ลำดับเรขาคณิต

supanaree

คณิตศาสรตร์, ม.6, ลำดับและอนุกรม

Add LINE friends for one click to find article.

ลำดับเรขาคณิต

ลำดับเรขาคณิต คือ ลำดับที่มีจำนวนเพิ่มขึ้นหรือลดลงอย่างคงที่เป็นจำนวนเท่า ซึ่งจำนวนที่เพิ่มขึ้นหรือลดลงนั้นเรียกว่า อัตราส่วนร่วม เขียนแทนด้วย r

โดยที่ r = พจน์ขวาหารด้วยพจน์ซ้าย

การเขียนลำดับเราจะเขียนแทนด้วย $ลำดับเลขคณิต$ โดยที่ $a_n$ คือพจน์ทั่วไปหรือเรียกอีกอย่างว่า พจน์สุดท้ายนั่นเอง

ตัวอย่างของลำดับเรขาคณิต

2, 4, 8, 16, 32, …

จะได้ว่า อัตราส่วน $a_{2}$ ต่อ $a_{1}=\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{4}{2}=2$

อัตราส่วน $a_{3}$ ต่อ $a_{2}=\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{8}{4}=2$

$\therefore2$ คือ อัตราส่วนร่วมของลำดับเรขาคณิตข้างต้น

พจน์ทั่วไปของลำดับเรขาคณิต

การหาพจน์ทั่วไป ก็คือการหาค่าของพจน์สุดท้ายหรือ $a_n$ นั่นเอง

ทำไมเราถึงต้องรู้วิธีหาพจน์ทั่วไปล่ะ??? เพราะว่าถ้าน้องๆรู้พจน์ทั่วไปแล้ว น้องอยากได้ค่าของพจน์ไหนน้องก็สามารถแทน n เข้าไปได้เลยนั่นเอง

พิจารณา พจน์ที่1 : $n=1\rightarrow a_{1}=a_{1}$

พจน์ที่2 : $n=2\rightarrow a_{2}=a_{1}r$

พจน์ที่3 : $n=3\rightarrow a_{3}=a_{2}r=a_{1}r^{2}$

$\vdots$

พจน์ที่n $\rightarrow a_{n}=a_{n-1}r$

$ลำดับเรขาคณิต$

ดังนั้น พจน์ทั่วไปของลำดับเรขาคณิตคือ

$a_{n}=a_{1}r^{n-1}$

ถ้า r = 1 จะได้ว่า $a_n=a_1$ นั่นคือ ทุกพจน์ของลำดับจะมีค่าเท่ากัน เราจะเรียกลำดับนี้ว่า ลำดับคงตัว

เช่น ลำดับของ 2, 2, 2, 2, …, 2

วิธีการแก้โจทย์ปัญหาที่เกี่ยวกับลำดับเรขาคณิต

ต้องรู้ว่าโจทย์ถามหาอะไร จากนั้นเขียนสิ่งที่โจทย์ต้องการไว้ เช่น โจทย์ต้องการหาพจน์ที่ 5 เราจะเขียน $a_5=a_1r^{(n-1)}$ จากนั้นเราก็จะรู้แล้วว่าเราต้องหาอะไรเพื่อให้สมการมันสมบูรณ์และได้คำตอบที่ต้องการ
ดูว่าโจทย์ให้อะไรมาบ้าง โจทย์บางโจทย์อาจจะไม่ให้มาแบบตรงๆ เช่น 1, 3, 5,7,… สิ่งที่โจทย์ให้มาคือ $a_1$ และ r จะเห็นว่าโจทย์ไม่ได้ให้ r มาตรงๆแต่เราต้องสังเกตเอง
ใช้สิ่งที่โจทย์มา ในการหาสิ่งที่เราต้องการในข้อ 1.

