สถิติ (ค่ากลางของข้อมูล/การกระจายของข้อมูล)

สารบัญ

Add LINE friends for one click to find article. Add LINE friends for one click to find article.

บทความนี้ได้รวบรวมความรู้เรื่อง ค่ากลางของข้อมูลและการกระจายของข้อมูล ซึ่งค่ากลางของข้อมูลจะประกอบด้วย ค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยม ส่วนการวัดการกระจายของข้อมูลจะศึกษาในเรื่องการหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ซึ่งน้องๆสามารถทบทวน การนำเสนอข้อมูลในรูปตารางแจกแจงความถี่ ได้ที่  ⇒⇒  การนำเสนอข้อมูลในรูปตารางแจกแจงความถี่ ⇐⇐

หมายเหตุ ค่าเฉลี่ยในทางคณิตศาสตร์มีหลายชนิด แต่ที่นิยมใช้คือค่าเฉลี่ยเลขคณิต

การวัดค่ากลางของข้อมูล  เป็นการหาค่ากลางมาเป็นตัวแทนของข้อมูลแต่ละชุด ซึ่งมีวิธีการหาได้หลายวิธีที่นิยมกัน ได้แก่

  • ค่าเฉลี่ยเลขคณิต
  • มัธยฐาน
  • ฐานนิยม

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต (Arithmetic mean)

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต คือ ค่าของผลรวมของค่าสังเกตของข้อมูลทั้งหมดหารด้วยจำนวนข้อมูลทั้งหมด เรียกสั้นๆ ว่า ค่าเฉลี่ย ซึ่งในการหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะประกอบด้วยการหาค่าเฉลี่ยของข้อมูลที่ไม่ได้แจกแจงความถี่ และ การหาค่าเฉลี่ยของข้อมูลที่แจกแจงความถี่ 

การหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลที่ไม่แจกแจงความถี่

(ข้อมูลไม่ได้จัดอยู่ในรูปตารางแจกแจงความถี่) มีสูตร ดังนี้

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต = ผลรวมของข้อมูลทั้งหมด ⁄จำนวนของข้อมูล

หรือ ผลรวมของข้อมูล = ค่าเฉลี่ยเลขคณิต x จำนวนของข้อมูล

หรือ จำนวนข้อมูลทั้งหมด = ผลรวมของข้อมูลทั้งหมด ⁄ ค่าเฉลี่ยเลขคณิต

ตัวอย่างที่ 1    จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูล 20  22  25  27  24  28  26  28

วิธีทำ   ค่าเฉลี่ยเลขคณิต =   ผลรวมของข้อมูลทั้งหมด ⁄จำนวนของข้อมูล    

 ค่าเฉลี่ยเลขคณิต = \frac{20+22+25+27+24+28+26+28}{8}      

                \frac{200}{8}              

      =  25

ดังนั้น ค่าเฉลี่ยเลขคณิต คือ 25

ตัวอย่างที่ 2  อนันต์ทดสอบเก็บคะแนนวิชาคณิตศาสตร์ 3 ครั้ง คือ  18  15  16 อยากทราบว่าอนันต์ทดสอบเก็บคะแนนได้คะแนนเฉลี่ยเท่าไร                            

วิธีทำ  อนันต์ได้คะแนนเฉลี่ย   =   \frac{18+15+16}{3}    

                           =    \frac{49}{3}   

                          ≈   16.33

ดังนั้น อนันต์ทดสอบเก็บคะแนนได้คะแนนเฉลี่ยประมาณ 16.33   

ตัวอย่างที่ 3   ในค่ายมวยแห่งหนึ่งมีนักมวยทั้งหมด  6  คน  โดยที่นักมวยแต่ละคนมีน้ำหนักคิดเป็น

ปอนด์  ดังนี้  125, 303, 163, 175, 181, 220  จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของน้ำหนักของนักมวยในค่ายนี้

วิธีทำ น้ำหนักเฉลี่ยต่อคน = \frac{125+330+163+175+181+220}{6}

 = \frac{1194}{6}

  = 199 

ดังนั้น  ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของน้ำหนักของนักมวยในค่ายนี้เท่ากับ  199  ปอนด์

ตัวอย่างที่ 4 เลือกนักเรียนในชนบทแห่งหนึ่งมาจำนวน  10  คน  ปรากฏว่ามีรายได้ต่อวันคิดเป็นบาทดังนี้  85, 70, 10, 75, 44, 80, 42, 45, 40, 36  จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของรายได้ของนักเรียนดังกล่าว

