การแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

การแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

สารบัญ

บทความนี้จะเป็นการสอนวิธี การแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ซึ่งสามารถทำได้โดยการจัดรูปของตัวแปรให้อยู่ด้านเดียวกันและตัวเลขอยู่อีกด้าน เพื่อหาค่าของตัวแปรนั้นๆ แต่ก่อนที่น้องๆจะได้เรียนรู้การแก้อสมการนั้น น้องๆสามารถทบทวน อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวเพิ่มเติมได้ที่  ⇒⇒ แนะนำอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ⇐⇐

หลักการแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

ในการแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว จะทำคล้ายๆกับการแก้สมการ โดยมีหลักการ ดังนี้

  1. จัดตัวแปรให้อยู่ข้างเดียวกัน และจัดตัวเลขไว้อีกฝั่ง (นิยมจัดตัวแปรไว้ด้านซ้ายของสัญลักษณ์อสมการ และจัดตัวเลขไว้ด้านขวาของสัญลักษณ์อสมการ)
  2. ถ้านำจำนวนลบ มาคูณ หรือ หาร สัญลักษณ์ของอสมการจะเปลี่ยนเป็นสัญลักษณ์ตรงกันข้าม ดังนี้
    • มากกว่า (>) เปลี่ยนเป็น น้อยกว่า (<)
    • น้อยกว่า (<) เปลี่ยนเป็น มากกว่า (>)
    • มากกว่าหรือเท่ากับ (≥) เปลี่ยนเป็น น้อยกว่าหรือเท่ากับ (≤)
    • น้อยกว่าหรือเท่ากับ (≤) เปลี่ยนเป็น มากกว่าหรือเท่ากับ (≥)
    • ไม่ท่ากับ (≠) สัญลักษณ์ไม่เปลี่ยน

จากหลักการแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ที่ระบุว่า เมื่อนำจำนวนลบมา คูณ หรือ หาร สัญลักษณ์ของอสมการจะเปลี่ยนเป็นสัญลักษณ์ตรงกันข้ามนั้น น้องๆมาสังเกตดูว่า ถ้านำจำนวนบวกมา คูณ หรือ หาร สัญลักษณ์ของอสมการจะเปลี่ยนมั้ย??

จงเติมคำตอบว่าอสมการเป็นจริงหรือเท็จ เมื่อคูณทั้งสองข้างของอสมการด้วยจำนวนจริงบวก

ข้อ อสมการ อสมการเป็นจริง

หรือเท็จ

ผลคูณ

อสมการเป็นจริง

หรือเท็จ

1

3 < 8

เป็นจริง

3 x 4 < 8 x 4

12 < 32

เป็นจริง
2 –4 ≤ –2

เป็นจริง

(–4) x 4  ≤ (–2) x 4

–16  ≤  –8

เป็นจริง

 

3

–5 < 1 เป็นจริง (–5) x 3 < 1 x 3

–15 < 3

เป็นจริง

 

4

4  ≥  3

เป็นจริง

4 x 5  ≥   3 x 5

20  ≥   15

เป็นจริง

5 3 > –1 เป็นจริง 3 x 12 > (–1) x 12

36 > –12

เป็นจริง

จะเห็นว่าเมื่อคูณทั้งสองข้างของอสมการด้วยจำนวนจริงบวก อสมการเป็นจริงทุกอสมการ นั่นคือ เมื่อคูณ หรือ หาร ทั้งสองข้างของอสมการด้วยจำนวนจริงบวก สัญลักษณ์ของอสมการจะไม่เปลี่ยน

ถ้าคูณทั้งสองข้างของอสมการด้วยจำนวนจริงลบ สัญลักษณ์ของอสมการจะเปลี่ยนหรือไม่

ข้อ

อสมการ อสมการเป็นจริง

หรือเท็จ

ผลคูณ อสมการเป็นจริง

หรือเท็จ

  6

3 < 5 เป็นจริง 3 x (–4) < 5 x (–4)

–12 < –20

เท็จ
  7 –4  ≤ –3

เป็นจริง

–4 x (–4)  ≤  –3 x (–4)

16  ≤  12

เท็จ

  8

–5 < 2 เป็นจริง –5 x (–3) < 2 x (–3)

15 < –6

เท็จ
  9 4  ≥  1 เป็นจริง 4 x (–5)  ≥  1 x (–5)

