชิงคุณภาพมากกว่าเชิงปริมาณ เช่น ขนาดรองเท้า ขนาดยางรถยนต์

ตัวอย่างที่ 11 จงหาฐานนิยมของขนาดรองเท้าของนักเรียนจำนวน 15 คน ซึ่งมีขนาด 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9

ตอบ ฐานนิยมของขนาดรองเท้าของนักเรียนจำนวน 15 คน คือ 5 เพราะมีรองเท้าขนาด 5 มากที่สุด คือ 4 คน กล่าวคือ นักเรียนส่วนใหญ่ใช้รองเท้าขนาด 5

ตัวอย่างที่ 12 ข้อมูลชุดหนึ่งประกอบด้วย 3, 5, 8, 10, 12, 15, 16 จงหาฐานนิยม

ตอบ ไม่มีฐานนิยม เพราะ ข้อมูลแต่ละค่ามีความถี่เท่ากันหมด

ตัวอย่างที่ 13 ข้อมูลซึ่งประกอบด้วย 5, 4, 6, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 9 จงหาฐานนิยม

ตอบ ไม่มีฐานนิยม เพราะ ข้อมูลมีความถี่สูงสุดเท่ากันสามค่า คือ 6, 8 และ 9

ตัวอย่างที่ 14 ข้อมูลต่อไปนี้แสดงจำนวนนักศึกษาสาขาวิชาต่างๆ ของสถาบันการศึกษาแห่งหนึ่ง

สาขาวิชา

จำนวนนักศึกษา

ศึกษาศาสตร์

นิติศาสตร์

บริหารธุรกิจ

มนุษยศาสตร์

ศิลปกรรมศาสตร์

500

400

450

350

300

จากตารางนี้ จงหาฐานนิยม

ตอบ ฐานนิยมของข้อมูลนี้ คือ สาขาวิชาศึกษาศาสตร์ เพราะ มีความถี่มากที่สุด เท่ากับ 500

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน เป็นการวัดการกระจายของข้อมูลที่ใช้ข้อมูลทุกค่ามาคำนวณ ซึ่งเป็นวิธีการวัดการกระจายที่นิยมและเชื่อถือได้มากที่สุด การหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลหาได้โดยใช้สูตรดังนี้

ตัวอย่างที่ 15 อุณหภูมิในจังหวัดเชียงใหม่ ซึ่งวัดทุกเช้าวันที่ 1 ของทุก ๆ เดือน ในปีที่ผ่านมาเป็นดังนี้

เดือน	ม.ค.	ก.พ.	มี.ค.	เม.ย.	พ.ค.	มิ.ย.	ก.ค.	ส.ค.	ก.ย.	ต.ค.	พ.ย.	ธ.ค.
อุณหภูมิ	2	6	10	24	23	23	22	21	21	20	14	6

จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดนี้

วิธีทำ จากโจทย์ต้องการหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูล

สูตรที่ใช้ในการคำนวณ คือ

ขั้นแรก หาค่าเฉลี่ย (μ) และเราทราบจำนวนข้อมูล (N) เท่ากับ 12

ค่าเฉลี่ย (μ) = $\frac{2+6+10+24+23+23+22+21+21+20+14+6}{12}$

= ¹⁹²⁄ ₁₂ = 16

ขั้นที่สอง หาค่าของ ได้ดังนี้

X – µ

(X – µ)²

-14

-10

-6

-2

-10

196

100

= 700

จะได้ = 700

และ = $\frac{\sqrt{700}}{12}$ ≈ 2.23

ดังนั้น ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดนี้ มีค่าประมาณ 2.23

คลิปวิดีโอ

NockAcademy คือโรงเรียนออนไลน์สำหรับเด็ก โดยแอปฯ และเว็บไซต์ นักเรียนสามารถเรียนรู้ผ่านคลิปบทเรียนวิชา คณิตศาสตร์ ภาษาอังกฤษ และภาษาไทย
มากไปกว่านั้น เรายังมีคอร์สเรียนออนไลน์ การสอนพิเศษ การติวนอกสถานที่โดยติวเตอร์ที่แน่นไปด้วยความรู้ อีกด้วย

แค่ 10 นาที ก็เข้าใจได้

สามารถดูคลิปบทเรียนวิชา คณิตศาสตร์ ภาษาอังกฤษ และภาษาไทย ที่มีมากกว่า 2,000+ คลิป และยังสามารถทำแบบทดสอบที่มีมากกว่า 4000+ ข้อ

แนะนำ

แชร์

ทบทวนการใช้ ” Have/has got “

สวัสดีค่ะนักเรียนป. 5 ที่น่ารักทุกคน วันนี้เราจะไปทบทวนการใช้ Have/has got ในภาษาอังกฤษกันค่ะ ซึ่งก่อนอื่นต้อง มาทำความรู้จักกับ Verb to have กันก่อนซึ่ง เจ้า Verb to have ที่เราอาจจะคุ้นหูบ่อยๆ เช่น Have a wonderful day. ขอให้มีวันที่ดีนะ เมื่อเราต้องการจบบทสนทนา