วิธีทำ              รายได้เฉลี่ยต่อวัน = \frac{85+70+10+75+44+80+42+45+40+36}{10}

     = \frac{567}{10}

     = 56.7                                 

ดังนั้น  ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของรายได้ของนักเรียนเท่ากับ  56.7  บาทต่อวัน

ตัวอย่างที่ 5  ข้อมูลชุดหนึ่งมี  9  จำนวน  ถ้าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดนี้เท่ากับ  4.5  ผลรวมของ

ข้อมูลชุดนี้เท่ากับเท่าใด

วิธีทำ   จากสูตร ผลรวมของข้อมูล  =  ค่าเฉลี่ยเลขคณิต x จำนวนของข้อมูล

   จะได้  ผลรวมของข้อมูล  =  9 x 4.5

    = 40.5

ดังนั้น  ผลรวมของข้อมูลชุดนี้เท่ากับ  40.5

ตัวอย่างที่ 6   ในการทดสอบเก็บคะแนน  อาริสาสอบได้ 76, 84  และ 73  คะแนน  ตามลำดับ จงหาว่าในการสอบครั้งที่ 4  อาริสาจะต้องสอบให้ได้กี่คะแนนจึงจะทำให้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบทั้งสี่ครั้งเป็น 80 คะแนน

วิธีทำ              จาก   ค่าเฉลี่ย = \frac{X_{1}+X_{2}+X_{3}+X_{4}}{n}              

                     จะได้           80 = \frac{76+84+73+X_{4}}{4}

80 x 4 = 233 + X₄   

    320 =  233 + X₄ 

     X₄  = 320 – 233 

     X₄  = 87  

ดังนั้น   ในการสอบครั้งที่  4 อาริสาจะต้องสอบได้  87  คะแนน

การหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลที่แจกแจงความถี่ 

(ในรูปตารางที่เป็นช่วงหรืออันตรภาคชั้น) มีสูตร ดังนี้

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต = ∑fX ⁄ N

เมื่อ ∑ คือผลรวม , X คือ ข้อมูล , N คือ จำนวนข้อมูลหรือความถี่

 

ตัวอย่างที่ 7  ผลการสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียน  20  คน  เป็นดังนี้

คะแนน 15 18 20 21 25 27 30
จำนวนนักเรียน 2 3 2 4 2 1 1

จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบครั้งนี้

วิธีทำ  สร้างตารางเพื่อคำนวณหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตดังนี้

คะแนน (X)

จำนวนนักเรียน (f)

fX

15

2 15 x 2

18

3 18 x 3
20 2 20 x 2

21

4 21 x 4

25

2 25 x 2

27

1 27 x 1

30

1 30 x 1
รวม N = 15

∑fX = 315

                     จาก   ค่าเฉลี่ยเลขคณิต = ∑fX ⁄ N       

                     จะได้    ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบ =  ³¹⁵⁄₁₅  = 21 

ดังนั้น  ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบครั้งนี้  เท่ากับ  21 คะแนน

ตัวอย่างที่ 8      จงหาค่าเฉลี่ยของอายุชาวบ้านในชุมชนแห่งหนึ่งจำนวน  20  คน

อายุ (ปี)

จำนวนคน

11 – 15

4
16 – 20

3

21 – 25

2
26 – 30

4

31 – 35

5

36 – 40

2

วิธีทำ สร้างตารางเพื่อคำนวณหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตดังนี้

อายุ (ปี)

จำนวนคน(f) จุดกึ่งกลาง (X) fX

11 – 15

4 13 52
16 – 20 3 18

54

21 – 25 2 23

46

26 – 30 4 28

112

31 – 35

5 33

165

36 – 40

2 38

76

N = 20 ∑fX = 505

จาก   ค่าเฉลี่ยเลขคณิต = ∑fX ⁄ N         

จะได้    ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบ = ⁵⁰⁵⁄₂₀ = 25.25

ดังนั้น  ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบครั้งนี้  เท่ากับ  25.25  คะแนน

มัธยฐาน (Median)     

มัธยฐาน คือ ค่าที่มีตำแหน่งอยู่กึ่งกลางของข้อมูลทั้งหมด เมื่อได้เรียงข้อมูลตามลำดับ ไม่ว่าจากน้อยไปมาก หรือจากมากไปน้อย  แทนด้วยสัญลักษณ์  Me  หรือ  Med

