ตัวบ่งปริมาณและค่าความจริงของตัวบ่งปริมาณ

ตัวบ่งปริมาณ

สารบัญ

Add LINE friends for one click to find article. Add LINE friends for one click to find article.

ตัวบ่งปริมาณ

ตัวบ่งปริมาณ คือ สัญลักษณ์หรือข้อความที่เมื่อเราเอาไปเติมใน “ประโยคเปิด” แล้วจะทำให้ประโยคนั้นกลายเป็นประพจน์

ประโยคเปิด คือประโยคบอกเล่าหรือปฏิเสธที่ติดค่าตัวแปรที่ยัง “ไม่รู้ว่าเป็นจริงหรือเท็จ” โดยตัวแปรนั้นเป็นสมาชิกของเอกภพสัมพัทธ์ (Universe : U)

ประโยคเปิด ยังไม่ใช่ประพจน์ (แต่เกือบเป็นแล้ว) เพราะเรายังไม่รู้ว่าเป็นจริงหรือเท็จ

เช่น  “x มากกว่า 3” จะเห็นว่าตัวแปร คือ x ซึ่งเราไม่รู้ว่า x คืออะไร และมากกว่า 3 จริงไหม ดังนั้น ข้อความนี้ยังไม่เป็นประพจน์

เราจะกำหนดให้ P(x) เป็นประโยคเปิดใดๆ

เราสามารถทำประโยคเปิดให้เป็น “ประพจน์” ได้ 2 วิธี คือ

1. นำสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์ แทนค่าตัวแปรลงไป

เช่น x มากกว่า 3 โดยเอกภพสัมพัทธ์ คือ จำนวนเต็ม

จะเห็นว่า ถ้าเราให้ x เท่ากับ 2 (ซึ่ง 2 เป็นสมาชิกของเอกภพสัมพัทธ์) เราจะได้ว่า ประโยค 2 มากกว่า 3 เป็นเท็จ ดังนั้น ประโยคดังกล่าวจึงเป็นประพจน์

2.) เติม “ตัวบ่งปริมาณ” ซึ่งมีอยู่ 2 ชนิด คือ

2.1) x (อ่านว่า for all x) ใช้แทนคำว่า “สำหรับ x ทุกตัว” คำที่มีความหมายเดียวกับ x ที่เราเห็นกันบ่อยๆ เช่น สำหรับ x ใดๆ, สำหรับ x แต่ละตัว

2.2) x (อ่านว่า for some x)ใช้แทนคำว่า “มี x บางตัว” คำที่เรามักเจอและมีความหมายเหมือน x เช่น มี x อย่างน้อย 1 ตัว

วิธีการเขียนตัวบ่งปริมาณ

เราจะให้ P(x) แทนประโยคเปิด เราจะใช้สัญลักษณ์ xP(x) และ xP(x) 

สมมติถ้าให้ P(x) แทน x+2 ≥ 2 และให้ U ∈ \mathbb{R} เมื่อ \mathbb{R} เป็นเซตของจำนวนจริง

จะได้ x[x+2 ≥ 2] อ่านว่า สำหรับ x ทุกตัว ที่ x+2 ≥ 2

และจะได้ x[x+2 ≥ 2]  อ่านว่า มี x บางตัว ที่ x+2 ≥ 2

**ค่า x ที่จะเอามาพิจารณาได้คือ เลขใดก็ได้ที่เป็นจำนวนจริง แต่!!! ค่าความจริงจะเป็นจริงหรือเท็จนั้นก็อีกเรื่องนะคะ**

ตัวบ่งปริมาณกับตัวเชื่อม

จากที่เรารู้กันว่า เราสามารถเชื่อมประพจน์สองประพจน์โดยใช้ตัวเชื่อมแล้วได้ประพจน์ใหม่ขึ้นมา เรื่องนี้ก็เหมือนกันค่ะ เราสามารถเชื่อมประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณโดยใช้ตัวเชื่อมที่เคยเรียนมา

มาดูตัวอย่างกันเลยดีกว่าค่ะ

ตัวอย่างที่ 1

กำหนดให้ U = \mathbb{R} เมื่อ \mathbb{R} เป็นเซตของจำนวนจริง

P(x) แทน x เป็นจำนวนนับ

Q(x) แทน x เป็นจำนวนจริง

ข้อความต่อไปนี้มีความหมายเหมือนกัน

  • จำนวนนับทุกตัวเป็นจำนวนจริง
  • สำหรับ x ทุกตัว ถ้า x เป็นจำนวนนับแล้ว x เป็นจำนวนจริง
  • สำหรับ x ทุกตัว ถ้า P(x )แล้ว Q(x )
  • x[P(x) → Q(x)]

