สถิติ (ค่ากลางของข้อมูล/การกระจายของข้อมูล)

สารบัญ

Add LINE friends for one click to find article.

บทความนี้ได้รวบรวมความรู้เรื่อง ค่ากลางของข้อมูลและการกระจายของข้อมูล ซึ่งค่ากลางของข้อมูลจะประกอบด้วย ค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยม ส่วนการวัดการกระจายของข้อมูลจะศึกษาในเรื่องการหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ซึ่งน้องๆสามารถทบทวน การนำเสนอข้อมูลในรูปตารางแจกแจงความถี่ ได้ที่  ⇒⇒  การนำเสนอข้อมูลในรูปตารางแจกแจงความถี่ ⇐⇐

หมายเหตุ ค่าเฉลี่ยในทางคณิตศาสตร์มีหลายชนิด แต่ที่นิยมใช้คือค่าเฉลี่ยเลขคณิต

การวัดค่ากลางของข้อมูล  เป็นการหาค่ากลางมาเป็นตัวแทนของข้อมูลแต่ละชุด ซึ่งมีวิธีการหาได้หลายวิธีที่นิยมกัน ได้แก่

  • ค่าเฉลี่ยเลขคณิต
  • มัธยฐาน
  • ฐานนิยม

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต (Arithmetic mean)

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต คือ ค่าของผลรวมของค่าสังเกตของข้อมูลทั้งหมดหารด้วยจำนวนข้อมูลทั้งหมด เรียกสั้นๆ ว่า ค่าเฉลี่ย ซึ่งในการหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะประกอบด้วยการหาค่าเฉลี่ยของข้อมูลที่ไม่ได้แจกแจงความถี่ และ การหาค่าเฉลี่ยของข้อมูลที่แจกแจงความถี่ 

การหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลที่ไม่แจกแจงความถี่

(ข้อมูลไม่ได้จัดอยู่ในรูปตารางแจกแจงความถี่) มีสูตร ดังนี้

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต = ผลรวมของข้อมูลทั้งหมด ⁄จำนวนของข้อมูล

หรือ ผลรวมของข้อมูล = ค่าเฉลี่ยเลขคณิต x จำนวนของข้อมูล

หรือ จำนวนข้อมูลทั้งหมด = ผลรวมของข้อมูลทั้งหมด ⁄ ค่าเฉลี่ยเลขคณิต

ตัวอย่างที่ 1    จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูล 20  22  25  27  24  28  26  28

วิธีทำ   ค่าเฉลี่ยเลขคณิต =   ผลรวมของข้อมูลทั้งหมด ⁄จำนวนของข้อมูล    

 ค่าเฉลี่ยเลขคณิต = \frac{20+22+25+27+24+28+26+28}{8}      

                \frac{200}{8}              

      =  25

ดังนั้น ค่าเฉลี่ยเลขคณิต คือ 25

ตัวอย่างที่ 2  อนันต์ทดสอบเก็บคะแนนวิชาคณิตศาสตร์ 3 ครั้ง คือ  18  15  16 อยากทราบว่าอนันต์ทดสอบเก็บคะแนนได้คะแนนเฉลี่ยเท่าไร                            

วิธีทำ  อนันต์ได้คะแนนเฉลี่ย   =   \frac{18+15+16}{3}    

                           =    \frac{49}{3}   

                          ≈   16.33

ดังนั้น อนันต์ทดสอบเก็บคะแนนได้คะแนนเฉลี่ยประมาณ 16.33   

ตัวอย่างที่ 3   ในค่ายมวยแห่งหนึ่งมีนักมวยทั้งหมด  6  คน  โดยที่นักมวยแต่ละคนมีน้ำหนักคิดเป็น

ปอนด์  ดังนี้  125, 303, 163, 175, 181, 220  จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของน้ำหนักของนักมวยในค่ายนี้

วิธีทำ น้ำหนักเฉลี่ยต่อคน = \frac{125+330+163+175+181+220}{6}

 = \frac{1194}{6}

  = 199 

ดังนั้น  ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของน้ำหนักของนักมวยในค่ายนี้เท่ากับ  199  ปอนด์

