ลำดับเลขคณิต

supanaree

คณิตศาสตร์, ม.6, ลำดับและอนุกรม

Add LINE friends for one click to find article.

ลำดับเลขคณิต

ลำดับเลขคณิต คือลำดับที่มีค่าเพิ่มขึ้นหรือลดลงอย่างคงที่ โดยจำนวนที่เพิ่มขึ้นหรือลดลงนี้เราเรียกว่าผลต่างร่วม แทนด้วยสัญลักษณ์ d โดยที่ d = พจน์ขวา – พจน์ซ้าย

การเขียนลำดับเราจะเขียนแทนด้วย $ลำดับเลขคณิต$ โดยที่ $a_n$ คือพจน์ทั่วไปหรือเรียกอีกอย่างว่า พจน์สุดท้ายนั่นเอง

การหาพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิต

พจน์ที่1 $\rightarrow$ n = 1 ; $a_{1}=a_{1}$

พจน์ที่2 $\rightarrow$ n = 2 ; $a_{2}=a_{1}+d$

พจน์ที่3 $\rightarrow$ n = 3 ; $a_{3}=a_{2}+d+d =a_{2}+2d$

$=a_{1}+d+d$

. $=a_{1}+2d$

พจน์ที่ n $\rightarrow$ n = n ; $a_{n}=a_{n-1}+d$

$ลำดับเลขคณิต$

ดังนั้น สูตรในการหาพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิต

$ลำดับเลขคณิต$

วิธีการแก้โจทย์ปัญหาที่เกี่ยวกับลำดับเลขคณิต

ต้องรู้ว่าโจทย์ถามหาอะไร จากนั้นเขียนสิ่งที่โจทย์ต้องการไว้ เช่น โจทย์ต้องการหาพจน์ที่ 5 เราจะเขียน $a_5=a_1+4d$ จากนั้นเราก็จะรู้แล้วว่าเราต้องหาอะไรเพื่อให้สมการมันสมบูรณ์และได้คำตอบที่ต้องการ
ดูว่าโจทย์ให้อะไรมาบ้าง โจทย์บางโจทย์อาจจะไม่ให้มาแบบตรงๆ เช่น 1, 3, 5,7,… สิ่งที่โจทย์ให้มาคือ $a_1$ และ d จะเห็นว่าโจทย์ไม่ได้ให้ d มาตรงๆแต่เราต้องสังเกตเอง
ใช้สิ่งที่โจทย์มา ในการหาสิ่งที่เราต้องการในข้อ 1.

จากข้อ 1-3 ถ้าทำครบตามนี้เราก็จะได้คำตอบตามต้องการแล้ว ทั้งนี้ต้องอาศัยการสังเกต และการฝึกทำบ่อยๆให้ชินด้วย

ตัวอย่างลำดับเลขคณิต

โจทย์ลำดับเลขคณิตนั้น สามารถพลิกแพลงได้เยอะมาก ไม่ว่าจะเป็น หาพจน์ที่ n หาว่าค่าที่กำหนดให้นั้นคือพจน์ที่เท่าไหร่ และอีกมากมาย เราไปดูตัวอย่างกันเลย

1. จงหาพจน์ทั่วไป ( $a_{n}$ ) ของ 5, 7, 9, 11, …

จากโจทย์ $\inline a_{1}=5$ $\inline d=7-5=2$

จากสูตร $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$

จะได้ $a_{n}=5+(n-1)(2)$

$=5+2n-2$

$=3+2n$

ดังนั้น $a_{n}=3+2n$

2. ให้ a และ b เป็นจำนวนจริงบวก ถ้า a, 10, b, 20, … เป็นลำดับเลขคณิตจงหาพจน์ที่ 10 , a และ b

จากสูตร $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$

$10=a_{1}+d$ $\cdots$ (1)

$20=a_{1}+3d$ $\cdots$ (2)

(2) – (1) : $10=2d$

$d=5$

แทน $\inline d=5$ ใน (1) : $\inline 10=a_{1}+5$

$\inline a_{1}=5$

$\therefore$ $a=5$ และ $b=5+2(5)=15$

ดังนั้น $a_{10}=5+9(5)$

$=50$

3. ถ้าพจน์ที่ 5 และพจน์ที่ 10 ของลำดับเลขคณิตเป็น 14 และ 29 ตามลำดับ แล้วพจน์ที่ 99 เท่ากับเท่าใด