ตัวอย่างที่ 2

กำหนดให้

P(x) แทน x เป็นจำนวนตรรกยะ

Q(x) แทน x เป็นจำนวนเฉพาะ

ข้อความต่อไปนี้มีความหมายเหมือนกัน

  • “มี” จำนวนตรรกยะบางตัว “ไม่ใช่” จำนวนเฉพาะ
  • มี x บางตัวซึ่ง P(x) และ ∼Q(x)
  • ∃x[P(x) ∧ ∼Q(x)]

ตัวอย่างของการใช้ ∀ และ  

1.) ให้ P(x) แทน 2x ≥ 10 และ U= {1,3,5,7,9}

ค่า x ที่สามารถแทนลงใน 2x ≥ 10 คือสมาชิกทุกตัวใน U

จากโจทย์ จะได้ว่า ∃x[2x ≥ 10] หมายความว่า มี x บางตัวที่ทำให้ 2x ≥ 10 เป็นจริง

 

2.) ให้ P(x) แทน x² + 2x – 8 = 0  และ U = {-4, 2}

จากโจทย์ จะได้ว่า ∀x[x² + 2x – 8 = 0] หมายความว่า x ทุกตัวใน U ทำให้สมการ x² + 2x – 8 = 0 เป็นจริง

 

ข้อความที่กำหนดให้ต่อไปนี้ ใช้กับข้อที่ 3-5

P(x) แทน x เป็นจำนวนเต็ม

Q(x) แทน x เป็นจำนวนตรรกยะ

E(x) แทน x เป็นจำนวนเต็มคู่

A(x) แทน x  เป็นจำนวนเต็มคี่

3.) จากข้อความข้างต้นสามารถสรุปอะไรได้บ้าง

  • จำนวนเต็มทุกตัวเป็นจำนวนตรรกยะ
  • จำนวนเต็มทุกตัวเป็นจำนวนเต็มคู่หรือจำนวนเต็มคี่

4.) นำคำตอบจากข้อ 3 มาเขียนเป็นสัญลักษณ์

  • จำนวนเต็มทุกตัวเป็นจำนวนตรรกยะ (หมายความว่า สำหรับทุก x ถ้า x เป็นจำนวนเต็มแล้ว x เป็นจำนวนตรรกยะ)

สามารถเขียนสัญลักษณ์ได้ ดังนี้ ∀x[P(x) → Q(x)]

  • จำนวนเต็มทุกตัวเป็นจำนวนคู่หรือจำนวนคี่ (หมายความว่า สำหรับทุก x ถ้า x เป็นจำนวนเต็มแล้ว x เป็นจำนวนเต็มคู่ หรือ จำนวนเต็มคี่)

สามารถเขียนสัญลักษณ์ได้ ดังนี้ ∀x[ P(x) → (E(x) ∨ A(x)) ]

5.) เขียนประโยคจากสัญลักษณ์ที่กำหนดให้

  1. ∃x[Q(x) ∧ P(x)] : มี x บางตัวที่เป็นจำนวนตรรกยะ และ เป็นจำนวนเต็ม
  2. ∃x[E(x) ∧ ∼A(x)] : มีจำนวนเต็มคู่บางตัวซึ่งไม่เป็นจำนวนเต็มคี่

ค่าความจริงของตัวบ่งปริมาณ

 

สำหรับ ∀

  • ∀xP(x) จะมีค่าความจริงเป็น จริง ก็ต่อเมื่อ แทนค่า x ด้วยสมาชิกจากเอกภพสัมพัทธ์ทุกครั้ง P(x) ก็ยังเป็นจริง

เช่น ให้ P(x) แทน x² + 2x – 8 = 0  และ เอกภพสัมพัทธ์ (U) = {-4, 2}

จากตัวอย่างจะเห็นว่า เมื่อเราแทน x ด้วย -4 (ซึ่งเป็นสามาชิกใน U) จะได้ 16 – 8 – 8 = 0 ดังนั้น P(x) จริง

เมื่อแทน x ด้วย 2 (ซึ่งเป็นสมาชิกใน U) จะได้ 4 + 4 – 8 = 0 ดังนั้น P(x) จริง

ดังนั้น ∀xP(x) มีค่าความจริงเป็นจริง

  • ∀xP(x) จะมีค่าความจริงเป็น เท็จ ก็ต่อเมื่อ มีบางตัวใน U ที่เมื่อแทนค่าใน P(x) เป็นเท็จ

