ฟังก์ชันผกผัน

สารบัญ

Add LINE friends for one click to find article. Add LINE friends for one click to find article.

ฟังก์ชันผกผัน

ฟังก์ชันผกผัน หรืออินเวอร์สฟังก์ชัน เขียนแทนด้วย f^{-1} เมื่อ f เป็นฟังก์ชัน

จากที่เรารู้กันว่า ฟังก์ชันนั้นเป็นความสัมพันธ์ ดังนั้นฟังก์ชันก็สามารถหาตัวผกผันได้เช่นกัน แต่ตัวผกผันนั้นไม่จำเป็นที่จะต้องเป็นฟังก์ชันเสมอไป

เพราะอะไรถึงไม่จำเป็นจะต้องเป็นฟังก์ชัน เราลองมาดูตัวอย่างกันค่ะ

ให้ f = {(1, 2), (3, 2), (4, 5),(6, 5)}  จะเห็นว่า f เป็นฟังก์ชัน

พิจารณาตัวผกผันของ f เท่ากับ {(2, 1), (2, 3), (5, 4), (5, 6)}  จากนิยามของฟังก์ชัน ถ้าตัวหน้าเท่ากันแล้วตัวหลังจะต้องเท่ากัน ทำให้ได้ว่า ตัวผกผันของ f ไม่เป็นฟังก์ชัน

 

ตัวอย่างตัวผกผันของฟังก์ชัน

หาฟังก์ชันผกผันของ  เมื่อ

1.) f(x) = \frac{1}{x-2}

ให้ f(x) = y

ขั้นตอนที่ 1 เปลี่ยน x เป็น y เปลี่ยน y เป็น x

จะได้  x=\frac{1}{y-2}

ขั้นที่ 2 จัดรูปให้ y อยู่เดี่ยวๆ

จะได้  ฟังก์ชันผกผัน

ดังนั้น  = \frac{1}{x}+2  เมื่อ x ≠ 0 (เพราะถ้า x =0จะหาค่าไม่ได้)

2.) f(x) = \sqrt{x+3}

ขั้นที่ 1 เปลี่ยน x เป็น y เปลี่ยน y เป็น x

จะได้  x = \sqrt{y+3}

ขั้นที่ 2 จัดรูปให้ y อยู่เดี่ยวๆ

จะได้ 

ดังนั้น f^{-1}(x) = x^2-3

 

3.) f(x) = \frac{2x-3}{3x-2}

ขั้นที่ 1 เปลี่ยน x เป็น y เปลี่ยน y เป็น x

จะได้  x = \frac{2y-3}{3y-2}

ขั้นที่ 2 จัดรูปให้ y อยู่เดี่ยวๆ

จะได้ ฟังก์ชันผกผัน

ดังนั้น f^{-1}(x) = \frac{2x-3}{3x-2}  เมื่อ x ≠  \frac{2}{3}

 

ให้ f(x) = 3x + 5 จงหา

4.) f^{-1}(3)

ขั้นตอนที่ 1 หา f^{-1}(x)

จะได้ ฟังก์ชันผกผัน

ขั้นตอนที่ 2 แทนค่า x ด้วย 3

จะได้  f^{-1}(3) = \frac{5-3}{3}=\frac{2}{3}

 

5.) f^{-1}(-1)

ขั้นตอนที่ 1 หา f^{-1}(x)

จะได้ ฟังก์ชันผกผัน

ขั้นตอนที่ 2 แทนค่า x ด้วย -1

จะได้  f^{-1}(-1) = \frac{5-(-1)}{3}=\frac{5+1}{3}=\frac{6}{3}=2

 

การตรวจสอบว่าตัวผกผันของ f เป็นฟังก์ชันหรือไม่

การตรวจสอบทำได้ 2 วิธี คือ

  1. หาตัวผกผันมาก่อนแล้วเช็คว่าตัวผกผันนั้นเป็นฟังก์ชันหรือไม่
  2. หาจากทฤษฎีบทต่อไปนี้

