ฟังก์ชันลอการิทึม
ฟังก์ชันลอการิทึม คือฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล จากที่ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลคือ คู่อันดับ (x, y) ซึ่งเป็นความสัมพันธ์ที่ส่งจากจำนวนจริงไปยังจำนวนจริงบวก โดยที่ ดังนั้นฟังก์ชันดังกล่าวซึ่งเป็นฟังก์ชันผกผันของเอกซ์โพเนนเชียล ก็คือ คู่อันดับ (y, x) หรืออาจจะบอกได้อีกแบบคือ คู่อันดับ (x, y) ซึ่งเป็นความสัมพันธ์จากจำนวนจริงบวกไปยังจำนวนจริง โดยที่
จัดรูปใหม่ ได้เป็น
(อ่านว่าล็อก x ฐาน a)
บทนิยาม
logarithm คือฟังก์ชันที่อยู่ในรูป {(x, y) ∈ :
} โดยที่ a เป็นจำนวนจริงที่มากกว่า 0 และ a ≠ 1
ตัวอย่าง
จัดรูปเป็น
อ่านว่า ล็อก x ฐาน 5
กราฟ
กรณี a > 1
กรณี 0 < a < 1
จากกราฟจะเห็นว่า
1.) เมื่อ a > 1 จะเป็นฟังก์ชันเพิ่ม
2.) เมื่อ 0 < a < 1 จะเป็นฟังก์ชันลด
3.) กราฟของทั้ง 2 กรณีจะไม่ตัดแกน y
4.) ค่า x จะเป็นบวกเสมอ แต่ค่า y เป็นได้ทั้งบวกและลบ
สมบัติ ฟังก์ชันลอการิทึม
ให้ a, M และ N เป็นจำนวนจริงบวกที่ a ≠ 1 และ k เป็นจำนวนจริง จะได้ว่า
1.)
(ล็อกผลคูณเท่ากับผลบวกของล็อก)
2.)
(ล็อกผลหารเท่ากับผลต่างของล็อก)
3.)
เช่น
4.)
5.)
(ล็อก 1 เท่ากับ 0)
6.) เมื่อ k ≠ 0
เช่น
7.) เมื่อ b >0 และ b ≠ 1
เช่น
8.) เมื่อ N ≠ 1
เช่น (เลขฐานไม่จำเป็นต้องเป็นเลข 2 เป็นเลขอะไรก็ได้ที่มากกว่า 0 และไม่เท่ากับ 1 )
การหาค่าลอการึทึม
ลอการิทึมที่ใช้มากและค่อนข้างนิยมใช้ในการคำนวณ คือ ลอการิทึมสามัญ (common logarithm) ซึ่งก็คือลอการิทึมที่มีเลขฐานสิบ และโดยทั่วไปเราจะเขียนล็อกโดยไม่มีฐานกำกับ
เช่น
จากสมบัติข้อที่ 3 และ 4 จะได้ว่า
ดังนั้น จะได้ว่า เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มใดๆ
ดังนั้น ถ้า N เป็นจำนวนเต็มบวกใดๆ เราสามารถเขียนอยู่ในรูป ได้เสมอ โดยที่ 0 ≤ N < 10
เช่น ,
ทีนี้เรามาพิจารณา
เมื่อ 0 ≤ N < 10
จะได้ว่า
เราจะเรียก ว่า แมนทิสซาของ
และเรียก n ว่า แคแรกเทอริสติกของ
บทนิยาม
- ถ้า log N = A จะเรียก N ว่า แอนติลอการิทึมของ log N
- ถ้า log N = A จะได้ว่า N = antilog A
ตัวอย่าง
ให้หาค่าแคแรกเทอริสติกของ log 56.2
ลอการิทึมที่นิยมใช้และมีประโยชน์มากเมื่อเรียนคณิตศาสตร์ขั้นที่สูงขึ้น คือ ลอการิทึมฐาน e โดยที่ e คือสัญลักษณ์ค่าคงที่ ซึ่ง e ≈ 2.7182818 ซึ่งล็อกฐาน e เราจะเรียกอีกอย่างว่า ลอการิทึมธรรมชาติ มักจะเขียนอยู่ในรูป ln x (อ่านว่าล็อก x ฐาน e)
การเปลี่ยนฐานของลอการิทึม
ตัวอย่างการเปลี่ยนฐานของลอการิทึม
กำหนดให้ จงหาค่า
น้องๆสามารถเข้าไปอ่านบทความ ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล เพื่อจะได้เข้าใจกับฟังก์ชันลอการิทึมง่ายขึ้น
