บทความนี้ได้รวบรวม โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ไว้หลากหลายตัวอย่าง ซึ่งแสดงวิธีคิดอย่างละเอียด สามารถเรียนรู้และเข้าใจได้ง่าย แต่ก่อนที่น้องๆจะได้เรียนรู้การแก้อโจทย์ปัญหาเกี่ยวกับอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว น้องๆสามารถทบทวน อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวเพิ่มเติมได้ที่ ⇒⇒ แนะนำอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ⇐⇐
ในการแก้ โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว จะต้องใช้สัญลักษณ์ของอสมการแทนคำเหล่านี้
< แทนความสัมพันธ์น้อยกว่า หรือไม่ถึง
> แทนความสัมพันธ์มากกว่า หรือเกิน
≤ แทนความสัมพันธ์น้อยกว่าหรือเท่ากับ หรือไม่เกิน
≥ แทนความสัมพันธ์มากกว่าหรือเท่ากับ หรือไม่ต่ำกว่า / ไม่น้อยกว่า
≠ แทนความสัมพันธ์ไม่เท่ากับ หรือ ไม่เท่ากัน
เราจะใช้ประโยชน์จากการแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวที่ได้ศึกษามาแล้ว นำมาช่วยแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ขั้นตอนวิธีคล้ายกับการแก้ปัญหาโจทย์สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ดังนี้
- สมมติตัวแปรแทนสิ่งที่โจทย์ถามหรือเกี่ยวข้องกับสิ่งที่โจทย์ถาม
- สร้างอสมการด้วยเงื่อนไขในโจทย์ที่กำหนดให้
- แก้อสมการเพื่อหาคำตอบ
น้องๆ สามารถศึกษาวิธีการแก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ได้จากตัวอย่าง ต่อไปนี้
โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับจำนวน
ตัวอย่างที่ 1 ถ้าสองเท่าของจำนวนเต็มบวก จำนวนหนึ่งมากกว่า 20 อยู่ไม่ถึง 8 จงหาว่าจำนวนๆนั้นเป็นจำนวนใดได้บ้าง
อธิบายเพิ่มเติม : ใช้สัญลักษ์ < แทน ไม่ถึง
วิธีทำ สมมติว่าจำนวนที่ต้องการ คือ x
จากโจทย์จะได้ว่า 2x – 20 < 8
หาคำตอบของอสมการข้างต้นได้ดังนี้
2x – 20 < 8
2x < 8 + 20
2x < 28
x < 14
แต่ 2x จะต้องมากกว่า 20
นั้นคือ x ต้องมากกว่า 10
ดังนั้น คำตอบคือจำนวนเต็มบวกทุกจำนวนที่มากกว่า 10 และน้อยกว่า 14 ซึ่งได้แก่ 11, 12 และ 13
ตัวอย่างที่ 2 จำนวนจำนวนหนึ่งถูกหักไป ¹⁷⁄₁₈ แล้วยังมีค่ามากกว่า ³¹⁄₉ อยากทราบว่าจำนวนจำนวนนั้นเป็น จำนวน ที่น้อยกว่า 4 ได้หรือไม่
วิธีทำ สมมติให้จำนวนนั้นเป็น x
ถูกหักไป ¹⁷⁄₁₈ ยังมีค่ามากกว่า ³¹⁄₉
ดังนั้น x – ¹⁷⁄₁₈ > ³¹⁄₉
x > ³¹⁄₉ + ¹⁷⁄₁₈
x > ⁷⁹⁄₁₈
x >
ดังนั้น จำนวนนั้นจะน้อยกว่า 4 ไม่ได้ จำนวนนั้นต้องมากกว่า
ตัวอย่างที่ 3 สามเท่าของจำนวนจำนวนหนึ่งหักออกเสีย 5 จะมีผลลัพธ์ไม่ถึง 22 จงหาจำนวนจำนวนนั้น
อธิบายเพิ่มเติม : ใช้สัญลักษ์ < แทน ไม่ถึง, หักออก คือการลบ
วิธีทำ ให้จำนวนจำนวนนั้น คือ a