ตัวผกผันของ f เป็นฟังก์ชัน ก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง

ขยายความทฤษฎีบท

ฟังก์ชันผกผันเรามีข้อความอยู่สองข้อความ ที่มีตัวเชื่อม ก็ต่อเมื่อขั้นกลางอยู่

ถ้าเรารู้ว่าฝั่งใดฝั่งหนึ่งจริง เราสามารถสรุปข้อความอีกฝั่งหนึ่งได้เลย

เช่น ถ้าเรารู้ว่า ตัวผกผันของ f เป็นฟังก์ชัน เราก็จะรู้ด้วยว่า f เป็นฟังก์ชัน

ในขณะเดียวกัน ถ้าเรารู้ว่า f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง เราก็จะรู้ว่า ตัวผกผันของ f เป็นฟังก์ชัน

 

แต่ ถ้าเรารู้ว่าข้อความฝั่งหนึ่งไม่จริง เราก็สามารถสรุปได้เช่นกันว่า ข้อความอีกฝั่งก็ไม่จริง

เช่น เรารู้ว่า ตัวผกผันของ f ไม่เป็นฟังก์ชัน เราสามารถสรุปได้เลยว่า f ไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง

ถ้าเรารู้ว่า f ไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง เราสามารถสรุปได้ว่า ตัวผกผันของ f ไม่เป็นฟังก์ชัน

 

ตัวอย่างการตรวจสอบ ฟังก์ชันผกผัน

 

ให้ f เป็นฟังก์ชัน ที่ f = {(x, y) : x, y ∈ \mathbb{R} และ y = 2x + 3}

วิธีทำ 1 จาก f = {(x, y) : x, y ∈ \mathbb{R} และ y = 2x + 3}

จะได้ว่า f^{-1}  = {(y, x ) : y, x ∈ \mathbb{R} และ y = 2x + 3}

หรือเขียนได้อีกแบบคือ f^{-1} = {(x, y) : x, y ∈ \mathbb{R} และ x = 2y + 3}  << ตรงสมการ เปลี่ยน x เป็น y เปลี่ยน y เป็น x

จะตรวจสอบว่า f^{-1} เป็นฟังก์ชันหรือไม่ โดยสมมติคู่อันดับมาสองคู่ ให้เป็น (x_1, y_1),(x_1,y_2) ซึ่งทั้งสองคู่อันดับนี้ เป็นคู่อันดับใน f^{-1}

ดังนั้นเราสามารถแทน คู่อันดับทั้งสองไปในสมการ x = 2y + 3 ได้

ฟังก์ชันผกผัน

จากนิยามของฟังก์ชันจะได้ว่า f^{-1} เป็นฟังก์ชันเพราะ เมื่อสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับเหมือนกันสมาชิกตัวหลังก็เหมือนกันด้วย

วิธีที่ 2  จาก f = {(x, y) : x, y ∈ \mathbb{R} และ y = 2x + 3}

จะตรวจสอบว่า f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งหรือไม่เพื่อนำมาสรุปการเป็นฟังก์ชันของf^{-1} 

สมมติให้ (x_1,y_1),(x_2,y_1) เป็นคู่อันดับใน f 

ดังนั้นเราสามารถแทนคู่อันดับทั้งสองคู่อันดับในสมการ y = 2x + 3 ได้

ได้เป็น ฟังก์ชันผกผัน

จากนิยามของฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง จะได้ว่า f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง เพราะเมื่อเราให้สมาชิกตัวหลังเท่ากันแล้วเราได้ว่าสมาชิกตัวหน้าก็เท่ากัน

และ จาก f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งเลยทำให้สรุปได้ว่า f^{-1} เป็นฟังก์ชัน

 

จากวิธีทั้งสองวิธี น้องๆสามารถเลือกวิธีตรวจสอบที่ตัวเองถนัดได้เลย ได้คำตอบเหมือนกันจ้า

 