This, That, These, Those

สวัสดีค่ะนักเรียนชั้นป.6 ที่น่ารักทุกคนวันนี้เราจะไปเรียนเรื่อง This, That, These, Those กันค่ะ พร้อมแล้วก็ไปลุยกันเลยจ้า เข้าสู่บทเรียน ก่อนที่นักเรียนจะไปเรียนเรื่อง การใช้ This, That, These, Those ครูอยากจะให้ลองดูตัวอย่างของการใช้ This, That, These, Those (Determiners) และ This,

ความหมายและความสำคัญของ คำราชาศัพท์

คำราชาศัพท์ เป็นวัฒนธรรมทางภาษาของประเทศไทยที่ให้ความสำคัญกับระดับของผู้พูดและผู้ฟัง น้อง ๆ หลายคนคงคุ้นเคยกันมาบ้างแล้วเวลาฟังข่าวในพระราชสำนัก แต่รู้หรือไม่คะว่าความหมายจริง ๆ ของคำราชาศัพท์คืออะไร มีใครบ้างที่เราต้องใช้คำราชาศัพท์ด้วย บทเรียนภาษาไทยในวันนี้จะพาน้อง ๆ ไปทบทวนเรื่องคำราชาศัพท์พร้อมเรียนรู้คำราชาศัพท์ในหมวดร่างกายที่ใช้กับพระมหากษัตริย์กันค่ะ ความหมายของคำราชาศัพท์ คำราชาศัพท์ หมายถึง คำที่ใช้กับพระมหากษัตริย์ และพระบรมวงศานุวงศ์ รวมไปถึงพระสงฆ์ โดยที่มีคำศัพท์และลักษณะการใช้ที่แตกต่างกันออกไปตามระดับภาษา ฐานะของบุคคลในสังคมไทยแบ่งตามวัยวุฒิและชาติวุฒิได้ดังนี้ 1.

สามัคคีเภทคำฉันท์ วรรณคดีขนาดสั้นที่ว่าด้วยความสามัคคี

สามัคคีเภทคำฉันท์ เป็นนิทานสุภาษิตขนาดสั้นว่าด้วยเรื่องความสามัคคี เป็นอีกหนึ่งวรรณคดีที่ได้รับการยกย่องว่าแต่งดี ทั้งด้านการประพันธ์และเนื้อหา เหตุใดจึงเป็นเช่นนั้น บทเรียนในวันนี้จะพาน้อง ๆ ทุกคนไปทำความรู้จักกับวรรณคดีเรื่องดังกล่าวเพื่อศึกษาที่มา จุดประสงค์ รวมไปถึงเรื่องย่อ ถ้าพร้อมแล้วไปดูกันเลยค่ะ ที่มาของเรื่องและจุดประสงค์ในการแต่ง สามัคคีเภทคำฉันท์ ดำเนินเรื่องโดยอิงประวัติศาสตร์ครั้งพุทธกาล เป็นนิทานสุภาษิตในมหาปรินิพพานสูตรและอรรถกถาสุมังคลวิลาสินี ในสมัยรัชกาลที่ 6 เกิดวิกฤตการณ์ทั้งภายในและภายนอกประเทศ เช่น เกิดสงครามโลกครั้งที่ 1

อสมการค่าสัมบูรณ์

จากบทความที่ผ่านมา น้องๆได้ศึกษาเรื่องค่าสัมบูรณ์และการแก้อสมการไปแล้ว บทความนี้จะเป็นการเอาเนื้อหาของอสมการและค่าสัมบูรณ์มาปรับใช้ นั่นก็คือ เราจะแก้อสมการของค่าสัมบูรณ์นั่นเองค่ะ เรื่องอสมการค่าสัมบูรณ์น้องๆจะได้เจอในข้อสอบ O-Net แต่น้องๆไม่ต้องกังวลค่ะ ถ้าน้องๆเข้าใจหลักการและสมบัติของค่าสัมบูรณ์และอสมการน้องๆจะสามารถทำข้อสอบได้แน่นอน

วิธีเขียน คำขวัญ ให้ถูกใจคนอ่าน

น้อง ๆ หลายคนคงจะคุ้นเคยกับคำขวัญกันเป็นอย่างนี้ เพราะในวันสำคัญต่าง ๆ อย่างวันเด็ก นายกรัฐมนตรีของประเทศในแต่ละสมัยก็จะให้คำขวัญแก่เด็ก ๆ ทุกปี แต่ทราบหรือไม่คะว่า คำขวัญ นั้นคืออะไรกันแน่ มีจุดมุ่งหมาย ลักษณะ และวิธีการเขียนอย่างไร บทเรียนในวันนี้จะพาน้อง ๆ ไปเรียนรู้เรื่องราวทั้งหมดนั้นของคำขวัญ ถ้าพร้อมแล้วเราไปเรียนรู้พร้อมกันเลยค่ะ คำขวัญ คืออะไร คำขวัญ คือ