ลำดับ
ลำดับ ( Sequence ) คือ เซตของจำนวนหรือตัวเลขที่เรียงกันเป็นระเบียบและมีเงื่อนไข เช่น ลำดับของจำนวนนับที่เพิ่มขึ้นทีละ 1 ก็จะสามารถเขียนได้เป็น
1, 2, 3, 4, … โดยตัวเลขเหล่านี้ เรียกว่า พจน์ ( Term ) เซตของลำดับจะเขีบยแทนด้วย
และเราจะเรียก ว่าพจน์ที่ 1
เรียก ว่าพจน์ที่ 2
เรียก ว่าพจน์ที่ n หรือพจน์ทั่วไปหรือ พจน์สุดท้าย
ตัวอย่างของลำดับ เช่น 1, 3, 5, 7, ….
โดเมนและเรนจ์ของลำดับ
โดเมนของลำดับคือ พจน์ของลำดับ หรือ n นั่นเอง ซึ่ง n ต้องเป็นจำนวนนับ
เรนจ์ของลำดับคือ ค่าของ นั่นเอง
เช่น F = {(1,10),(2,20),(3,30)} จะได้ว่า
โดเมน คือ {1, 2, 3}
เรนจ์คือ {10, 20, 30}
ชนิดของ ลำดับ
ลำดับจำกัด คือ ลำดับที่สามารถระบุจำนวนพจน์ได้
เช่น 2, 4, 6, 8, … , 50 มี 25 พจน์
1, 2, 3, 4, … , n มี n พจน์
ลำดับอนันต์ คือ ลำดับที่ไม่สามารถบอกจำนวนพจน์ได้
เช่น 1, 2, 3, …
“วิธีสังเกต”
ลำดับอนันต์จะมีจุดสามจุดอยู่หลังของลำดับเสมอ เพื่อแสดงให้เห็นว่าลำดับนี้ไปต่อได้เรื่อย ๆ ไม่มีที่สิ้นสุด
ตัวอย่างของ ลำดับ
1) ให้ ข้อ A คือ 1,4,9,16,25,…
ข้อ B คือ = 16n เมื่อ n= 1,2,3,4
ข้อ C คือ =3n² + 7 เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก
จะได้ว่า A เป็นลำดับอนันต์
B เป็นลำดับจำกัด
C เป็นลำดับอนันต์
1) 7, 14, 21, 28, 35, … เป็นลำดับอนันต์ ที่เพื่มขึ้นทีละ 7
2) 3, 6, 12, 24, 48 เป็นลำดับจำกัด ที่เพิ่มขึ้น 2 เท่าของพจน์ก่อนหน้า
3) 4, 9, 16, 25, 36, 49 ต้องหาสองครั้งเพราะการเพิ่มขึ้นของลำดับยังไม่เป็นระบบ
น้องจะเห็นว่าลำดับในข้อ 3 เป็นลำดับที่มีผลต่างร่วมเป็นค่าคงที่ในครั้งที่สอง หรือเพิ่มขึ้นอย่างคงที่ในครั้งที่สองนั่นเอง
จะเห็นว่าในลำดับนั้น เพิ่มขึ้นอย่างไม่เป็นระบบ คือ เพิ่มขึ้นทีละ 5, 6, 7, 8, 9 ตามลำดับ แต่ลองสังเกตดูว่า การเพิ่มขึ้นของ 5, 6,7,8,9 นั้นเพิ่มขึ้นทีละ 1 ดังนั้นจึงเป็นการเพิ่มขึ้นอย่างคงที่ในครั้งที่ 2 นั่นเอง
การหาพจน์ทั่วไปของลำดับ
วิธีการหาพจน์ที่ n จะแยกเป็น 3 กรณี
1) ระหว่างพจน์มีผลต่างที่เป็นค่าคงที่ นั่นก็คือ เป็นลำดับเพิ่มขึ้นหรือลดลง เป็นค่าคงที่ เช่น 8, 6, 4, 2 ( ลดลงทีละ 2 )
รูปแบบของพจน์ทั่วไปคือ
ตัวอย่าง หาพจน์ทั่วไปของลำดับ 1, 3, 5, 7, …
จากโจทย์ เราจะรู้ว่า
และจากสูตร
เมื่อ n = 1 ; (1)
n = 2 ; (2)
(2) -(1) ; 2=a
แทน ใน (1) จะได้ว่า
ดังนั้น พจน์ทั่วไป ของลำดับข้างต้นคือ
2) ระหว่างพจน์มีอัตราส่วนร่วมเป็นค่าคงที่