เนื้อหาที่ควรรู้เพื่อง่ายต่อการทำความเข้าใจ

 

ฟังก์ชันจากเซตหนึ่งไปอีกเซตหนึ่ง

 

 

 

 

NockAcademy คือโรงเรียนออนไลน์สำหรับเด็ก โดยแอปฯ และเว็บไซต์ นักเรียนสามารถเรียนรู้ผ่านคลิปบทเรียนวิชา คณิตศาสตร์ ภาษาอังกฤษ และภาษาไทย
มากไปกว่านั้น เรายังมีคอร์สเรียนออนไลน์ การสอนพิเศษ การติวนอกสถานที่โดยติวเตอร์ที่แน่นไปด้วยความรู้ อีกด้วย

Add LINE friends for one click to find article. Add LINE friends for one click to find article.
ครูผู้สอน NockAcademy

แค่ 10 นาที ก็เข้าใจได้

สามารถดูคลิปบทเรียนวิชา คณิตศาสตร์ ภาษาอังกฤษ และภาษาไทย ที่มีมากกว่า 2,000+ คลิป และยังสามารถทำแบบทดสอบที่มีมากกว่า 4000+ ข้อ

แนะนำ

แชร์

หลักการของอัตราส่วนที่เท่ากัน

หลักการของอัตราส่วนที่เท่ากัน

ในบทความนี้เราจะได้เรียนรู้วิธีการในการหาค่าตัวแปรในการใช้สัดส่วน สามารถมารถนำไปประยุกต์ใช้กับการแก้โจทย์ปัญหาในชีวิตจริงได้ พิจารณาสิ่งที่ต้องการแสดงการเปรียบเทียบโดยการเขียนเป็นอัตราส่วนสองอัตราส่วนอย่างเป็นลำดับและหาค่าของตัวแปรได้

การเรียงคำคุณศัพท์ (Adjective Order)

น้องๆ น่าจะรู้จักหรือเคยได้ยิน “คำคุณศัพท์” หรือ Adjective ในภาษาอังกฤษกันมาบ้างแล้วใช่มั้ยครับ? ซึ่งหน้าที่ของคำเหล่านี้คือเพิ่มความหมายและบอกลักษณะของคำนามนั่นเอง วันนี้เราจะมาเรียนรู้กันว่าหากมี Adjective มากกว่า 1 คำมาขยายคำนาม เราจะเรียงลำดับมันอย่างไรดี ไปดูกันเลย!

ราชาศัพท์

ราชาศัพท์ คำใดบ้างที่เราควรรู้?

น้อง ๆ หลายคนคงจะเคยได้ยินคำราชาศัพท์มาบ้างเวลาที่เปิดโทรทัศน์ดูข่าวช่วงหัวค่ำ แต่เคยสงสัยกันบ้างไหมคะว่า ราชาศัพท์ ที่นักข่าวในโทรทัศน์พูดกันบ่อย ๆ มีความหมายว่าอะไรบ้าง บทเรียนภาษาไทยในวันนี้จะพาน้อง ๆ ไปเรียนรู้เกี่ยวกับคำราชาศัพท์ เพื่อที่เวลาน้อง ๆ ฟังข่าว จะได้เข้าใจได้ง่ายมากขึ้น เราไปเรียนรู้พร้อมกันเลยค่ะ   ราชาศัพท์     การแบ่งลำดับขั้นของบุคคลในการใช้คำราชาศัพท์ แบ่งออกได้เป็น 5 ระดับ ดังนี้

งานอดิเรก (Hobbies) ในยุคปัจจุบัน

  ในปัจจุบันงานอดิเรก (Hobbies) นอกจากจะเป็นสิ่งที่ทำให้เราสนุกแล้วยังสามารถเพิ่มพูนทักษะใหม่ๆ  ให้เราได้อีกด้วย  หากมีใครก็ตามถามว่า what do you like to do in your free time? คุณชอบทำอะไรในเวลาว่าง ครูเชื่อว่านักเรียนจะต้องมีหลายคำตอบ เพราะปัจจุบันมีหลายสิ่งหลายอย่างให้ทำเยอะมาก แต่เหนือสิ่งอื่นใด งานอดิเรกนั้นต้องทำให้เราสนุกและมีความสุขกับการได้ทำมันแน่ๆ “Do what you love,