เช่น  ให้ P(x) แทน 2x ≥ 10 และ U= {1,3,5,7,9}

ถ้าเราแทนค่า x ด้วย 5, 7, 9 เห็นได้ชัดว่า P(x) เป็นจริง

เมื่อเราลองแทน x ด้วย 1 จะเห็นว่า 2(1) ≥ 10 เป็นเท็จ

ดังนั้นเราสรุปได้เลยว่า ∀xP(x) มีค่าความจริงเป็นเท็จ

สำหรับ ∃

  • ∃xP(x) จะมีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ มีสมาชิกบางตัวใน U ที่เมื่อแทนค่าใน P(x) แล้วทำให้เป็นจริง (อาจจะมีแค่ 1 ตัว หรือทุกตัวก็ได้นะจ๊ะ)

เช่น ให้ P(x) แทน 2x ≥ 10 และ U= {1,3,5,7,9}

จะเห็นว่า เมื่อแทนค่า x ด้วย 5, 7, 9 จะเห็นว่า  P(5) = 2(5) ≥ 10 , P(7) = 2(7) ≥ 10 และ P(9) = 2(9) ≥ 10 เป็นจริง

ดังนั้น ∃xP(x) มีค่าความจริงเป็นจริง

  • ∃xP(x) จะมีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ แทนค่าสมาชิกใน U แล้วทำให้ P(x) เป็น “เท็จทุกกรณี”

เช่น ให้ P(x) แทน 2x ≤ 10 และ U= {5,7,9}

จะเห็นว่า เมื่อเราแทนค่า x ด้วย 5 , 7, 9 ลงใน 2x ≤ 10 จะได้ว่า P(x) เป็นเท็จทุกกรณี

ดังนั้น ∃xP(x) มีค่าความจริงเป็นเท็จ

ค่าความจริงของ “ตัวบ่งปริมาณ” กรณีที่ประโยคเปิดมี 2 ตัวแปร

 

ในกรณีที่ประโยคเปิดมี 2 ตัวแปร เราจะใช้สัญลักษณ์ P(x, y) และเมื่อเราเติมตัวบ่งปริมาณลงไปแล้ว จะได้ประพจน์ 4 ประพจน์ที่เป็นไปได้ ดังนี้

ให้ a∈ U

  1. ∀x∀y P(x, y)

เป็นจริง ก็ต่อเมื่อ นำสมาชิก a ทุกตัวของ U  มาแทนค่าใน x แล้วทำให้  \forall yP(a, y) เป็นจริง

เป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ มี a บางตัวของ U แทนค่าใน x แล้วทำให้  \forall yP(a, y) เป็นเท็จ

2.∃x∃y P(x, y)

เป็นจริง ก็ต่อเมื่อ มี a บางตัวของ U ที่แทนค่าใน x แล้วทำให้  \exists yP(a, y) เป็นจริง

เป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ นำสมาชิก a ทุกตัวของ U  มาแทนค่าใน x แล้วทำให้  \exists yP(a, y) เป็นเท็จ

3.∀x∃y P(x, y)

เป็นจริง ก็ต่อเมื่อ นำสมาชิก a ทุกตัวของ U  มาแทนค่าใน x แล้วทำให้  \exists yP(a, y) เป็นเป็นจริง

เป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ มี a บางตัวของ U ที่แทนค่าใน x แล้วทำให้  \exists yP(a, y) เป็นเท็จ

4.∃x∀y P(x, y)

เป็นจริง ก็ต่อเมื่อ มี a บางตัวของ U แทนค่าใน x แล้วทำให้  \forall yP(a, y) เป็นจริง

เป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ นำสมาชิก a ทุกตัวของ U  มาแทนค่าใน x แล้วทำให้  \forall yP(a, y) เป็นเท็จ

 

ถ้าน้องๆอ่านแล้วยังงงๆเราลองมาดูตัวอย่างกันค่ะ

ตัวอย่างโจทย์เกี่ยวกับค่าความจริงของตัวบ่งปริมาณ

 

พิจารณาประพจน์ต่อไปนี้ว่าเป็นจริงหรือเท็จ

ให้ U เป็นเซตของจำนวนเต็ม

1.) ∀x[x ≠ x²]

แนวคำตอบ เป็นเท็จ เพราะ เมื่อ แทน x = 1 จะเห็นว่า 1 = 1²

2.) ∃x[x² ≥ 0]

แนวคำตอบ เป็นจริง เพราะ เมื่อเราลองแทนค่า x = 1 จะเห็นว่า 1² ≥ 0 (∃ : เป็นจริงแค่กรณีเดียวก็ถือว่าประพจน์เป็นจริงแล้ว)

3.) ∃x[x + 2 = x]