รูปแบบของพจน์ทั่วไป คือ โดยที่ r คืออัตราส่วนร่วม
ตัวอย่าง หาพจน์ทั่วไปของ 4, 8, 16, 32, …
จะเห็นว่าลำดับดังกล่าวเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า ของพจน์ก่อนหน้า
ดังนั้น r = 2 และจากโจทย์จะได้ว่า
เมื่อ n = 1 ; (1)
n = 2 ; (2)
(2) – (1) ; 4 = ( 4 – 2 )a
แทน ใน (1) จะได้ว่า
ดังนั้น
3) ระหว่างพจน์มีผลต่างเป็นค่าคงที่ในการหาครั้งที่ 2
รูปพจน์ทั่วไป คือ
ตัวอย่าง หาพจน์ทั่วไปของ 4, 9, 16, 25, …
เมื่อ n = 1 ; (1)
n = 2 ; (2)
n = 3 ; (3)
(2)- (1) ; (4)
(3) – (2) ; (5)
(4)-(5) ;
แทน a = 1 ใน (4) จะได้
แทน a = 1 และ b = 2 ใน (1) จะได้ 4 = 1 + 2 + c
c = 1
ดังนั้น รูปพจน์ทั่วไปคือ
ตัวอย่างของลำดับ
1.) จงหาว่าพจน์หลังกับพจน์หน้ามีความสัมพันธ์กันอย่างไร
1.1) 8, 6, 4, 2, ….
ตอบ พจน์หลังลดลงจากพจน์หน้าทีละ 2
1.2) 5, 10, 15, 20, …
ตอบ พจน์หลังเพิ่มขึ้นจากพจน์หน้าทีละ 5
2.) หา 4 พจน์ถัดไปของลำดับต่อไปนี้
2.1) 2, 5, 8, 11, …
วิธีทำ จากโจทย์จะเห็นว่าเป็นลำดับที่เพิ่มขึ้นทีละ 3
ดังนั้น 4 พจน์ถัดไปคือ 11+3 = 14, 14+3 = 17, 17+3 = 20, 20+3=23
นั่นคือ 14, 17, 20, 23
2.1) 200, 190, 170, 140,…
วิธีทำ จากโจทย์จะเห็นว่า พจน์ 2 ลดลงจากพจน์แรก 10 พจน์ 3 ลดลงจากพจน์ 2 20 และพจน์ 4 ลดลงจาดพจน์ 3 30
เราจะได้ลำดับใหม่ซึ่งเป็นลำดับของผลต่างระหว่างพจน์ ดังนี้ 10, 20, 30,… ดังนั้นอีก 3 พจน์ถัดไปควรจะเป็น 40, 50, 60 ตามลำดับ
ดังนั้นจะได้ว่า พจน์ที่ 5 ของลำดับในโจทย์ข้างต้น ควรจะน้อยกว่าพจน์ที่ 4 ไป 40 จะได้ว่า พจน์ที่ 5 คือ 140-40=100
พจน์ที่6 ต้องน้อยกว่าพจน์ที่ 5 ไป 50 ดังนั้น พจน์ที่ 6 คือ 100-50=50
พจน์ที่7 ต้องน้อยกว่าพจน์ที่ 6 อยู่ 60 ดังนั้น พจน์ที่7 คือ 50-60= -10
พจน์ที่ 8 ต้องน้อยกว่า พจน์ที่7 อยู่ 70 ดังนั้นพจน์ที่8 คือ -10 – 70 = -80
ดังนั้น 4 พจน์ถัดไปของลำดับ 200, 190, 170, 140,… คือ 100, 50, -10, -80 ตามลำดับ
3.) จงเขียน 5 พจน์แรกของลำดับต่อไปนี้
3.1)
วิธีทำ
แทน n=1 จะได้ว่า
n=2 จะได้
n=3 จะได้
n=4จะได้
n=5จะได้
จากการแทนค่า n ไปแล้ว เราจะได้ลำดับ 5 พจน์แรกดังนี้ 1, 3, 5, 7, 9
3.2)
วิธีทำ จากโจทย์จะเห็นว่า ถ้า n น้อยกว่า 3 ดังนั้นเราจะใช้ n +1 ในการหาพจน์ที่ 1 และพจน์ที่ 2
และเราจะใช้ 2n ในการหาพจน์ที่ 3 ถึงพจน์ที่ 5
จะได้5พจน์แรกของลำดับดังนี้ 1+1, 2+1, 2(3), 2(4), 2(5) นั่นคือ 2, 3, 6, 8, 10
