ลำดับเลขคณิต

ลำดับเลขคณิต

สารบัญ

Add LINE friends for one click to find article. Add LINE friends for one click to find article.

ลำดับเลขคณิต

ลำดับเลขคณิต คือลำดับที่มีค่าเพิ่มขึ้นหรือลดลงอย่างคงที่ โดยจำนวนที่เพิ่มขึ้นหรือลดลงนี้เราเรียกว่าผลต่างร่วม แทนด้วยสัญลักษณ์ d  โดยที่ d = พจน์ขวา – พจน์ซ้าย

การเขียนลำดับเราจะเขียนแทนด้วย  ลำดับเลขคณิต  โดยที่ a_n คือพจน์ทั่วไปหรือเรียกอีกอย่างว่า พจน์สุดท้ายนั่นเอง

 

การหาพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิต

พจน์ที่1 \rightarrow n = 1      ;       a_{1}=a_{1}

พจน์ที่2 \rightarrow n = 2     ;       a_{2}=a_{1}+d

พจน์ที่3 \rightarrow n = 3     ;       a_{3}=a_{2}+d+d =a_{2}+2d

                                              =a_{1}+d+d

.                                              =a_{1}+2d

พจน์ที่ n \rightarrow n = n     ;      a_{n}=a_{n-1}+d

ลำดับเลขคณิต

ดังนั้น  สูตรในการหาพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิต

ลำดับเลขคณิต

 

วิธีการแก้โจทย์ปัญหาที่เกี่ยวกับลำดับเลขคณิต

  1. ต้องรู้ว่าโจทย์ถามหาอะไร จากนั้นเขียนสิ่งที่โจทย์ต้องการไว้ เช่น โจทย์ต้องการหาพจน์ที่ 5 เราจะเขียน a_5=a_1+4d จากนั้นเราก็จะรู้แล้วว่าเราต้องหาอะไรเพื่อให้สมการมันสมบูรณ์และได้คำตอบที่ต้องการ
  2. ดูว่าโจทย์ให้อะไรมาบ้าง โจทย์บางโจทย์อาจจะไม่ให้มาแบบตรงๆ เช่น 1, 3, 5,7,… สิ่งที่โจทย์ให้มาคือ a_1 และ d จะเห็นว่าโจทย์ไม่ได้ให้ d มาตรงๆแต่เราต้องสังเกตเอง
  3. ใช้สิ่งที่โจทย์มา ในการหาสิ่งที่เราต้องการในข้อ 1.

จากข้อ 1-3 ถ้าทำครบตามนี้เราก็จะได้คำตอบตามต้องการแล้ว ทั้งนี้ต้องอาศัยการสังเกต และการฝึกทำบ่อยๆให้ชินด้วย

 

ตัวอย่างลำดับเลขคณิต

โจทย์ลำดับเลขคณิตนั้น สามารถพลิกแพลงได้เยอะมาก ไม่ว่าจะเป็น หาพจน์ที่ n หาว่าค่าที่กำหนดให้นั้นคือพจน์ที่เท่าไหร่ และอีกมากมาย เราไปดูตัวอย่างกันเลย

1. จงหาพจน์ทั่วไป (a_{n}) ของ 5, 7, 9, 11, …

จากโจทย์ \inline a_{1}=5         \inline d=7-5=2

จากสูตร a_{n}=a_{1}+(n-1)d

จะได้ a_{n}=5+(n-1)(2)

                =5+2n-2

                =3+2n

ดังนั้น a_{n}=3+2n

2. ให้ a และ b เป็นจำนวนจริงบวก ถ้า a, 10, b, 20, … เป็นลำดับเลขคณิตจงหาพจน์ที่ 10 , a และ b

จากสูตร a_{n}=a_{1}+(n-1)d

10=a_{1}+d       \cdots (1)

20=a_{1}+3d       \cdots (2)

(2) – (1) : 10=2d

d=5

แทน \inline d=5 ใน (1) : \inline 10=a_{1}+5

\inline a_{1}=5

\therefore a=5 และ b=5+2(5)=15

ดังนั้น a_{10}=5+9(5)

                  =50

3. ถ้าพจน์ที่ 5 และพจน์ที่ 10 ของลำดับเลขคณิตเป็น 14 และ 29 ตามลำดับ แล้วพจน์ที่ 99 เท่ากับเท่าใด