เตรียมสอบเข้า ม.1 โรงเรียนสตรีวิทยา

เตรียมสอบเข้า ม.1 โรงเรียนสตรีวิทยากันเถอะ   สวัสดีค่ะ มาพบกับแอดมินและ Nock Academy กับบทความเตรียมสอบเข้าม.1 กันอีกแล้วแต่วันนี้เรามาในบทความการสอบเข้าของโรงเรียนสตรีวิทยา โรงเรียนหญิงล้วนที่มีชื่อเสียงโด่งดังมานานกว่า 118 ปี อีกทั้งยังเคยเป็นสถานศึกษาของสมเด็จย่าและเคยได้รับเสด็จสมเด็จพระราชินีนาถเอลิซาเบธที่ 2 กล่าวได้ว่าเป็นโรงเรียนที่มีความผูกพันธ์กับราชวงศ์ของไทยและเป็นสถานที่ที่เคยต้อนรับราชวงศ์ชั้นสูงมาแล้วอีกด้วย นับเป็นความภาคภูมิใจแก่ผู้ที่ได้เข้าศึกษาที่โรงเรียนแห่งนี้เป็นอย่างมาก ไม่เพียงแต่เรื่องของความเก่าแก่และยาวนานของโรงเรียนที่ทำให้โรงเรียนสตรีวิทยานั้นเป็นที่รู้จัก แต่ในด้านของวิชาการก็มีความเข้มข้นและการแข่งขันที่สูงด้วยเช่นเดียวกัน โรงเรียนสตรีวิทยาในปัจจุบันมีการเรียนการสอนตั้งแต่ระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 1 ไปจนถึงมัธยมศึกษาปีที่ 6 ถือได้ว่าเป็นโรงเรียนมัธยมขนาดใหญ่ มีอัตราการสอบเข้าศึกษาที่สูงมากในแต่ละปี

วิชชุมมาลาฉันท์

เรียนรู้การแต่ง วิชชุมมาลาฉันท์ 8 ฉันท์ที่เปล่งสำเนียงยาวดุจสายฟ้า

ฉันท์ คือ ลักษณะถ้อยคำที่กวีได้ประพันธ์ขึ้นเพื่อให้เกิดความไพเราะ โดยกำหนดครุ ลหุ และสัมผัสไว้เป็นมาตรฐาน มีด้วยกันมากมายหลายชนิด จากที่บทเรียนครั้งก่อนเราได้เรียนรู้เกี่ยวกับที่มาและพื้นฐานการแต่งฉันท์ไปแล้ว บทเรียนในวันนี้เราจะมาเจาะลึกให้ลึกขึ้นไปอีกด้วยการฝึกแต่ง วิชชุมมาลาฉันท์ 8 กันค่ะ ฉันท์ประเภทนี้จะเป็นอย่างไร ทำไมถึงเป็น 8  ถ้าพร้อมแล้วเราไปเรียนรู้พร้อมกันเลยค่ะ   คำประพันธ์ประเภท ฉันท์   ฉันท์ในภาษาไทยได้แบบแผนมาจากอินเดีย ในสมัยพระเวท แต่ลักษณะฉันท์ในสมัยพระเวทไม่เคร่งครัดเรื่องครุ ลหุ นอกจากจะบังคับเรื่องจำนวนคำในแต่ละบท

โลโก้ NockAcademy

ทดลองฟรี!

เข้าใจได้ทันที NockAcademy ไลฟ์สดอันดับ 1 

โลโก้ NockAcademy

ทดลองฟรี!

เข้าใจได้ทันที NockAcademy ไลฟ์สดอันดับ 1