แนวคำตอบ เป็นเท็จ เพราะ ในระบบจำนวนจริงนั้น มีแค่ x + 0 = x ดังนั้น จึงไม่มี x ที่ทำให้ x +2 = 0

 

พิจารณาประพจน์ต่อไปนี้ว่าเป็นจริงหรือเท็จ

ให้ U = {-1, 0, 1}

1.) ∀x∀y[x² – y = y² – x] (หมายความว่า x ทุกตัว ทำให้ y ทุกตัวเป็นจริง)

แนวคำตอบ เป็นเท็จ เพราะ เมื่อแทน x = -1 และ y = 1 จะได้ (-1)²- 1 = 1² – (-1)  ⇒  1 – 1  = 1 + 1 ⇒ 0 = 1 (เป็นเท็จ)

**∀ : เป็นเท็จแค่กรณีเดียวก็ถือว่าเป็นประพจน์นั้นเป็นเท็จ

วิธีคิดอย่างละเอียด :

ตัวบ่งปริมาณ

แต่สำหรับคนที่เชี่ยวชาญแล้ว เพื่อเป็นการประหยัดเวลา ให้เราลองคิดว่ากรณีไหนบ้างที่จะทำให้เป็นเท็จ แล้วลองแทนค่า x y แค่กรณีนั้นก็พอ ถ้าได้คำตอบออกมาเป็นเท็จจริงก็สามารถสรุปได้เลย

 

2.) ∀x∃y[x² – y = y² – x] (หมายความว่า x ทุกตัว ทำให้ y บางตัวเป็นจริง)

แนวคำตอบ เป็นจริง เพราะ เมื่อแทน -1, 0 และ 1 ใน x แล้วจะได้

จะเห็นว่ามีสมาชิกบางตัวของ U ที่เมื่อแทนค่าลงใน y แล้วเป็นจริง

 

3.) ∃x∀y[x² – y ≠ y² – x] (หมายความว่า มี x บางตัว ที่ทำให้ y ทุกตัวเป็นจริง)

แนวคำตอบ เป็นเท็จ เพราะ

4.) ∃x∃y[2x + 1 ≤ y] (หมายความว่า มี x บางตัว ที่ทำให้ y บางตัวเป็นจริง)

แนวคำตอบ เป็นจริงเพราะ เมื่อลองแทน x = -1 และ y = 1 จะได้ 2(-1) + 1 ≤ 1  ⇒  -2 + 1 ≤ 1  ⇒  -1 ≤ 1 (เป็นจริง)

 

สรุป

  1. ตัวบ่งปริมาณ มี 2 ชนิด คือ ∀ (ทุกตัว) ∃ (บางตัว)
  2. เราสามารถเชื่อมประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณ 2 ประพจน์ได้ โดยใช้ตัวเชื่อมของประพจน์
  3. กรณี 1 ตัวแปร การหาค่าความจริงจะไม่ซับซ้อนมาก
  4. กรณี 2 ตัวแปร การหาค่าความจริงค่อนข้างซับซ้อน ให้แทนค่าใน x ก่อน แล้วค่อยแทนค่าใน y ทีหลัง
  5. แน่นอนค่ะ อะไรที่ง่ายๆ จะไม่ค่อยออกสอบ(แต่ก็ไม่ได้แปลว่าจะไม่ออกนะคะ) ดังนั้น ให้ศึกษากรณี 2 ตัวแปรให้เยอะๆนะคะ เพราะถ้าทำ 2 ตัวแปรได้ 1 ตัวแปรก็คงชิลๆแล้วค่ะ

 

 

 

 

NockAcademy คือโรงเรียนออนไลน์สำหรับเด็ก โดยแอปฯ และเว็บไซต์ นักเรียนสามารถเรียนรู้ผ่านคลิปบทเรียนวิชา คณิตศาสตร์ ภาษาอังกฤษ และภาษาไทย
มากไปกว่านั้น เรายังมีคอร์สเรียนออนไลน์ การสอนพิเศษ การติวนอกสถานที่โดยติวเตอร์ที่แน่นไปด้วยความรู้ อีกด้วย

Add LINE friends for one click to find article. Add LINE friends for one click to find article.
ครูผู้สอน NockAcademy

แค่ 10 นาที ก็เข้าใจได้

สามารถดูคลิปบทเรียนวิชา คณิตศาสตร์ ภาษาอังกฤษ และภาษาไทย ที่มีมากกว่า 2,000+ คลิป และยังสามารถทำแบบทดสอบที่มีมากกว่า 4000+ ข้อ