ตัวอย่างที่ 4 เลือกนักเรียนในชนบทแห่งหนึ่งมาจำนวน  10  คน  ปรากฏว่ามีรายได้ต่อวันคิดเป็นบาทดังนี้  85, 70, 10, 75, 44, 80, 42, 45, 40, 36  จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของรายได้ของนักเรียนดังกล่าว

วิธีทำ              รายได้เฉลี่ยต่อวัน = \frac{85+70+10+75+44+80+42+45+40+36}{10}

     = \frac{567}{10}

     = 56.7                                 

ดังนั้น  ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของรายได้ของนักเรียนเท่ากับ  56.7  บาทต่อวัน

ตัวอย่างที่ 5  ข้อมูลชุดหนึ่งมี  9  จำนวน  ถ้าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดนี้เท่ากับ  4.5  ผลรวมของ

ข้อมูลชุดนี้เท่ากับเท่าใด

วิธีทำ   จากสูตร ผลรวมของข้อมูล  =  ค่าเฉลี่ยเลขคณิต x จำนวนของข้อมูล

   จะได้  ผลรวมของข้อมูล  =  9 x 4.5

    = 40.5

ดังนั้น  ผลรวมของข้อมูลชุดนี้เท่ากับ  40.5

ตัวอย่างที่ 6   ในการทดสอบเก็บคะแนน  อาริสาสอบได้ 76, 84  และ 73  คะแนน  ตามลำดับ จงหาว่าในการสอบครั้งที่ 4  อาริสาจะต้องสอบให้ได้กี่คะแนนจึงจะทำให้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบทั้งสี่ครั้งเป็น 80 คะแนน

วิธีทำ              จาก   ค่าเฉลี่ย = \frac{X_{1}+X_{2}+X_{3}+X_{4}}{n}              

                     จะได้           80 = \frac{76+84+73+X_{4}}{4}

80 x 4 = 233 + X₄   

    320 =  233 + X₄ 

     X₄  = 320 – 233 

     X₄  = 87  

ดังนั้น   ในการสอบครั้งที่  4 อาริสาจะต้องสอบได้  87  คะแนน

การหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลที่แจกแจงความถี่ 

(ในรูปตารางที่เป็นช่วงหรืออันตรภาคชั้น) มีสูตร ดังนี้

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต = ∑fX ⁄ N

เมื่อ ∑ คือผลรวม , X คือ ข้อมูล , N คือ จำนวนข้อมูลหรือความถี่

 

ตัวอย่างที่ 7  ผลการสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียน  20  คน  เป็นดังนี้

คะแนน 15 18 20 21 25 27 30
จำนวนนักเรียน 2 3 2 4 2 1 1

จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบครั้งนี้

วิธีทำ  สร้างตารางเพื่อคำนวณหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตดังนี้

คะแนน (X)

จำนวนนักเรียน (f)

fX

15

2 15 x 2

18

3 18 x 3
20 2 20 x 2

21

4 21 x 4

25

2 25 x 2

27

1 27 x 1

30

1 30 x 1
รวม N = 15

∑fX = 315

                     จาก   ค่าเฉลี่ยเลขคณิต = ∑fX ⁄ N       

                     จะได้    ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบ =  ³¹⁵⁄₁₅  = 21 

ดังนั้น  ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบครั้งนี้  เท่ากับ  21 คะแนน

ตัวอย่างที่ 8      จงหาค่าเฉลี่ยของอายุชาวบ้านในชุมชนแห่งหนึ่งจำนวน  20  คน

อายุ (ปี)

จำนวนคน

11 – 15

4
16 – 20

3

21 – 25

2
26 – 30

4

31 – 35

5

36 – 40

2

วิธีทำ สร้างตารางเพื่อคำนวณหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตดังนี้

อายุ (ปี)

จำนวนคน(f) จุดกึ่งกลาง (X) fX

11 – 15

4 13 52
16 – 20 3 18

54

21 – 25 2 23

46

26 – 30 4 28

112

31 – 35

5 33

165

36 – 40

2 38

76

N = 20 ∑fX = 505

จาก   ค่าเฉลี่ยเลขคณิต = ∑fX ⁄ N         

จะได้    ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบ = ⁵⁰⁵⁄₂₀ = 25.25

ดังนั้น  ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบครั้งนี้  เท่ากับ  25.25  คะแนน