จากสูตร a_{n}=a_{1}+(n-1)d

พจน์ที่ 5 จะได้ว่า  \inline a_{5}=14=a_{1}+4d       \cdots (1)

พจน์ที่ 10 จะได้ว่า  \inline a_{10}=29=a_{1}+9d       \cdots (2)

(2) – (1) : 15=5d

d=3

แทน \inline d=3 ใน (1) : \inline 14=a_{1}+4(3)

\inline a_{1}=14-12=5

\therefore a_{1}=2 และ \inline d=3

พจน์ที่ 99

a_{99}=a_{1}+98(d)

=2+98(3)

=296

4. ลำดับ -24, -15, -6, 3, 12, 21, … , 1776 มีกี่พจน์ (O-net 54)

จากโจทย์ d=-15-(-24)=9 และ a_{1}=-24

“พจน์สุดท้าย (พจน์ที่ n ) มีค่าเท่ากับ 1776”

หา n โดยที่ a_{n}=1776

1776=-24+(n-1)(9)

1776=-24+9n-9

1776+33=9n

n=\frac{1809}{9}=201

ดังนั้น ลำดับดังกล่าวมี 201 พจน์

5. พจน์ที่ 60 ของลำดับเลขคณิต x + 2 , 2x – 5, 2x + 2, …เท่ากับเท่าไหร่

จากโจทย์สิ่งที่ต้องการหาคือ a_{60}

สื่งที่โจทย์ให้มาคือ พจน์แรก และ

สิ่งแรกที่ต้องทำคือหา x โดยใช้สูตรลำดับเลขคณิต

จาก d = พจน์ซ้าย – พจน์ขวา

d = 2x – 5 – (x + 2) = 2x + 2 – (2x – 5)

x – 7 = 7

x = 14

เมื่อนำค่า x ที่หาได้ไปแทน จะได้ลำดับเลขคณิต ดังนี้ 16, 23, 30,…

จากลำดับข้างต้นจะได้ d = 23 – 16 = 7

หา พจน์ที่ 60

a_{60}=16+59(7)=16+413=429

ดังนั้น พจน์ที่ 60 เท่ากับ 429

6. ลำดับเลขคณิต 4 จำนวนที่อยู่กลางระหว่าง 4 กับ 49 คือจำนวนใดบ้าง

ลองเขียนอนุกรมจะได้ 4, a, b, c, d, 49

จากโจทย์สิ่งที่เรารู้คือ พจน์แรก และพจน์สุดท้าย ดังนั้นเราามารถหา d จากพจน์สุดท้ายได้ โดยใช้สูตรลำดับเลขคณิต

ได้เป็น 

49 = 4 + 5d (เนื่องจาก 49 คือพจน์ที่ 6 ดังนั้น n -1 = 5)

45 = 5d

d = 9

เขียนเป็นลำดับเลขคณิตได้เป็น 4, 13, 22, 31, 40, 49

ดังนั้น 4 พจน์ที่อยู่กลางระหว่าง 4 กับ 29 คือ 13, 22, 31, 40 ตามลำดับ

 

ตัวอย่างโจทย์ปัญหาเกี่ยวกับ ลำดับเลขคณิต

1.) แป้งกู้เงินมาจำนวนหนึ่ง โดยจ่ายเงินเดือนแรก 200 บาท และเดือนถัดไปแป้งต้องจ่ายเพิ่มทุกเดือนเดือนละ 50 บาท หลังจากชำระหมดพบว่าเดือนสุดท้ายแป้งจ่ายเงินไป 950 บาท แป้งจ่ายเงินไปทั้งสิ้นกี่เดือน

วิธีทำ

1. หาว่าโจทย์ต้องการอะไร

จะเห็นว่า โจทย์ถามว่าจ่ายเงินไปกี่เดือน นั่นก็คือหาจำนวนเดือน หรือ หา n นั่นเอง

เราจะหา n ได้จากสูตร ลำดับเลขคณิต ดังนั้นเราต้องหา a_n,a_1 และ d

2. ดูว่าโจทย์ให้อะไรมาบ้าง

จากโจทย์ สามารถเขียนได้เป็น 200, 250, 300,…, 950

จะเห็นว่า โจทย์ให้ a_1=200 , d = 50 และ a_n=950

3. นำข้อ 2 ไปเติมในสูตรที่เราเขียนไว้ จะได้ว่า

a_n=a_1+(n-1)d

950=200+(n-1)(50)