การหามัธยฐานของข้อมูลที่ไม่ได้แจกแจงความถี่

1) เรียงข้อมูลที่มีอยู่ทั้งหมดจากน้อยไปมาก หรือมากไปน้อยก็ได้

2) ตำแหน่งมัธยฐาน คือ ตำแหน่งกึ่งกลางข้อมูลทั้งหมด

      ดังนั้น ตำแหน่งของมัธยฐาน คือ   เมื่อ  N  คือ จำนวนข้อมูลทั้งหมด

 3) มัธยฐาน คือ ค่าที่มีตำแหน่งอยู่กึ่งกลางของข้อมูลทั้งหมด

ตัวอย่างที่ 9  จงหามัธยฐานของข้อมูล  2, 6, 4, 8, 12, 14, 10  

วิธีทำ   เรียงข้อมูลจากน้อยไปมาก  จะได้   2, 4, 6, 8, 10, 12, 14                                                  

   ตำแหน่งของค่ามัธยฐาน  คือ \frac{N+1}{2} = \frac{7+1}{2} = 4

ดังนั้น  ค่ามัธยฐาน  คือ  8

ตัวอย่างที่ 10 จงหามัธยฐานของข้อมูล  1, 7, 5, 11, 13, 15, 17, 9                 

วิธีทำ   เรียงข้อมูลจากน้อยไปมาก  จะได้   1, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17      

           ตำแหน่งของค่ามัธยฐาน  คือ \frac{N+1}{2} = \frac{8+1}{2} = 4.5

           ค่ามัธยฐานของข้อมูลอยู่ระหว่างตำแหน่งที่  4 และ  5

ดังนั้น  ค่ามัธยฐาน  เท่ากับ  \frac{9+11}{2}²⁰⁄₂ = 10

ฐานนิยม (Mode)     

ฐานนิยม คือ ข้อมูลที่มีความถี่สูงสุดหรือปรากฏบ่อยครั้งที่สุด จะใช้กับข้อมูลเชิงคุณภาพมากกว่าเชิงปริมาณ เช่น ขนาดรองเท้า ขนาดยางรถยนต์

ตัวอย่างที่ 11  จงหาฐานนิยมของขนาดรองเท้าของนักเรียนจำนวน 15 คน  ซึ่งมีขนาด  4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9

ตอบ  ฐานนิยมของขนาดรองเท้าของนักเรียนจำนวน 15 คน  คือ  5  เพราะมีรองเท้าขนาด 5  มากที่สุด  คือ 4 คน  กล่าวคือ  นักเรียนส่วนใหญ่ใช้รองเท้าขนาด 5

ตัวอย่างที่ 12  ข้อมูลชุดหนึ่งประกอบด้วย  3, 5, 8, 10, 12, 15, 16  จงหาฐานนิยม

ตอบ   ไม่มีฐานนิยม  เพราะ  ข้อมูลแต่ละค่ามีความถี่เท่ากันหมด

ตัวอย่างที่ 13   ข้อมูลซึ่งประกอบด้วย  5, 4, 6, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 9  จงหาฐานนิยม

ตอบ   ไม่มีฐานนิยม เพราะ  ข้อมูลมีความถี่สูงสุดเท่ากันสามค่า คือ 6, 8 และ 9

ตัวอย่างที่ 14  ข้อมูลต่อไปนี้แสดงจำนวนนักศึกษาสาขาวิชาต่างๆ ของสถาบันการศึกษาแห่งหนึ่ง

สาขาวิชา

จำนวนนักศึกษา
ศึกษาศาสตร์

นิติศาสตร์

บริหารธุรกิจ

มนุษยศาสตร์

ศิลปกรรมศาสตร์

500

400

450

350

300

จากตารางนี้  จงหาฐานนิยม

ตอบ ฐานนิยมของข้อมูลนี้  คือ สาขาวิชาศึกษาศาสตร์ เพราะ มีความถี่มากที่สุด  เท่ากับ  500

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน   เป็นการวัดการกระจายของข้อมูลที่ใช้ข้อมูลทุกค่ามาคำนวณ ซึ่งเป็นวิธีการวัดการกระจายที่นิยมและเชื่อถือได้มากที่สุด  การหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลหาได้โดยใช้สูตรดังนี้