สามเท่าของจำนวนจำนวนหนึ่งหักออกเสีย 5 จะได้ 3a – 5 มีผลลัพธ์ไม่ถึง 22
เขียนเป็นอสมการได้ ดังนี้ 3a – 5 < 22
นำ 5 บวกทั้งสองข้างของอสมการ
จะได้ 3a – 5 + 5 < 22 + 5
3a < 27
นำ ¹⁄₃ คูณทั้งสองข้างของอสมการ
จะได้ 3a x ¹⁄₃ < 27 x ¹⁄₃
a < 9
ตรวจคำตอบ ถ้า a < 9 ให้ a = 8.99 สามเท่าของจำนวนจำนวนหนึ่งหักออกเสีย 5 มีผลลัพธ์ไม่ถึง 22
จะได้ 3(8.99) – 5 < 22
26.97 – 5 < 22
21.97 < 22 เป็นจริง
ดังนั้น จะได้ว่าจำนวนจริงทุกๆ จำนวนที่มีค่าน้อยกว่า 9 จะสอดคล้องกับอสมการ 3a – 5 < 22
โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับผลบวกและผลต่าง
ตัวอย่างที่ 4 สามเท่าของผลต่างระหว่างจำนวนจำนวนหนึ่งกับ 2 มีค่าไม่น้อยกว่า 21 จงหาจำนวนจำนวนนั้น
อธิบายเพิ่มเติม : ใช้สัญลักษ์ ≥ แทน ไม่น้อยกว่า , ผลต่าง คือการลบ
วิธีทำ ให้จำนวนจำนวนนั้น คือ a
สามเท่าของผลต่างระหว่างจำนวนจำนวนหนึ่งกับ 2 จะได้ 3(a – 2) มีค่าไม่น้อยกว่า 21
เขียนเป็นอสมการได้ดังนี้ 3(a – 2) ≥ 21
นำ ¹⁄₃ คูณทั้งสองข้างของอสมการ
จะได้ 3(a – 2) x ¹⁄₃ ≥ 21 x ¹⁄₃
a – 2 ≥ 7
นำ 2 บวกทั้งสองข้างของอสมการ
จะได้ a – 2 + 2 ≥ 7 + 2
a ≥ 9
ตรวจคำตอบ ถ้า a ≥ 9 ให้ a = 9.01 สามเท่าของผลต่างระหว่างจำนวนจำนวนหนึ่งกับ 2 มีค่าไม่น้อยกว่า 21
จะได้ 3(9.01 – 2) ≥ 21
3(7.01) ≥ 21
21.03 ≥ 21 เป็นจริง
ดังนั้น จะได้ว่าจำนวนจริงทุกๆ จำนวนที่มีค่ามากกว่าหรือเท่ากับ 9 จะสอดคล้องกับอสมการ 3(a – 2) ≥ 21
ตัวอย่างที่ 5 ผลบวกของจำนวนเต็มสามจำนวนเรียงกัน มีค่าไม่ถึง 96 จงหาจำนวนเต็มสามจำนวนที่มากที่สุดที่เรียงต่อกัน
อธิบายเพิ่มเติม : ใช้สัญลักษ์ < แทน ไม่ถึง
วิธีทำ สมมุติให้จำนวนเต็มน้อยที่สุดเป็น x
จำนวนเต็มสามจำนวนเรียงต่อกัน x, x + 1, x + 2
แต่ผลบวกของจำนวนเต็มที่เรียงต่อกันมีค่าไม่ถึง 96
ประโยคสัญลักษณ์ x + (x + 1) + (x + 2) < 96
x + x + 1 + x + 2 < 96
3x + 3 < 96
3x + 3 – 3 < 96 –3
3x < 93
3x (¹⁄₃) < 93 (¹⁄₃)
x < 31
เนื่องจากจำนวนเต็มที่น้อยกว่า 31 คือ 30
จะได้ x ที่น้อยกว่า 31 คือ 30 ดังนั้น จำนวนถัดไปคือ 31 และ 32
ดังนั้น จำนวนเต็มสามจำนวนที่มีค่ามากที่สุดเรียงต่อกัน แล้วผลบวกทั้งสามจำนวน ไม่ถึง 96 คือ 30, 31 และ 32
โจทย์ปัญหาในชีวิตประจำวัน
ตัวอย่างที่ 6 ดาลินซื้อน้ำขวดมาขาย 200 ขวด เป็นเงิน 1,200 บาท ขายน้ำขวดเล็กราคาขวดละ 5 บาท ขายน้ำขวดกลางราคาขวดละ 8 บาท เมื่อขายหมดได้กำไรมากกว่า 250 บาท อยากทราบว่า ดาลินซื้อน้ำขวดเล็กมาขายอย่างมากที่สุดกี่ขวด
วิธีทำ ให้ ดาลินซื้อน้ำขวดเล็กมาขาย x ขวด
จะได้ว่า ดาลินซื้อน้ำขวดกลางมาขาย 200 – x ขวด
ขายน้ำขวดเล็กได้เงิน 5x บาท
ขายน้ำขวดกลางได้เงิน 8(200 – x) บาท