จากข้อ 1-3 ถ้าทำครบตามนี้เราก็จะได้คำตอบตามต้องการแล้ว ทั้งนี้ต้องอาศัยการสังเกต และการฝึกทำบ่อยๆให้ชินด้วย

เราลองมาดูโจทย์เกี่ยวกับลำดับเรขาคณิตกันค่ะ

ตัวอย่างโจทย์เกี่ยวกับลำดับเรขาคณิต

1) หาพจน์ที่ 20 ของ 1, 4, 16, …

วิธีทำ

โจทย์ต้องการพจน์ที่ 20 นั่นคือ $a_{20}=a_1r^{19}$

จากโจทย์ สิ่งที่โจทย์ให้มาคือ $a_{1}=1$ และ อัตราส่วนร่วม $r=\frac{4}{1}=4$

ดังนั้นจะได้

$a_{20}=a_{1}r^{19}=1(4)^{19}=4^{19}$

2) ลำดับเรขาคณิตมี $a_{1}=\frac{1}{4}$ , $a_{7}=8$ จงหา $a_{13}$

วิธีทำ โจทย์ต้องการหา $a_{13}=a_1r^{12}$

สิ่งที่โจทย์ให้มาคือ $a_1$ และ $a_7$

จะได้ว่า

$a_{7}=a_{1}r^{6}=8$

$\frac{1}{4}(r^{6})=8$

$r^{6} = 32$

$r=\sqrt[6]{32}$

จากที่เราได้ r มาแล้ว เราสามารถหาพจน์ที่ 13 ได้แล้ว จะได้ว่า

$a_{12}=a_{1}r^{12}$

. $=\frac{1}{4}(\sqrt[6]{32})^{12}$

. $=\frac{1}{4}(32)(32)$

. =8(32)

. = 256

ดังนั้น $a_{13} = 256$

3) ให้ลำดับเรขาคณิตชุดหนึ่งมีอัตราส่วนร่วมเป็น -2 ถ้า $a_{4}=4$ แล้ว $a_{1}$ มีค่าเท่าใด

วิธีทำ

จากโจทย์ r = -2 และ

$a_{4}=4=a_{1}(-2)^{3}$

$4=a_{1}(-8)$

$a_{1}=-\frac{1}{2}$

4) ลำดับ 2, 10, 50, … , 1250 มีกี่พจน์

วิธีทำ โจทย์ต้องการทราบว่ามีกี่พจน์ นั่นคือ ต้องการทราบค่า n

สิ่งที่โจทย์ให้มา

จากโจทย์ $\inline a_{1}=2$ และ $r = \frac{10}{2} = 5$

หา n โดยที่ $a_{n}=1250=a_{1}r^{n-1}$

$1250=2(n)^{n-1}$

$5^{n-1}=625$

$5^{n-1}=5^{4}$

$\therefore n-1=4\rightarrow n=5$

ดังนั้น ลำดับข้างต้นมี 5 พจน์

5.) กำหนดให้ 32, x, y, 4 เป็นลำดับเรขาคณิต จงหาค่า x + y

วิธีทำ จากโจทย์ สิ่งที่โจทย์ให้มาคือค่าของพจน์ที่ 1 กับพจน์ที่ 4 หรือพจน์สุดท้ายนั่นเอง

การที่เราจะหาค่า x และ y ได้นั้น เราต้องหาค่า r หรืออัตราส่วนร่วม และค่าของพจน์ที่ 1 ซึ่งโจทย์ให้มาอยู่แล้ว

ดังนั้นเราจะหา r จากพจน์สุดท้าย จะได้ว่า

$4=32r^3$

$r^3= \frac{4}{32}$

$r^3=\frac{1}{8}$

$r=\frac{1}{2}$

หลังจากที่เราได้ค่า r มาแล้วเราจะสามารถหาพจน์ที่ 2และ 3 ได้แล้ว

นั่นคือ x = $32(\frac{1}{2})=16$ และ y = $16(\frac{1}{2})=8$

โจทย์ต้องการ x + y ดังนั้น จะได้ x + y = 16 + 8 = 24

6.) ให้ sinθ, tanθ, tanθ·secθ, … เป็นลำดับเรขาคณิต แล้วพจน์ที่ 10 ของลำดับเรขาคณิตนี้เท่ากับเท่าใด

วิธีทำ สิ่งที่โจทย์ต้องการคือ $a_{10}=a_1r^9$

สิ่งที่โจทย์ให้มาคือ $a_1=\mathrm{sin\theta }$ และ $r={\frac{tan\theta}{sin\theta }=\frac{\frac{sin\theta}{cos\theta}}{sin\theta}= \frac{1}{cos\theta}=sec\theta}$