950=200+50n – 50

950 = 150 + 50n

800 = 50n

n      =  16

ดังนั้น แป้งจ่ายเงินไปทั้งหมด 16 เดือน

 

2.) แป้งมีเงินในเก็บ 20 บาท และจะเก็บเพิ่มทุกวันวันละ 3 บาท ปริมมีเงินในธนาคาร 300 บาท และจะฝากเงินเพิ่มวันละ 20 บาททุกวัน ในวันที่ แป้งมีเงินในกระปุก 44 บาท ปริมจะมีเงินในธนาคารกี่บาท

วิธีทำ 1. โจทย์ต้องการหา จำนวนเงินของปริมในวันที่(n)แป้งมีเงิน 44 บาท นั่นคือ เราต้องหาจำนวนวันที่แป้งมีเงิน 44 บาท (หา n) จากนั้น หาว่าปริมมีเงินเท่าไหร่ในวันที่ n

2. สิ่งที่โจทย์ให้มา

20, 23, 26, …, 44 (การเก็บเงินของแป้ง) d = 3

300, 320,340, … (การเก็บเงินในธนาคารของปริม) d = 20

3. นำข้อมูลจากข้อ 2 มาแก้โจทย์

หาว่า วันที่แป้งมีเงิน 44 บาท คือวันที่เท่าไหร่

44=20+(n-1)(3) (สูตรลำดับเลขคณิต)

44=20+3n -3

44=17 + 3n

27 = 3n

n = 9

ดังนั้น วันที่ 9 แป้งมีเงินเก็บ 44 บาท

จากนั้นเราจะหาว่า วันที่ 9 ปริมมีเงินเก็บเท่าไหร่โดยใช้สูตรลำดับเลขคณิต

a_9=300+(8-1)(20)

a_9=300+7(20)=300+140=440

ดังนั้นวันที่แป้งมีเงินเก็บ 44 บาท ปริมจะมีเงินทั้งหมด 440 บาท

 

 

 

วิดีโอเพิ่มเติมเกี่ยวกับลำดับเลขคณิต

NockAcademy คือโรงเรียนออนไลน์สำหรับเด็ก โดยแอปฯ และเว็บไซต์ นักเรียนสามารถเรียนรู้ผ่านคลิปบทเรียนวิชา คณิตศาสตร์ ภาษาอังกฤษ และภาษาไทย
มากไปกว่านั้น เรายังมีคอร์สเรียนออนไลน์ การสอนพิเศษ การติวนอกสถานที่โดยติวเตอร์ที่แน่นไปด้วยความรู้ อีกด้วย

Add LINE friends for one click to find article. Add LINE friends for one click to find article.
ครูผู้สอน NockAcademy

แค่ 10 นาที ก็เข้าใจได้

สามารถดูคลิปบทเรียนวิชา คณิตศาสตร์ ภาษาอังกฤษ และภาษาไทย ที่มีมากกว่า 2,000+ คลิป และยังสามารถทำแบบทดสอบที่มีมากกว่า 4000+ ข้อ

แนะนำ

แชร์

รอบรู้เรื่องคำไทย คำศัพท์คำไหนภาษาไทยยืมมาจากต่างประเทศ

บทนำ สวัสดีน้อง ๆ ที่น่ารักทุกคน กลับมาพบกับบทเรียนภาษาไทยสนุก ๆ พร้อมสาระความรู้ดี ๆ ซึ่งวันก็เช่นเคยเราจะมาเข้าสู่เนื้อหาการเรียนรู้เกี่ยวกับเรื่องคำภาษาต่างประเทศที่ใช้ในภาษาไทย ซึ่งเป็นเรื่องที่สำคัญมาก ๆ เพราะภาษาไทยที่เราใช้กันในปัจจุบันก็มีที่มาจากการยืมคำจากภาษาต่างประเทศมา และไม่ได้มีการยืมแค่ในภาษาบาลีหรือสันสกฤษเท่านั้น แต่ยัลมีภาษาอื่น ๆ อีก เพราะฉะนั้นวันนี้เราจะพาน้อง ๆ ทุกคนมาทำความรู้จักกับคำจากภาษาต่างประเทศที่เราใช่ในภาษาไทยกันให้ลึกขึ้นอีกระดับหนึ่ง ถ้าพร้อมแล้วก็ไปเริ่มเรียนกันได้เลย     สาเหตุการยืมของภาษาไทย มาเริ่มกันที่จุดเริ่มต้น หรือสาเหตุที่ทำไมคนไทยจึงต้องหยิบยืมคำจากภาษาต่างประเทศมาใช้