ขายน้ำทั้งหมดได้กำไรมากกว่า 250 บาท
ราคาขาย – ต้นทุน = กำไร
ประโยคสัญลักษณ์ 5x + 8(200 – x) – 1,200 > 250
5x + 1,600 – 8x – 1,200 > 250
–3x + 400 > 250
–3x > 250 – 400
–3x > –150
(คูณด้วยจำนวนลบสัญลักษณ์อสมการเปลี่ยนเป็นสัญลักษณ์ตรงกันข้าม > เปลี่ยนเป็น <)
–3x (-¹⁄₃) < –150 (-¹⁄₃)
x < 50
ดังนั้น ดาลินซื้อน้ำขวดเล็กมาขายอย่างมากที่สุด 49 ขวด
ตัวอย่างที่ 7 ลลิตามีเหรียญบาทและเหรียญห้าบาทอยู่ในกระป๋องออมสินจำนวนหนึ่ง เมื่อเหรียญเต็มกระป๋อง เขาเทออกมานับพบว่า มีเหรียญบาทมากกว่าเหรียญห้าบาท 12 เหรียญ นับเป็นจำนวนเงินไม่น้อยกว่า 300 บาท หาว่ามีเหรียญห้าบาทอยู่อย่างน้อยกี่เหรียญ
อธิบายเพิ่มเติม : ใช้สัญลักษ์ ≥ แทน ไม่น้อยกว่า
วิธีทำ เนื่องจากโจทย์พูดถึงจำนวนเงิน ดังนั้น เราต้องคำนึงถึงจำนวนเงิน
สมมุติให้มีเหรียญห้าบาทอยู่จำนวน x เหรียญ คิดเป็นเงิน 5x บาท
มีเหรียญบาทมากกว่าเหรียญห้าบาทอยู่ 12 เหรียญ คือ x + 12 เหรียญ
คิดเป็นเงิน x + 12 บาท
นับเป็นจำนวนเงินไม่น้อยกว่า 300 บาท
ประโยคสัญลักษณ์ 5x + (x + 12) ≥ 300
5x + x + 12 ≥ 300
5x + x + 12 – 12 ≥ 300 – 12
6x ≥ 288
6x ( ¹⁄₆) ≥ 288 ( ¹⁄₆)
x ≥ 48
ดังนั้น ลลิตามีเหรียญห้าบาทอยู่อย่างน้อย 48 เหรียญ
ตัวอย่างที่ 8 น้ำหนึ่งอ่านหนังสือเล่มหนึ่ง วันแรกอ่านได้ 40% ของเล่ม วันต่อมาอ่านได้อีก 25 หน้า รวมสองวันอ่านหนังสือได้มากกว่าครึ่งเล่ม จงหาว่าหนังสือเล่มนี้มีจำนวนไม่เกินกี่หน้า
อธิบายเพิ่มเติม : ใช้สัญลักษ์ < แทน ไม่เกิน
วิธีทำ สมมุติให้หนังสือเล่มนี้มีจำนวน x หน้า
วันแรกอ่านได้ 40% ของเล่ม คิดเป็น หน้า
หนังสือครึ่งเล่ม คิดเป็น หน้า
ประโยคสัญลักษณ์ + 25 >
+ 25 – 25 >
– 25
>
– 25
–
> – 25
–
x
> – 25
–
> – 25
> – 25
(คูณด้วยจำนวนลบสัญลักษณ์อสมการเปลี่ยนเป็นสัญลักษณ์ตรงกันข้าม > เปลี่ยนเป็น <)
(-10) < – 25 (-10)
x < 250
ดังนั้น หนังสือเล่มนี้มีจำนวนไม่เกิน 250 หน้า
เมื่อน้องๆเรียนรู้เรื่องการเแก้ โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว จะทำให้น้องๆสามารถวิเคราะห์โจทย์ และแปลงให้อยู่ในรูปของอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว และแก้อสมการได้อย่างถูกต้อง โดยสามารถนำความรู้ที่ได้จากการเรียนเรื่องอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว มาประยุกต์ใช้กับการแก้โจทย์ปัญหาอสมการได้
วิดีโอ โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
คลิปวิดีโอนี้ได้รวบรวม วิธีการแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ซึ่งเป็นคลิปสั้นๆ ที่สามารถเข้าใจได้ง่าย แฝงไปด้วยสาระความรู้ และเทคนิค ที่จะทำให้น้องๆมองวิชาคณิตศาสตร์เป็นเรื่องง่าย