มัธยฐาน (Median)     

มัธยฐาน คือ ค่าที่มีตำแหน่งอยู่กึ่งกลางของข้อมูลทั้งหมด เมื่อได้เรียงข้อมูลตามลำดับ ไม่ว่าจากน้อยไปมาก หรือจากมากไปน้อย  แทนด้วยสัญลักษณ์  Me  หรือ  Med

การหามัธยฐานของข้อมูลที่ไม่ได้แจกแจงความถี่

1) เรียงข้อมูลที่มีอยู่ทั้งหมดจากน้อยไปมาก หรือมากไปน้อยก็ได้

2) ตำแหน่งมัธยฐาน คือ ตำแหน่งกึ่งกลางข้อมูลทั้งหมด

      ดังนั้น ตำแหน่งของมัธยฐาน คือ   เมื่อ  N  คือ จำนวนข้อมูลทั้งหมด

 3) มัธยฐาน คือ ค่าที่มีตำแหน่งอยู่กึ่งกลางของข้อมูลทั้งหมด

ตัวอย่างที่ 9  จงหามัธยฐานของข้อมูล  2, 6, 4, 8, 12, 14, 10  

วิธีทำ   เรียงข้อมูลจากน้อยไปมาก  จะได้   2, 4, 6, 8, 10, 12, 14                                                  

   ตำแหน่งของค่ามัธยฐาน  คือ \frac{N+1}{2} = \frac{7+1}{2} = 4

ดังนั้น  ค่ามัธยฐาน  คือ  8

ตัวอย่างที่ 10 จงหามัธยฐานของข้อมูล  1, 7, 5, 11, 13, 15, 17, 9                 

วิธีทำ   เรียงข้อมูลจากน้อยไปมาก  จะได้   1, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17      

           ตำแหน่งของค่ามัธยฐาน  คือ \frac{N+1}{2} = \frac{8+1}{2} = 4.5

           ค่ามัธยฐานของข้อมูลอยู่ระหว่างตำแหน่งที่  4 และ  5

ดังนั้น  ค่ามัธยฐาน  เท่ากับ  \frac{9+11}{2}²⁰⁄₂ = 10

ฐานนิยม (Mode)     

ฐานนิยม คือ ข้อมูลที่มีความถี่สูงสุดหรือปรากฏบ่อยครั้งที่สุด จะใช้กับข้อมูลเชิงคุณภาพมากกว่าเชิงปริมาณ เช่น ขนาดรองเท้า ขนาดยางรถยนต์

ตัวอย่างที่ 11  จงหาฐานนิยมของขนาดรองเท้าของนักเรียนจำนวน 15 คน  ซึ่งมีขนาด  4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9

ตอบ  ฐานนิยมของขนาดรองเท้าของนักเรียนจำนวน 15 คน  คือ  5  เพราะมีรองเท้าขนาด 5  มากที่สุด  คือ 4 คน  กล่าวคือ  นักเรียนส่วนใหญ่ใช้รองเท้าขนาด 5

ตัวอย่างที่ 12  ข้อมูลชุดหนึ่งประกอบด้วย  3, 5, 8, 10, 12, 15, 16  จงหาฐานนิยม

ตอบ   ไม่มีฐานนิยม  เพราะ  ข้อมูลแต่ละค่ามีความถี่เท่ากันหมด

ตัวอย่างที่ 13   ข้อมูลซึ่งประกอบด้วย  5, 4, 6, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 9  จงหาฐานนิยม

ตอบ   ไม่มีฐานนิยม เพราะ  ข้อมูลมีความถี่สูงสุดเท่ากันสามค่า คือ 6, 8 และ 9

ตัวอย่างที่ 14  ข้อมูลต่อไปนี้แสดงจำนวนนักศึกษาสาขาวิชาต่างๆ ของสถาบันการศึกษาแห่งหนึ่ง