จากสูตร $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$

พจน์ที่ 5 จะได้ว่า $\inline a_{5}=14=a_{1}+4d$ $\cdots$ (1)

พจน์ที่ 10 จะได้ว่า $\inline a_{10}=29=a_{1}+9d$ $\cdots$ (2)

(2) – (1) : $15=5d$

$d=3$

แทน $\inline d=3$ ใน (1) : $\inline 14=a_{1}+4(3)$

$\inline a_{1}=14-12=5$

$\therefore$ $a_{1}=2$ และ $\inline d=3$

พจน์ที่ 99

$a_{99}=a_{1}+98(d)$

$=2+98(3)$

$=296$

4. ลำดับ -24, -15, -6, 3, 12, 21, … , 1776 มีกี่พจน์ (O-net 54)

จากโจทย์ $d=-15-(-24)=9$ และ $a_{1}=-24$

“พจน์สุดท้าย (พจน์ที่ n ) มีค่าเท่ากับ 1776”

หา n โดยที่ $a_{n}=1776$

$1776=-24+(n-1)(9)$

$1776=-24+9n-9$

$1776+33=9n$

$n=\frac{1809}{9}=201$

ดังนั้น ลำดับดังกล่าวมี 201 พจน์

5. พจน์ที่ 60 ของลำดับเลขคณิต x + 2 , 2x – 5, 2x + 2, …เท่ากับเท่าไหร่

จากโจทย์สิ่งที่ต้องการหาคือ $a_{60}$

สื่งที่โจทย์ให้มาคือ พจน์แรก และ

สิ่งแรกที่ต้องทำคือหา x โดยใช้สูตรลำดับเลขคณิต

จาก d = พจน์ซ้าย – พจน์ขวา

d = 2x – 5 – (x + 2) = 2x + 2 – (2x – 5)

x – 7 = 7

x = 14

เมื่อนำค่า x ที่หาได้ไปแทน จะได้ลำดับเลขคณิต ดังนี้ 16, 23, 30,…

จากลำดับข้างต้นจะได้ d = 23 – 16 = 7

หา พจน์ที่ 60

$a_{60}=16+59(7)=16+413=429$

ดังนั้น พจน์ที่ 60 เท่ากับ 429

6. ลำดับเลขคณิต 4 จำนวนที่อยู่กลางระหว่าง 4 กับ 49 คือจำนวนใดบ้าง

ลองเขียนอนุกรมจะได้ 4, a, b, c, d, 49

จากโจทย์สิ่งที่เรารู้คือ พจน์แรก และพจน์สุดท้าย ดังนั้นเราามารถหา d จากพจน์สุดท้ายได้ โดยใช้สูตรลำดับเลขคณิต

ได้เป็น

49 = 4 + 5d (เนื่องจาก 49 คือพจน์ที่ 6 ดังนั้น n -1 = 5)

45 = 5d

d = 9

เขียนเป็นลำดับเลขคณิตได้เป็น 4, 13, 22, 31, 40, 49

ดังนั้น 4 พจน์ที่อยู่กลางระหว่าง 4 กับ 29 คือ 13, 22, 31, 40 ตามลำดับ

ตัวอย่างโจทย์ปัญหาเกี่ยวกับ ลำดับเลขคณิต

1.) แป้งกู้เงินมาจำนวนหนึ่ง โดยจ่ายเงินเดือนแรก 200 บาท และเดือนถัดไปแป้งต้องจ่ายเพิ่มทุกเดือนเดือนละ 50 บาท หลังจากชำระหมดพบว่าเดือนสุดท้ายแป้งจ่ายเงินไป 950 บาท แป้งจ่ายเงินไปทั้งสิ้นกี่เดือน