ตัวอย่างโจทย์ปัญหา + – × ÷ เศษส่วนและจำนวนคละ

หัวใจสำคัญของการทำโจทย์ปัญหาก็คือการวิเคราะห์ประโยคที่เป็นตัวหนังสือออกมาเป็นสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์หรือเรียกสั้นๆว่า “การตีโจทย์”ถ้าเราวิเคราะห์ถูกต้องเราก็สามารถแสดงวิธีคิดได้ออกมาอย่างถูกต้องคำตอบที่ได้ก็จะถูกต้องตามมาด้วย ดังนั้นสิ่งที่น้อง ๆจะได้รับจากบทความนี้คือการฝึกวิเคราะห์โจทย์ปัญหาและการแสดงวิธีทำ รับรองว่าถ้าอ่านบทความนี้แล้วนำไปใช้จะได้คำตอบที่ถูกทุกข้ออย่างแน่นอน

อัตราส่วนของจำนวนหลายๆ จำนวน

อัตราส่วนของจำนวนหลายๆ จำนวน

ในบทความนี้เราจะได้เรียนรู้หลักการเขียนอัตราส่วนแทนการเปรียบเทียบปริมาณของสิ่งต่างๆที่มากกว่า 2 สิ่งขึ้นไปได้ โดยใช้ความรู้เกี่ยวกับอัตราส่วนของจํานวนหลายๆจํานวนในการแก้ปัญหาหรือสถานการณ์ต่าง ๆได้

มัทนะพาธา

บทละครพูดคำฉันท์เรื่อง มัทนะพาธา ที่มาและเรื่องย่อ

บทละครพูดคำฉันท์เรื่อง มัทนะพาธา เป็นวรรณคดีที่ทรงคุณค่าทางวรรณศิลป์ได้รับการยกย่องว่าแต่งดีและมีความแปลกใหม่อีกเรื่องหนึ่ง น้อง ๆ หลายคนอาจจะเคยคุ้นหูกันมาบ้างตามสื่อต่าง ๆ เพราะวรรณคดีเรื่องนี้เป็นหนึ่งในเรื่องที่โด่งดังจึงมักถูกหยิบไปทำเป็นละครทางโทรทัศน์บ่อย ๆ แต่จะมีความเป็นมาอย่างไรนั้น วันนี้เราจะไปศึกษาเรื่องนี้พร้อมกันเลยค่ะ   ประวัติความเป็นมาของบทละครพูดคำฉันท์เรื่อง มัทนะพาธา     มัทนะพาธาเป็นบทละครพูดคำฉันท์ พระราชนิพนธ์ในพระบาทสมเด็จเพราะมงกุฎเกล้าเจ้าอยู่หัว รัชกาลที่ 6 ทรงมีพระราชกุศลเพื่อสร้าง ตำนานแห่งดอกกุหลาบ จึงทรงผูกเรื่องขึ้นมาใหม่หมด ทรงให้ความสำคัญเรื่องความถูกต้อง และความสมจริงในรายละเอียดของเรื่อง

NokAcademy_ม2การใช้ Wh-questions กับ Past Simple Tense

การใช้ Wh-questions กับ Past Simple Tense

สวัสดีค่ะนักเรียนชั้นม.2 ทุกคน วันนี้ครูจะพาไปตะลุย ” การใช้ Wh-questions ร่วมกับ Past Simple Tense” กันนะคะ หากพร้อมแล้วก็ไปลุยกันเลยจร้า   Wh-Questions คืออะไร      เมื่อต้องถามคำถามอะไรก็ตามที่ไม่ต้องการคำตอบ Yes หรือ No แบบตรงประเด็น เราจะเรียกคำถามประเภทนี้ว่า Question  word

โลโก้ NockAcademy

ทดลองฟรี!

เข้าใจได้ทันที NockAcademy ไลฟ์สดอันดับ 1 

โลโก้ NockAcademy

ทดลองฟรี!

เข้าใจได้ทันที NockAcademy ไลฟ์สดอันดับ 1