สาขาวิชา

จำนวนนักศึกษา
ศึกษาศาสตร์

นิติศาสตร์

บริหารธุรกิจ

มนุษยศาสตร์

ศิลปกรรมศาสตร์

500

400

450

350

300

จากตารางนี้  จงหาฐานนิยม

ตอบ ฐานนิยมของข้อมูลนี้  คือ สาขาวิชาศึกษาศาสตร์ เพราะ มีความถี่มากที่สุด  เท่ากับ  500

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน   เป็นการวัดการกระจายของข้อมูลที่ใช้ข้อมูลทุกค่ามาคำนวณ ซึ่งเป็นวิธีการวัดการกระจายที่นิยมและเชื่อถือได้มากที่สุด  การหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลหาได้โดยใช้สูตรดังนี้

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ตัวอย่างที่ 15  อุณหภูมิในจังหวัดเชียงใหม่ ซึ่งวัดทุกเช้าวันที่ 1 ของทุก ๆ เดือน ในปีที่ผ่านมาเป็นดังนี้

เดือน

ม.ค. ก.พ. มี.ค. เม.ย. พ.ค. มิ.ย. ก.ค. ส.ค. ก.ย. ต.ค. พ.ย. ธ.ค.
อุณหภูมิ 2 6 10 24 23 23 22 21 21 20 14

6

จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดนี้

วิธีทำ    จากโจทย์ต้องการหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูล 

สูตรที่ใช้ในการคำนวณ  คือ

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ขั้นแรก หาค่าเฉลี่ย (μ)   และเราทราบจำนวนข้อมูล (N) เท่ากับ  12

ค่าเฉลี่ย (μ) = \frac{2+6+10+24+23+23+22+21+21+20+14+6}{12}

         =  ¹⁹²⁄ ₁₂ = 16

ขั้นที่สอง  หาค่าของ  ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน2  ได้ดังนี้

X X – µ (X – µ)²

2

6

10

24

23

23

22

21

21

20

14

6

-14

-10

-6

8

7

7

6

5

5

4

-2

-10

196

100

36

64

49

49

36

25

25

16

4

100

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน2= 700

จะได้   ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน2    =  700

และ    ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน      = \frac{\sqrt{700}}{12} ≈ 2.23 

ดังนั้น  ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดนี้ มีค่าประมาณ  2.23 

คลิปวิดีโอ 

NockAcademy คือโรงเรียนออนไลน์สำหรับเด็ก โดยแอปฯ และเว็บไซต์ นักเรียนสามารถเรียนรู้ผ่านคลิปบทเรียนวิชา คณิตศาสตร์ ภาษาอังกฤษ และภาษาไทย
มากไปกว่านั้น เรายังมีคอร์สเรียนออนไลน์ การสอนพิเศษ การติวนอกสถานที่โดยติวเตอร์ที่แน่นไปด้วยความรู้ อีกด้วย

Add LINE friends for one click to find article.
เรียนพิเศษออนไลน์ ดูได้ทั้ง 4 รายวิชา - NockAcademy

แค่ 10 นาที ก็เข้าใจได้

สามารถดูคลิปบทเรียนวิชา คณิตศาสตร์ ภาษาอังกฤษ และภาษาไทย ที่มีมากกว่า 2,000+ คลิป และยังสามารถทำแบบทดสอบที่มีมากกว่า 4000+ ข้อ

แนะนำ

แชร์

ไตรภูมิพระร่วง เรียนรู้วรรณคดีเก่าแก่จากสมัยสุโขทัย

ไตรภูมิพระร่วง เป็นวรรณคดีเก่าแก่ที่แต่งขึ้นตั้งแต่สมัยสุโขทัย น้อง ๆ สงสัยไหมคะว่าทำไมวรรณคดีที่เก่าแก่ขนาดนี้ถึงยังมีให้เห็น ให้เราได้เรียนกันมาจนถึงปัจจุบัน บทเรียนในวันนี้จะพาน้อง ๆ ทุกคนไปไขข้องใจทั้งประวัติความเป็นมา ลักษณะคำประพันธ์ รวมไปถึงเรื่องย่อในตอน มนุสสภูมิ กันด้วย ถ้าพร้อมแล้วเราไปเรียนรู้เรื่องนี้พร้อมกันเลยค่ะ   ความเป็นมาของเรื่อง   ไตรภูมิพระร่วง เดิมเรียกว่า เตภูมิกถา หรือ ไตรภูมิกถา แต่สมเด็จพระยาดำรงราชานุภาพ ทรงเปลี่ยนชื่อให้เพื่อเป็นเกียรติแก่พญาลิไท กษัตริย์ในราชวงศ์พระร่วงผู้พระราชนิพนธ์เรื่องนี้เมื่อปี