–20  ≥  –5

เท็จ

10 3 > –1 เป็นจริง 3 x (–12)  > –1 x (–12)

 –36 > 12

เท็จ

จะเห็นว่าเมื่อคูณทั้งสองข้างของอสมการด้วยจำนวนจริงลบ อสมการเป็นเท็จทุกอสมการ นั่นคือ เมื่อคูณ หรือ หาร ทั้งสองข้างของอสมการด้วยจำนวนจริงลบ สัญลักษณ์ของอสมการจะเปลี่ยนเป็นสัญลักษณ์ตรงกันข้าม เพื่อทำให้อสมการเป็นจริง ซึ่งเป็นจริงตามหลักการข้อที่ 2

วิธีแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

ลำดับต่อไป มาเรียนรู้วิธีการแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว จากตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 1  จงหาคำตอบของอสมการ  3x – 2 < 10

จาก   3x – 2 < 10

นำ 2 บวกเข้าทั้งสองข้างของอสมการ

 จะได้   3x – 2 + 2 < 10 + 2

                      3x < 12

                 3x(¹⁄₃ ) < 12(¹⁄₃ )

                             x < 4

ดังนั้น คำตอบของอสมการ 3x – 2 < 10 คือ จำนวนจริงทุกจำนวนที่น้อยกว่า 4

ตัวอย่างที่ 2  จงหาคำตอบของสมการ   –4x + 10  ≤  30

วิธีทำ  จาก  –4x + 10  ≤  30

นำ –10 บวกเข้าทั้งสองข้างของอสมการ

 จะได้   –4x + 10  + (–10)  ≤  30 + (–10)

                                       –4x  ≤  20

                              –4x(–¹⁄₄ )  ≥  20(–¹⁄₄)

                                         x   ≥  –5

ดังนั้น คำตอบของอสมการ –4x + 10  ≤  30 คือ จำนวนจริงทุกจำนวนที่มากกว่าหรือเท่ากับ –5

ตัวอย่างที่ 3  จงหาคำตอบของสมการ  2(x – 10) < 4

วิธีทำ  จาก 2(x – 10) < 4

นำ 2 คูณเข้าไปในวงเล็บ

 จะได้   2x – 20  < 4

           2x < 4 + 20 

                           2x < 24 

นำ ¹⁄ ₂ คูณทั้งสองข้างของอสมการ

                 2x (¹⁄ ₂ )  < 24 (¹⁄ ₂)

                            x  <  12

ดังนั้น คำตอบของอสมการ 2(x – 10) < 4 คือ จำนวนจริงทุกจำนวนที่น้อยกว่า 12

ตัวอย่างที่ 4  จงหาคำตอบของสมการ  28 – 4x > 20

วิธีทำ  จาก   28 – 4x > 20

นำ –28 บวกเข้าทั้งสองข้างของอสมการ

 จะได้  28 – 4x – 28 > 20 – 28

                                –4x > –8

นำ –¹⁄₄   คูณทั้งสองข้างของอสมการ

                              –4x (–¹⁄₄ )  < -8 (–¹⁄₄)

                                           x  <  2

ดังนั้น คำตอบของอสมการ 28 – 4x > 20 คือ จำนวนจริงทุกจำนวนที่น้อยกว่า 2

ตัวอย่างที่ 5  จงหาคำตอบของสมการ  x – 5  ≥  2x – 7

วิธีทำ  จาก  x – 5  ≥  2x – 7

นำ 7 บวกเข้าทั้งสองข้างของอสมการ

 จะได้ x – 5 + 7  ≥  2x – 7 + 7

                                    x + 2  ≥  2x

นำ x ลบทั้งสองข้างของอสมการ

                            x + 2 – x  ≥  2x – x

                                       2  ≥ x  หรือ  x  ≤  2  

ดังนั้น คำตอบของอสมการ x – 5  ≥  2x – 7 คือ จำนวนจริงทุกจำนวนที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ 2