หาพจน์ที่ 10

$a_{10}=sin\theta sec^9\theta$

ตัวอย่างลำดับเรขาคณิต ในรูปของโจทย์ปัญหา

1.) เด็ก 3 คน มีอายุ 1, 5, 13 ปี จงหาว่าอีกกี่ปี อายุของเด็กทั้งสามจะเรียงกันเป็นลำดับเรขาคณิต

วิธีทำ

ให้ x แทนจำนวนปีที่จะทำให้อายุของเด็กทั้งสามเรียงกันเป็นลำดับเรขาคณิต

จะได้ว่า 1+x, 5+x, 13+x เป็นลำดับเรขาคณิต

หา x

จากที่เรารู้ว่า r คือ พจน์ขวาหารด้วยพจน์ซ้าย และเป็นค่าคงที่ จะได้ว่า

$\frac{5+x}{1+x}=\frac{13+x}{5+x}$

(5+x)² = (1+x)(13+x)

25+10x+x² = 13 + 14x + x²

4x = 12

x = 3

ดังนั้น อีก 3 ปี เด็กสามคนจะมีอายุเรียงกันเป็นลำดับเรขาคณิต

2.) ถังใบหนึ่งบรรจุน้ำมัน 240 ลิตร ตักน้ำมันออก $\frac{1}{4}$ ลิตรของปริมาณน้ำมันที่เหลืออยู่ อยากทราบว่าถ้าตักครบ 6 ครั้งแล้วจะเหลือน้ำมันกี่ลิตร

วิธีทำ โจทย์ถามน้ำมันที่เหลืออยู่ดังนั้น ถ้าตักออก $\frac{1}{4}$ ก็จะเหลือน้ำมัน $\frac{3}{4}$ ของน้ำมันที่เหลืออยู่ก่อนหน้า นั่นคือ

เดิมมีน้ำมัน 240 ลิตร

ตักออกครั้งที่1 เหลือน้ำมัน $240(\frac{3}{4})$

ตักออกครั้งที่ 2 เหลือน้ำมัน $240(\frac{3}{4})^{2}$

ตักออกครั้งที่3 เหลือน้ำมัน $240(\frac{3}{4})^{3}$

นำมาเขียนเป็นลำดับเรขาคณิตได้ดังนี้

240, $240(\frac{3}{4})$ , $240(\frac{3}{4})^{2}$ , $240(\frac{3}{4})^{3}$ , …

จากลำดับจะเห็นว่า $a_1=240$ และ $r=\frac{3}{4}$

ดังนั้นถ้าตักออก6 ครั้งก็คือ หา $a_7$

$a_7=240(\frac{3}{4})^6$

3.) ลูกบอลตกจากที่สูง 30 ฟุต ถ้าทุกครั้งที่ลูกบอลตกกระทบพื้นจะกระดอนขึ้นไป $\frac{4}{5}$ ของระยะทางที่ลูกบอลตกลงมา จงหาความสูงของลูกบอลจากพื้นเมื่อลูกบอลตกกระทบพื้นครั้งที่ 5

