การตรวจสอบคู่อันดับที่เป็นความสัมพันธ์

การตรวจสอบคู่อันดับที่เป็นความสัมพันธ์ คือการตรวจสอบคู่อันดับว่าคู่ไหนเป็นความสัมพันธ์ที่ตรงกับเงื่อนไขที่กำหนด จากที่เรารู้กันในบทความเรื่อง ความสัมพันธ์ว่า r จะเป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ r เป็นสับเซตของ A × B แต่ถ้าเราใส่เงื่อนไขบางอย่างเข้าไป ความสัมพันธ์ r ที่ได้ก็อาจจะจะเปลี่ยนไปด้วย แต่ยังคงเป็นสับเซตของ A × B เหมือนเดิม

เช่น  ให้ A = {1, 2, 3} , B = {6, 7, 8} และ r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B โดยที่  r = {(x, y) ∈ A × B : 3x < y}

จากที่เรารู้ว่า คู่อับดับที่เป็นสมาชิกของ A × B

นั่นคือ สมาชิกตัวตัวหน้า (x) มาจาก A และสมาชิกตัวหลัง (y) มาจาก B นั่นเอง

พิจารณา x = 1 จะได้ว่า 3(1) = 3 พิจารณาว่า 3 น้อยกว่าตัวไหนใน B บ้าง

จะได้ว่า 3 < 6 , 3 < 7 และ 3 < 8 นั่นคือ x = 1 จะได้ y = 6, 7, 8

ดังนั้น  (1, 6), (1, 7), (1, 8) เป็นความสัมพันธ์ใน r 

พิจารณา x = 2 จะได้ว่า 3(2) = 6 พิจารณาว่า 6 น้อยกว่าตัวไหนใน B บ้าง

จะได้ว่า 6 < 7 และ 6 < 8 นั่นคือ x = 2 จะได้ y = 7, 8

ดังนั้น (2, 7), (2, 8) เป็นความสัมพันธ์ใน r 

พิจารณา x = 3 จะได้ว่า 3(3) = 9

จะเห็นว่าไม่มีสมาชิกตัวใดใน B ที่ มากกว่า 9 เลย

ดังนั้นสรุปได้เลยว่า r = {(1, 6), (1, 7), (1, 8), (2, 7), (2, 8)}

ตัวอย่างการตรวจสอบคู่อันดับที่เป็นความสัมพันธ์

ให้ A = {0, 1, 2} , B = {1, 2, 3, 4} และ  r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B

1.) r = {(x, y) ∈ A × B : x > 1 และ y = 2}

จงเขียนความสัมพันธ์ r ในรูปแจกแจงสมาชิก

วิธีทำ 

จาก (x, y) เป็นสมาชิกของ A × B ดังนั้น x ต้องเป็นสมาชิกใน A และ y เป้นสมาชิก ใน B

จาก x > 1 ได้ว่า x = 2 (พิจารณาจากสมาชิกในเซต A)

และ y = 2

ดังนั้น r = {(2, 2)}

2.) r = {(x, y) ∈ A × B : 2x = y}

วิธีทำ

พิจารณา x = 0 จะได้ว่า 2(0) = 0 ได้ว่า y = 0 ซึ่ง 0 ไม่เป็นสมาชิกใน B ดังนั้น ตัด x = 0 ทิ้งได้เลย เพราะ (0, 0) ∉ A × B

พิจารณา x = 1 จะได้ว่า  2(1) = 2 ได้ว่า y = 2 จะเห็นว่า ที่ x = 1 ได้ y = 2 และ y = 2 เป็นสมาชิกใน B ดังนั้นจะได้คู่อันดับ (1, 2)

พิจารณา x = 2 จะได้ว่า 2(2) = 4 ได้ว่า  y = 4 ซึ่ง 4 เป็นสมาชิกใน B ดังนั้นจะได้คู่อันดับ (2, 4)

ดังนั้น r = {(1, 2), (2, 4)} ซึ่งเมื่อสังเกตดูน้องๆจะเห็นว่าคู่อันดับที่ได้นั้นเป็นสมาชิกใน A × B

3.) r = {(x, y) ∈ A × B : y = x²}

วิธีทำ

พิจารณา x = 0 จะได้ว่า  0² = 0 นั่นคือ y = 0  ซึ่ง y = 0 ไม่เป็นสมาชิกใน B ดังนั้น ตัด x = 0 ทิ้งได้เลย เพราะ (0, 0) ∉ A × B

พิจารณา x = 1 จะได้ว่า 1² = 1 นั่นคือ y = 1 ซึ่ง y = 1 เป็นสมาชิกใน B ดังนั้น ได้คู่อันดับ (1, 1)

พิจารณา x = 2 จะได้ว่า 2² = 4 นั่นคือ y = 4 ซึ่ง เป็นสมาชิกใน B ดังนั้นจะได้ (2, 4)

ดังนั้น r = {(1, 1), (2, 4)} ซึ่ง  (1, 1), (2, 4) ∈ A × B

วิดีโอ การตรวจสอบคู่อันดับที่เป็นความสัมธ์