ตัวอย่างที่ 6  จงหาคำตอบของสมการ 3(x – 7) ≠ 12

วิธีทำ  จาก  3(x – 7) ≠ 12

จะได้    3x – 21 12

นำ 21 บวกทั้งสองข้างของสมการ

 จะได้ 3x – 21 + 21 ≠ 12 + 21

                                3x ≠ 33

                                  x 11

ดังนั้น คำตอบของอสมการ 3(x –7) 12 คือ จำนวนจริงทุกจำนวนยกเว้น 11

ตัวอย่างที่ 7  จงหาคำตอบของสมการ x – 12 ≠ 2x – 4

วิธีทำ  จาก x – 12 ≠ 2x – 4

นำ 4 บวกเข้าทั้งสองข้างของอสมการ

 จะได้   x – 12 + 4 ≠ 2x – 4 + 4

                          x – 8  ≠  2x

นำ x ลบทั้งสองข้างของอสมการ

                    x – 8 – x  ≠ 2x – x

                               x  ≠   -8

ดังนั้น คำตอบของอสมการ x – 12 ≠ 2x – 4 คือ จำนวนจริงทุกจำนวนยกเว้น -8

แบบฝึกหัด พร้อมเฉลย

จงแสดงวิธีแก้อสมการต่อไปนี้

1) 5x – 10 ≠ 30
วิธีทำ  จาก  5x – 10 ≠ 30
5x – 10 + 10 ≠ 30 + 10
5x ≠ 40
5x (¹⁄ ₅ ) ≠ 40 (¹⁄ ₅ )
x ≠ 8
2) 2x – 17 -11
วิธีทำ  จาก  2x – 17  -11
2x – 17 + 17
 -11+17
2x
 6
                          x  3
3) 3x + 15 < 30
วิธีทำ  จาก  3x + 15 < 30
3x + 15 – 15 <
 30 – 15
3x <
 15
                          x < 5
4) 10x + 5 ≥ 25
วิธีทำ  จาก  10x +5 ≥ 25
10x + 5 – 5 ≥
 25 – 5
10x ≥
 20
                        x ≥ 2
5) 4x + 10 > 50
วิธีทำ  จาก  4x + 10 > 50
4x + 10 – 10 >
 50 – 10
4x >
 40
                          x > 10
6) 7x – 3 ≠ 4
วิธีทำ  จาก  7x – 3 ≠ 4
7x – 3 + 3 ≠ 4 + 3
7x ≠ 7
x ≠ 1
7) 3(x + 1) ≥ 15
วิธีทำ  จาก 3(x + 1) ≥ 15
                   x + 1 ≥ 5
              x + 1 – 1 ≥ 5 – 1
                        x ≥ 4
8) 2(x – 4) < 12
วิธีทำ  จาก  2(x – 4) < 12
                     x – 4 < 6
               x – 4 + 4 < 6 + 4
                          x < 10

เมื่อน้องๆเรียนรู้เรื่องการเแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว  จะทำให้น้องๆสามารถแก้อสมการได้อย่างถูกต้องและแม่นยำ สามารถนำความรู้ที่ได้จากการเรียนเรื่องสมการมาประยุกต์ใช้กับอสมการได้ เมื่อน้องๆ หาคำตอบได้แล้ว น้องๆจะต้องเขียนกราฟของคำตอบของสมการ ซึ่งเขียนในรูปของเส้นจำนวน อยู่ในบทความเรื่องกราฟของอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

วิดีโอ การแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

        คลิปวิดีโอนี้ได้รวบรวม วิธีการแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ซึ่งเป็นคลิปสั้นๆ ที่สามารถเข้าใจได้ง่าย แฝงไปด้วยสาระความรู้ และเทคนิค ที่จะทำให้น้องๆมองวิชาคณิตศาสตร์เป็นเรื่องง่าย

 

NockAcademy คือโรงเรียนออนไลน์สำหรับเด็ก โดยแอปฯ และเว็บไซต์ นักเรียนสามารถเรียนรู้ผ่านวิดีโอบทเรียนวิชา คณิตศาสตร์ ภาษาอังกฤษ และภาษาไทย มากไปกว่านั้น เรายังมีคอร์สเรียนออนไลน์ การสอนพิเศษ การติวนอกสถานที่โดยติวเตอร์ที่แน่นไปด้วยความรู้ อีกด้วย
เรียนพิเศษออนไลน์ ดูได้ทั้ง 4 รายวิชา - NockAcademy

แค่ 10 นาที ก็เข้าใจได้

สามารถดูวิดีโอบทเรียนวิชา คณิตศาสตร์ ภาษาอังกฤษ และภาษาไทย ที่มีมากกว่า 2,000+ วิดีโอ และยังสามารถทำแบบทดสอบที่มีมากกว่า 4000+ ข้อ