วิธีทำ จากโจทย์

ความสูงของบอลตอนยังไม่ตก คือ 30 ฟุต

ความสูงเมื่อลูกบอลกระทบพื้นครั้งที่1 คือ 30( $\frac{4}{5}$ ) ฟุต

ความสูงเมื่อลูกบอลกระทบพื้นครั้งที่2 คือ 30( $\frac{4}{5}$ )² ฟุต

ความสูงเมื่อลูกบอลกระทบพื้นครั้งที่3 คือ 30( $\frac{4}{5}$ )³ ฟุต

เขียนเป็นลำดับเรขาคณิตได้ดังนี้

30, 30( $\frac{4}{5}$ ), 30( $\frac{4}{5}$ )², 30( $\frac{4}{5}$ )³, …

จะได้ว่า $a_1 = 30$ และ $r=\frac{4}{5}$

จากโจทย์ต้องการความสูงเมื่อลูกบอลกระทบพื้นครั้งที่ 5 นั่นคือ หา $a_6$

หา $a_6$ จากสิ่งที่โจทย์ให้มาและสูตรลำดับเรขาคณิต จะได้

$a_6=30(\frac{4}{5})^5=30(\frac{1024}{3125})=\frac{30720}{3125}\approx 9.83$

ดังนั้น ความสูงของลูกบอลเมื่อลูกบอลกระทบพื้นครั้งที่ 5 มีคา่ประมาณ 9.83 ฟุต

วิดีโอเพิ่มเติมเกี่ยวกับ ลำดับเรขาคณิต

NockAcademy คือโรงเรียนออนไลน์สำหรับเด็ก โดยแอปฯ และเว็บไซต์ นักเรียนสามารถเรียนรู้ผ่านคลิปบทเรียนวิชา คณิตศาสตร์ ภาษาอังกฤษ และภาษาไทย
มากไปกว่านั้น เรายังมีคอร์สเรียนออนไลน์ การสอนพิเศษ การติวนอกสถานที่โดยติวเตอร์ที่แน่นไปด้วยความรู้ อีกด้วย

แค่ 10 นาที ก็เข้าใจได้

สามารถดูคลิปบทเรียนวิชา คณิตศาสตร์ ภาษาอังกฤษ และภาษาไทย ที่มีมากกว่า 2,000+ คลิป และยังสามารถทำแบบทดสอบที่มีมากกว่า 4000+ ข้อ

แนะนำ

แชร์

Short question and Short answer

สวัสดีค่ะนักเรียนชั้นม.2 ทุกคน วันนี้ครูจะพาไปตะลุยตัวอย่างและวิธีการแต่งประโยคคำถาม ของเรื่อง “Short question and Short answer“ การถามตอบคำถามแบบสั้น หากพร้อมแล้วก็ไปลุยกันเลยจร้า ความหมาย Short question and Sho rt answer คือการถามตอบแบบสั้นหรือส่วนใหญ่แล้วมักขึ้นต้นคำถามด้วยกริยาช่วย และได้คำตอบขนาดสั้น เช่น Yes, I

การเขียนคำอวยพร เขียนอย่างไรให้เหมาะสมกับผู้รับ

วัฒนธรรมเป็นส่วนหนึ่งของสังคม และภาษาก็เป็นส่วนหนึ่งของวัฒนธรรม คนเราทุกคนต่างต้องการในสิ่งดีงาม เมื่อถึงโอกาสสำคัญอย่างวันเกิด วันแต่งงาน วันขึ้นบ้านใหม่ จึงต้องการคำอวยพรที่สร้างกำลังใจ และเป็นสิริมงคลแก่ตัวเอง คำอวยพรจึงเป็นเหมือนสิ่งสะท้อนวัฒนธรรม ที่คนใช้สื่อสาร ถ่ายทอดเพื่อมอบสิ่งดี ๆ ให้แก่กัน บทเรียนในวันนี้ น้อง ๆ จะได้เรียนรู้เกี่ยวกับ การเขียนคำอวยพร เราไปดูพร้อมกันเลยค่ะว่าการเขียนประเภทนี้จะมีลักษณะและวิธีอย่างไรบ้าง การเขียนคำอวยพร ความหมายของคำอวยพร คำอวยพร

การใช้ Imperative for Advice

สวัสดีค่ะนักเรียนชั้น ม.2 ที่น่ารักทุกคน วันนี้ครูจะพาเรียนรู้เกี่ยวกับ “การใช้ Imperative for Advice หรือ การใช้ประโยคแนะนำในภาษาอังกฤษ”กันค่ะ พร้อมแล้วก็ไปลุยกันเลยจร้า ประโยคแนะนำที่เจอบ่อย (Imperative for advice) คำศัพท์น่าสนใจ Advice (Noun): คำแนะนำ Advise (Verb): แนะนำ ประโยคคำแนะนำ ส่วนใหญ่แล้วจะเจอในรูปแบบของประโยคบอกเล่า ซึ่งจะมีความหมายในทางเสนอแนะ