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ตัวอย่างที่ 15  อุณหภูมิในจังหวัดเชียงใหม่ ซึ่งวัดทุกเช้าวันที่ 1 ของทุก ๆ เดือน ในปีที่ผ่านมาเป็นดังนี้

เดือน

ม.ค. ก.พ. มี.ค. เม.ย. พ.ค. มิ.ย. ก.ค. ส.ค. ก.ย. ต.ค. พ.ย. ธ.ค.
อุณหภูมิ 2 6 10 24 23 23 22 21 21 20 14

6

จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดนี้

วิธีทำ    จากโจทย์ต้องการหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูล 

สูตรที่ใช้ในการคำนวณ  คือ

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ขั้นแรก หาค่าเฉลี่ย (μ)   และเราทราบจำนวนข้อมูล (N) เท่ากับ  12

ค่าเฉลี่ย (μ) = \frac{2+6+10+24+23+23+22+21+21+20+14+6}{12}

         =  ¹⁹²⁄ ₁₂ = 16

ขั้นที่สอง  หาค่าของ  ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน2  ได้ดังนี้

X X – µ (X – µ)²

2

6

10

24

23

23

22

21

21

20

14

6

-14

-10

-6

8

7

7

6

5

5

4

-2

-10

196

100

36

64

49

49

36

25

25

16

4

100

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน2= 700

จะได้   ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน2    =  700

และ    ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน      = \frac{\sqrt{700}}{12} ≈ 2.23 

ดังนั้น  ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดนี้ มีค่าประมาณ  2.23 

คลิปวิดีโอ 

NockAcademy คือโรงเรียนออนไลน์สำหรับเด็ก โดยแอปฯ และเว็บไซต์ นักเรียนสามารถเรียนรู้ผ่านคลิปบทเรียนวิชา คณิตศาสตร์ ภาษาอังกฤษ และภาษาไทย
มากไปกว่านั้น เรายังมีคอร์สเรียนออนไลน์ การสอนพิเศษ การติวนอกสถานที่โดยติวเตอร์ที่แน่นไปด้วยความรู้ อีกด้วย

Add LINE friends for one click to find article. Add LINE friends for one click to find article.
เรียนพิเศษออนไลน์ ดูได้ทั้ง 4 รายวิชา - NockAcademy

แค่ 10 นาที ก็เข้าใจได้

สามารถดูคลิปบทเรียนวิชา คณิตศาสตร์ ภาษาอังกฤษ และภาษาไทย ที่มีมากกว่า 2,000+ คลิป และยังสามารถทำแบบทดสอบที่มีมากกว่า 4000+ ข้อ

แนะนำ

แชร์

การแยกตัวประกอบพหุนาม

การแยกตัวประกอบพหุนาม

การแยกตัวประกอบพหุนาม การแยกตัวประกอบพหุนาม เป็นการแยกตัวประกอบของสมการเพื่อให้ง่ายต่อการหาคำตอบของสมการที่จะต้องเรียนในเนื้อหาถัดไป ในบทความนี้จะพูดถึงพหุนามดีกรี 2 ตัวแปรเดียว พหุนามดีกรี 2 คือ พหุนามที่มีเลขยกกำลังสูงสุด คือ 2 พหุนามดีกรี 2 ตัวแปรเดียว คือ พหุนามที่มีเลขยกกำลังสูงสุดคือ 2 และ มีตัวแปร 1 ตัว เขียนอยู่ในรูป ax² +

M2 V. to be + ร่วมกับ Who WhatWhere + -Like + infinitive

การใช้ V. to be ร่วมกับ Who/ What/Where และ Like +V. infinitive

สวัสดีค่ะนักเรียนชั้นม.2 ทุกคน วันนี้เราจะไปเรียนรู้เรื่อง การใช้ V. to be + ร่วมกับ Who/ What/Where + -Like + infinitive ซึ่งเป็นโครงสร้างที่สับสนบ่อย แต่ที่จริงแล้วง่ายมากๆ ไปลุยกันเลยจ้า Let’s go ความหมาย    Verb to be