วิธีทำ

1. หาว่าโจทย์ต้องการอะไร

จะเห็นว่า โจทย์ถามว่าจ่ายเงินไปกี่เดือน นั่นก็คือหาจำนวนเดือน หรือ หา n นั่นเอง

เราจะหา n ได้จากสูตร $ลำดับเลขคณิต$ ดังนั้นเราต้องหา $a_n,a_1$ และ d

2. ดูว่าโจทย์ให้อะไรมาบ้าง

จากโจทย์ สามารถเขียนได้เป็น 200, 250, 300,…, 950

จะเห็นว่า โจทย์ให้ $a_1=200$ , d = 50 และ $a_n=950$

3. นำข้อ 2 ไปเติมในสูตรที่เราเขียนไว้ จะได้ว่า

$a_n=a_1+(n-1)d$

950=200+(n-1)(50)

950=200+50n – 50

950 = 150 + 50n

800 = 50n

n = 16

ดังนั้น แป้งจ่ายเงินไปทั้งหมด 16 เดือน

2.) แป้งมีเงินในเก็บ 20 บาท และจะเก็บเพิ่มทุกวันวันละ 3 บาท ปริมมีเงินในธนาคาร 300 บาท และจะฝากเงินเพิ่มวันละ 20 บาททุกวัน ในวันที่ แป้งมีเงินในกระปุก 44 บาท ปริมจะมีเงินในธนาคารกี่บาท

วิธีทำ 1. โจทย์ต้องการหา จำนวนเงินของปริมในวันที่(n)แป้งมีเงิน 44 บาท นั่นคือ เราต้องหาจำนวนวันที่แป้งมีเงิน 44 บาท (หา n) จากนั้น หาว่าปริมมีเงินเท่าไหร่ในวันที่ n

2. สิ่งที่โจทย์ให้มา

20, 23, 26, …, 44 (การเก็บเงินของแป้ง) d = 3

300, 320,340, … (การเก็บเงินในธนาคารของปริม) d = 20

3. นำข้อมูลจากข้อ 2 มาแก้โจทย์

หาว่า วันที่แป้งมีเงิน 44 บาท คือวันที่เท่าไหร่

44=20+(n-1)(3) (สูตรลำดับเลขคณิต)

44=20+3n -3

44=17 + 3n

27 = 3n

n = 9

ดังนั้น วันที่ 9 แป้งมีเงินเก็บ 44 บาท

จากนั้นเราจะหาว่า วันที่ 9 ปริมมีเงินเก็บเท่าไหร่โดยใช้สูตรลำดับเลขคณิต

$a_9=300+(8-1)(20)$

$a_9=300+7(20)=300+140=440$

ดังนั้นวันที่แป้งมีเงินเก็บ 44 บาท ปริมจะมีเงินทั้งหมด 440 บาท

วิดีโอเพิ่มเติมเกี่ยวกับลำดับเลขคณิต

NockAcademy คือโรงเรียนออนไลน์สำหรับเด็ก โดยแอปฯ และเว็บไซต์ นักเรียนสามารถเรียนรู้ผ่านคลิปบทเรียนวิชา คณิตศาสตร์ ภาษาอังกฤษ และภาษาไทย
มากไปกว่านั้น เรายังมีคอร์สเรียนออนไลน์ การสอนพิเศษ การติวนอกสถานที่โดยติวเตอร์ที่แน่นไปด้วยความรู้ อีกด้วย

แค่ 10 นาที ก็เข้าใจได้

สามารถดูคลิปบทเรียนวิชา คณิตศาสตร์ ภาษาอังกฤษ และภาษาไทย ที่มีมากกว่า 2,000+ คลิป และยังสามารถทำแบบทดสอบที่มีมากกว่า 4000+ ข้อ

แนะนำ

แชร์

ความสัมพันธ์

ความสัมพันธ์ ความสัมพันธ์ เกิดจากสิ่งสองสิ่งมาเกี่ยวข้องกันภายใต้กฎเกณฑ์บางอย่าง เช่น ความสัมพันธ์ของ a กับ b ซึ่ง a มากกว่า b เป็นต้น ก่อนที่เราจะเริ่มเนื้อหาของความสำคัญพี่อยากให้น้องๆรู้จักกับคู่อันดับ และผลคูณคาร์ทีเซียนก่อนนะคะ คู่อันดับ ในการเขียนคู่อันดับเป็นสิ่งที่ค่อนข้างสำคัญเลยทีเดียว เพราะถ้าน้องๆเขียนคู่อันดับผิดตำแหน่งนั่นหมายความว่า ความหมายของมันจะเปลี่ยนไปทันที เช่น คู่อันดับ (x, y) โดย x

รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน

การสมมูลกันของประพจน์สำคัญอย่างไร?? ถือว่าสำคัญค่ะ เพราะถ้าเรารู้ว่าประพจน์ไหนสมมูลกับประพจน์อาจจะทำให้การตรวจสอบการเป็นสัจนิรันดร์และการหาค่าความจริงง่ายขึ้น หลังจากอ่านบทความนี้จบ น้องๆจะสามารถทำแบบฝึกหัดเรื่องการสมมูลได้และพร้อมทำข้อสอบได้แน่นอน

แนะนำอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

บทความนี้จะเป็นการ แนะนำอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ซึ่งอสมการ เป็นประโยคที่แสดงถึงการไม่เท่ากัน โดยมีวิธีการหาคำตอบคล้ายๆกับสมการ น้องๆสามารถศึกษาบทความเรื่องโจทย์ปัญหาสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว เพื่อศึกษาวิธีการแก้สมการและนำมาประยุกต์ใช้กับการแก้อสมการเพิ่มเติมได้ที่ ⇒⇒โจทย์ปัญหาสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว⇐⇐ แนะนำอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว อสมการ (inequality) เป็นประโยคที่แสดงถึงความสัมพันธ์ของจำนวนโดยมีสัญลักษณ์ <, >, ≤, ≥ หรือ ≠ แสดงความสัมพันธ์ อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

การใช้ Yes/No Questions และ Wh-Questions

สวัสดีค่ะนักเรียนชั้นม.3 ทุกคน วันนี้ครูจะพาไปตะลุยตัวอย่างและวิธีการแต่งประโยคคำถาม 2กลุ่ม ได้แก่ “การใช้ Yes/No Questions และ Wh-Questions” หากพร้อมแล้วก็ไปลุยกันเลยจร้า Yes/No Questions คืออะไร? Yes/ No Questions ก็คือ กลุ่มคำถามที่ต้องการคำตอบแน่ชัดว่า Yes ใช่ หรือ

Conjunctions of time

สวัสดีค่ะนักเรียนชั้นม.5 ที่รักทุกคนวันนี้เราจะไปเรียนรู้กันเรื่อง “การใช้ Conjunctions of time” กันนะคะ ถ้าพร้อมแล้วก็ไปลุยกันโลด Conjunctions of time คืออะไร Conjunctions of time คือ คำสันธานที่ถือเป็น Subordinating conjunctions รูปแบบหนึ่งที่เน้นบอกเวลา (time) เช่น whenever (

การวัดพื้นที่ ม.2

ในบทความนี้เราจะได้เรียนรู้มาตราต่างๆของหน่วยในระบบที่ใช้กันอย่างแพร่หลาย รวมทั้งสูตรต่างๆที่ใช้ในการหาพื้นที่ เพื่อให้เราได้นำไปใช้ได้อย่างถูกต้อง

ลำดับเลขคณิต

สารบัญ

ลำดับเลขคณิต

ตัวอย่างลำดับเลขคณิต

ตัวอย่างโจทย์ปัญหาเกี่ยวกับ ลำดับเลขคณิต

วิดีโอเพิ่มเติมเกี่ยวกับลำดับเลขคณิต

แค่ 10 นาที ก็เข้าใจได้

แนะนำ

แชร์

ความสัมพันธ์

รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน

แนะนำอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

การใช้ Yes/No Questions และ Wh-Questions

Conjunctions of time

การวัดพื้นที่ ม.2

NockAcademy

ติดต่อ

เกี่ยวกับเรา

ความช่วยเหลือ

ทดลองฟรี!

เข้าใจได้ทันที NockAcademy ไลฟ์สดอันดับ 1

ทดลองฟรี!

เข้าใจได้ทันที NockAcademy ไลฟ์สดอันดับ 1