การดำเนินการของเซต

การดำเนินการของเซตประกอบไปด้วย ยูเนียน อินเตอร์เซกชัน คอมพลีเมนต์ของเซต และผลต่าง เรื่องนี้เป็นอีกหนึ่งเรื่องที่เราจะได้ใช้ในบทต่อๆไป เรื่องนี้จึงค่อนข้างมีประโยชน์ในเรื่องของการเรียนเนื้อหาบทต่อไปง่ายขึ้น

สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

ในบทความนี้นักเรียนจะได้เรียนรู้สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่ทำให้เข้าใจง่ายและมีวิธีในการวิเคราะห์โจทย์ที่หลากหลาย

เรียนรู้กลวิธีการสรรคำ ความสวยงามทางภาษา

ในการแต่งบทประพันธ์ประเภทต่าง ๆ โดยเฉพาะบทร้อยกรอง การสรรคำ จะช่วยทำให้บทประพันธ์นั้น ๆ มีความไพเราะมากขึ้น บทเรียนเรื่องการเสริมสร้างความรู้ทางภาษาไทยในวันนี้จะพาน้อง ๆ ไปศึกษาเกี่ยวกับการสรรคำ ว่ามีความหมายและวิธีการเลือกคำมาใช้อย่างได้บ้าง ไปดูกันเลยค่ะ   การสรรคำ ความหมายและความสำคัญ     การสรรคำ คือ การเลือกใช้คำให้สื่อความคิด ความเข้าใจ ความรู้สึก และอารมณ์ได้อย่างงดงาม โดยคำนึงถึงความงามด้านเสียง โวหาร

NokAcademy_ม5 Relative Clause

การเรียนเรื่อง Relative Clause

สวัสดีค่ะนักเรียนม. 5 ที่รักทุกคน วันนี้เราจะไปดู Relative clause หรือ อนุประโยคในภาษาอังกฤษ ที่ทำหน้าที่เหมือนกันกับคำคุณศัพท์ (Adjective) ซึ่งมีหน้าที่ขยายคำนามที่อยู่ข้างหน้า  และจะใช้ตามหลัง Relative Pronoun เช่น  who, whom, which, that, และ whose แต่สงสัยมั้ยคะว่าทำไมต้องเรียนเรื่องนี้ ลองดูตัวอย่างประโยคด้านล่างแล้วจะร้องอ๋อมากขึ้น พร้อมข้อสอบ Error

สัจนิรันดร์

ในบทความจะเขียนเกี่ยวกับวิธีการพิสูจน์การเป็นสัจนิรันดร์ของประพจน์ ซึ่งจะเน้นให้น้องๆเข้าใจหลักการของการพิสูจน์ สิ่งที่น้องจะได้จากบทความนี้คือ น้องจะสามารถพิสูจน์การเป็นสัจนิรันดร์ของประพจน์ได้และหากน้องๆขยันทำโจทย์บ่อยๆจะทำให้น้องวิเคราะห์โจทย์เกี่ยวกับสัจนิรันดร์ได้ง่ายขึ้นแน่นอนค่ะ

Nockacademy web logo 3

ทดลองฟรี! รับชมคลิปบทเรียนสั้นๆ

และการสอนแบบไลฟ์สดทุกวันเพื่อให้คุณเข้าใจมากขึ้น

Nockacademy web logo 3

ทดลองฟรี! รับชมคลิปบทเรียนสั้นๆ

และการสอนแบบไลฟ์สดทุกวันเพื่อให้คุณเข้าใจมากขึ้น​