แนะนำ

แชร์

ป.5 ไวยากรณ์เรื่อง There is _ There are และ How many

ไวยากรณ์เรื่อง There is / There are และ How many

สวัสดีค่ะนักเรียนชั้น ป.5 ที่รักทุกคน วันนี้เราจะไปเรียนรู้ “ไวยากรณ์เรื่อง There is / There are และ How many” กันจ้า ถ้าพร้อมแล้วก็ไปลุยกันเลยเด้อ ถามก่อนเรียน: อ้าวแล้ว Have/has ก็แปลว่า “มี” เหมือนกันไม่ใช่เหรอ แล้ว There is/There are

คำเชื่อม Conjunction

การใช้คำสันธาน(Conjunctions)

สวัสดีค่ะนักเรียนชั้นม.3 ที่รักทุกคนวันนี้เราจะไปเรียนรู้กันเรื่อง “การใช้คำสันธาน(Conjunctions)“ กันนะคะ ถ้าพร้อมแล้วก็ไปลุยกันโลด คำสันธาน(Conjunctions)คืออะไร   คำสันธาน (Conjunctions) คือ คำที่ใช้เชื่อมระหว่างประโยคต่อประโยค คำต่อคำ หรือระหว่างกริยาต่อกริยา และอื่นๆ เช่น for, and, or, nor, so, because, since ดังตัวอย่างด้านล่างเลยจ้า ตัวอย่างเช่น เชื่อมนามกับนาม

การนำเสนอข้อมูลในรูปตารางแจกแจงความถี่

การนำเสนอข้อมูลในรูปตารางแจกแจงความถี่

การแจกแจงความถี่ของข้อมูล (Frequency distribution)              การแจกแจงความถี่ของข้อมูล  เป็นวิธีการทางสถิติอย่างหนึ่งที่ใช้ในการจัดข้อมูลที่มีอยู่ให้เป็นหมวดหมู่ เพื่อความสะดวกในการนำเสนอและการวิเคราะห์ข้อมูลเหล่านั้น  มี 2 ลักษณะ คือ ตารางแจกแจงความถี่แบบไม่เป็นอันตรภาคชั้น และ ตารางแจกแจงความถี่แบบไม่เป็นอันตรภาคชั้น การสร้างตารางแจกแจงความถี่ แบบไม่เป็นอันตรภาคชั้น การนำเสนอข้อมูลในรูปตารางแจกแจงความถี่ แบบไม่เป็นอันตรภาคชั้น เหมาะสำหรับข้อมูลที่มีค่าจาการสังเกตไม่มากนักหรือไม่ซับซ้อน  1.

ดีเทอร์มิแนนต์

ดีเทอร์มิแนนต์ ดีเทอร์มิแนนต์ (Determinant) คือ ค่าของตัวเลขที่สอดคล้องกับเมทริกซ์จัตุรัส ถ้า A เป็นเมทริกซ์จัตุรัส จะเขียนแทนดีเทอร์มิแนนต์ของ A ด้วย det(A) หรือ โดยทั่วไปการหาค่าดีเทอร์มิแนนต์ที่เจอในข้อสอบจะไม่เกินเมทริกซ์ 3×3 เพราะถ้ามากกว่า 3 แล้ว จะเริ่มมีความยุ่งยาก **ค่าของดีเทอร์มิแนนต์จะเป็นจำนวนจริงและมีเพียงค่าเดียวเท่านั้นที่จะสอดคล้องกับเมทริกซ์จัตุรัส เช่น เมทริกซ์ B ก็จะมีค่าดีเทอร์มิแนนต์เพียงค่าเดียวเท่านั้น**  

รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน

การสมมูลกันของประพจน์สำคัญอย่างไร?? ถือว่าสำคัญค่ะ เพราะถ้าเรารู้ว่าประพจน์ไหนสมมูลกับประพจน์อาจจะทำให้การตรวจสอบการเป็นสัจนิรันดร์และการหาค่าความจริงง่ายขึ้น หลังจากอ่านบทความนี้จบ น้องๆจะสามารถทำแบบฝึกหัดเรื่องการสมมูลได้และพร้อมทำข้อสอบได้แน่นอน