ผู้ชนะ บทอาขยานที่ว่าด้วยความไม่ย่อท้อ

บทอาขยาน คือ บทท่องจำจากวรรณคดีเรื่องต่าง ๆ หรือเป็นคำประพันธ์ที่มีความไพเราะ และมีความงดงามทางภาษา มีความหมายดี และให้ข้อคิดที่มีคุณค่า สามารถนำไปใช้ในชีวิตได้ และบทอาขยานที่เราจะได้เรียนรู้กันในวันนี้ก็คือบทอาขยานเรื่อง ผู้ชนะ จะเป็นอย่างไรบ้างนั้นเราไปดูพร้อมกันเลยค่ะ ประวัติความเป็นมาของเรื่องผู้ชนะ บุญเสริม แก้วพรหม เป็นนักแต่งกลอนชาวนครศรีธรรมราช เริ่มฝึกเขียนกลอนตั้งแต่สมัยเรียนอยู่ชั้นประถม จากการคลุกคลีกับหนังสือและเรียนรู้เกี่ยวกับบทกลอนในห้องเรียน แต่มาเริ่มเขียนอย่างจริงจังในระดับชั้นมัธยมศึกษา ได้ส่งผลงานเข้าประกวดและผ่านการคัดเลือกลงหนังสือพิมพ์ ออกอากาศทางวิทยุ แนวที่เขียนเป็นเรื่องเกี่ยวกับความรักและสะท้อนสังคม

Passive Voice ในรูปปัจจุบัน

สวัสดีค่ะนักเรียนชั้นม.5 ที่น่ารักทุกคน วันนี้เราจะไปดูการใช้ Passive Voice ในรูปปัจจุบัน กัน ถ้าพร้อมแล้วก็ไปลุยกันโลดเด้อ ความหมาย Passive Voice (แพ็ซซิฝ ว็อยซ) หมายถึงประโยคที่เน้นกรรม โดยการนำโครงสร้างผู้ถูกกระทำขึ้นต้นประโยค และหากว่าต้องการเน้นผู้กระทำให้เติม “by + ผู้กระทำ” ท้ายประโยค แต่ว่าเราสามารถละ by ไว้ได้น๊า ในบทนี้เราจะไปดูรูปประโยคในปัจจุบันกันจร้า

ฟังก์ชันลอการิทึม

ฟังก์ชันลอการิทึม ฟังก์ชันลอการิทึม คือฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล จากที่ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลคือ คู่อันดับ (x, y) ซึ่งเป็นความสัมพันธ์ที่ส่งจากจำนวนจริงไปยังจำนวนจริงบวก โดยที่ ดังนั้นฟังก์ชันดังกล่าวซึ่งเป็นฟังก์ชันผกผันของเอกซ์โพเนนเชียล ก็คือ คู่อันดับ (y, x) หรืออาจจะบอกได้อีกแบบคือ คู่อันดับ (x, y) ซึ่งเป็นความสัมพันธ์จากจำนวนจริงบวกไปยังจำนวนจริง โดยที่ จัดรูปใหม่ ได้เป็น (อ่านว่าล็อก x ฐาน

ลำดับเรขาคณิต

สารบัญ

ลำดับเรขาคณิต

พจน์ทั่วไปของลำดับเรขาคณิต

ตัวอย่างโจทย์เกี่ยวกับลำดับเรขาคณิต

ตัวอย่างลำดับเรขาคณิต ในรูปของโจทย์ปัญหา

วิดีโอเพิ่มเติมเกี่ยวกับ ลำดับเรขาคณิต

แค่ 10 นาที ก็เข้าใจได้

แนะนำ

แชร์

Short question and Short answer

การเขียนคำอวยพร เขียนอย่างไรให้เหมาะสมกับผู้รับ

การใช้ Imperative for Advice

ผู้ชนะ บทอาขยานที่ว่าด้วยความไม่ย่อท้อ

Passive Voice ในรูปปัจจุบัน

ฟังก์ชันลอการิทึม

NockAcademy

ติดต่อ

เกี่ยวกับเรา

ความช่วยเหลือ

ทดลองฟรี!

เข้าใจได้ทันที NockAcademy ไลฟ์สดอันดับ 1

ทดลองฟรี!

เข้าใจได้ทันที NockAcademy ไลฟ์สดอันดับ 1