เสียงวรรณยุกต์ในภาษาไทยมีความสำคัญอย่างไร

  เสียงวรรณยุกต์ในภาษาไทยมีความสำคัญไม่แพ้เสียงพยัญชนะและเสียงวรรณยุกต์เลยค่ะ น้อง ๆ ทราบไหมคะว่าเสียงวรรณยุกต์ในภาษาไทยเรานั้นเป็นเหมือนตัวกำหนดความหมายของคำเลยก็ว่าได้ ทำไมถึงเป็นแบบนั้น วันนี้เรามีคำตอบให้แล้วค่ะ เราไปเรียนรู้เกี่ยวเสียงวรรณยุกต์พร้อมๆ กันเลยค่ะว่าทำไมถึงมีความสำคัญ   เสียงวรรณยุกต์คืออะไร   เสียงวรรณยุกต์ หมายถึง เสียงที่ใช้บอกระดับสูงต่ำของคำ มี 4 รูป 5 เสียง   รูปวรรณยุกต์   รูปวรรณยุกต์มี 4

ลิลิตตะเลงพ่าย

ลิลิตตะเลงพ่าย ความเป็นมาของลิลิตชั้นยอดของเมืองไทย

ลิลิตตะเลงพ่าย ขึ้นชื่อว่าเป็นยอดของลิลิต ที่แต่งดีที่สุด โดยบุคคลที่ได้รับการยกย่องว่าเป็นบุคคลดีเด่นทางด้านวัฒนTรรมของโลก เกริ่นมาเพียงเท่านี้น้อง ๆ ก็คงจะอยากรู้ที่มาและเรื่องของลิลิตตะเลงพ่ายมากขึ้นกว่าเดิมใช่ไหมคะ ถ้าอย่างนั้นเพื่อไม่ให้เป็นการเสียเวลา เราไปเรียนรู้วรรณคดีเรื่องสำคัญของไทยเรื่องนี้กันเลยค่ะ   ลิลิตตะเลงพ่าย ความเป็นมา   ลิลิตตะเลงพ่าย เป็นพระนิพนธ์ของสมเด็จพระมหาสมณเจ้า กรมพระปรมานุชิตชิโนรส รัตนกวีแห่งกรุงรัตนโกสินทร์ พระนามเดิมของพระองค์คือ พระองค์เจ้าวาสุกรี เป็นพระเจ้าลูกยาเธอองค์ที่ 28 ในพระบาทสมเด็จพระพุทธยอดฟ้าจุฬาโลกมหาราช     สมเด็จพระมหาสมณเจ้า

ขัตติยพันธกรณี อานุภาพของบทประพันธ์ที่พลิกเหตุร้ายให้กลายเป็นดี

ขัตติยพันธกรณี เป็นเรื่องราวการโต้ตอบด้วยบทประพันธ์ระหว่างรัชกาลที่ 5 ที่กำลังอยู่ในท้อแท้และประชวรอย่างหนักและกรมพระยาดำรงราชานุภาพที่เขียนจดหมายตอบกลับมาเพื่อให้กำลังใจ จากบทเรียนคราวที่แล้ว น้อง ๆ ก็คงจะรู้ถึงสาเหตุแล้วว่าความทุกข์ใจของรัชกาลที่ 5 นั้นมาจากข้อพิพาทเรื่องดินแดนกับฝรั่งเศส บทเรียนในวันนี้จะพาน้อง ๆ ไปเรียนรู้เกี่ยวกับตัวบทกันบ้าง เพื่อถอดคำประพันธ์และศึกษาคุณค่าของวรรณคดีเรื่องนี้กันค่ะ   ตัวบทเด่น ๆ ในขัตติยพันธกรณี     ถอดความ เพราะเกิดปัญหาเป็นข้อพิพาทเรื่องดินแดนกับฝรั่งเศสทำให้รัชกาลที่ 5 ทรงประชวรมาเป็นเวลานาน เพราะความไม่สบายกายและไม่สบายใจนี้เองที่ทำให้พระองค์มีความคิดจะเสด็จสวรรคต

NokAcademy_Infinitives after verbs

Infinitives after verbs

Hi guys! สวัสดีค่ะนักเรียนม.5 ที่รักทุกคนวันนี้เราจะไปดูการใช้ Infinitives after verbs กันเด้อ ถ้าพร้อมแล้วก็ไปลุยกันโลดจร้า Let’s go!   ทบทวนความหมายของ “Infinitive”   Infinitive คือ   กริยารูปแบบที่ไม่ผัน ไม่เติมอะไรใดๆเลย ที่นำหน้าด้วย to (Infinitive with “to” หรือ

Nockacademy web logo 3

ทดลองฟรี!

เข้าใจได้ทันที NockAcademy ไลฟ์สดอันดับ 1

Nockacademy web logo 3

ทดลองฟรี!

เข้าใจได้ทันที NockAcademy ไลฟ์สดอันดับ 1