แนะนำ

แชร์

ตัวอย่างโจทย์ปัญหา + – × ÷ เศษส่วนและจำนวนคละ

หัวใจสำคัญของการทำโจทย์ปัญหาก็คือการวิเคราะห์ประโยคที่เป็นตัวหนังสือออกมาเป็นสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์หรือเรียกสั้นๆว่า “การตีโจทย์”ถ้าเราวิเคราะห์ถูกต้องเราก็สามารถแสดงวิธีคิดได้ออกมาอย่างถูกต้องคำตอบที่ได้ก็จะถูกต้องตามมาด้วย ดังนั้นสิ่งที่น้อง ๆจะได้รับจากบทความนี้คือการฝึกวิเคราะห์โจทย์ปัญหาและการแสดงวิธีทำ รับรองว่าถ้าอ่านบทความนี้แล้วนำไปใช้จะได้คำตอบที่ถูกทุกข้ออย่างแน่นอน

การบรรยายลักษณะ และ ความรู้สึก โดยใช้คำคุณศัพท์

การบรรยายลักษณะและความรู้สึก โดยใช้คำคุณศัพท์ Adjective

ทบทวนความหมายและหน้าที่ของคำคุณศัพท์   คำคุณศัพท์หรือ Adjective มีตัวย่อคือ Adj.  ทำหน้าที่ขยายคำนามหรือสรรพนามที่อยู่ในประโยค คำนามหรือสรรพนาม ณ ที่นี้ ก็คือ คน สัตว์ สิ่งของ สถานที่ นั่นเองค่า นอกจากนี้ยังทำหน้าที่ขยายในที่นี้เพื่อบอกให้รู้ว่าคำนามหรือสรรพนามเหล่านั้นมีลักษณะยังไง  และในบทนี้ครูจะพาไปดูการใช้คำคุณศัพท์บอกลักษณะและความรู้สึก (Descriptive Adjective) กันนะคะ ไปลุยกันเลย   การใช้คำคุณศัพท์ (Adjective)

ระยะห่างของเส้นตรง

ระยะห่างของเส้นตรง

ระยะห่างของเส้นตรง ระยะห่างของเส้นตรง มีทั้งระยะห่างระหว่างจุดกับเส้นตรง และระหว่างเส้นตรงสองเส้นที่ขนานกัน ซึ่งจากบทความเรื่องเส้นตรง น้องๆพอจะทราบแล้วว่าเส้นตรงสองเส้นที่ขนานกันความชันจะเท่ากัน ในบทความนี้น้องๆจะทราบวิธีการหาระยะห่างของเส้นตรงที่ขนานกันด้วยซึ่งสามารถประยุกต์ใช้ในการหาสมการเส้นตรงได้ด้วย ระยะห่างระหว่างเส้นตรงกับจุด จากรูปจะได้ว่า  โดยที่ A, B และ C เป็นค่าคงที่ และ A, B ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน ตัวอย่าง1  หาระยะห่างระหว่างจุด (1, 5) และเส้นตรง 2x

การวัดความยาวส่วนโค้ง

การวัดความยาวส่วนโค้ง

การวัดความยาวส่วนโค้ง การวัดความยาวส่วนโค้ง ในบทความนี้จะเป็นการวัดความยาวของวงกลม 1 หน่วย วงกลมหนึ่งหน่วย คือวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่จุดกำเนิด และมีรัศมียาว 1 หน่วย จากสูตรของเส้นรอบวง คือ 2r ดังนั้นวงกลมหนึ่งหน่วย จะมีเส้นรอบวงยาว 2 และครึ่งวงกลมยาว   จุดปลายส่วนโค้ง   จากรูป จะได้ว่าจุด P เป็นจุดปลายส่วนโค้ง   จากที่เราได้ทำความรู้จักกับวงกลมหนึ่งหน่วยและจุดปลายส่วนโค้งแล้ว

ร่ายสุภาพ เรียนรู้บทร้อยกรองที่แต่งง่ายที่สุด

หลังจากที่ได้เรียนรู้เกี่ยวกับวรรณคดีมามากมาย น้อง ๆ หลายคนก็คงจะเห็นคำประพันธ์ประเภท ร่าย ผ่านตากันมาบ้างแล้วใช่ไหมคะ ถึงแม้ว่าคำประพันธ์นี้จะไม่ได้มีมากที่สุด แต่ก็เป็นอีกหนึ่งคำประพันธ์ประเภทร้อยกรองที่มีมาตั้งแต่โบราณ แถมยังแต่งง่ายมากที่สุดอีกด้วย จะเป็นอย่างไรนั้น เราไปเรียนรู้การแต่งคำประพันธ์อย่าง ร่ายสุภาพ พร้อมกันเลยค่ะ   ร่าย คืออะไร?   ร่าย แปลว่า อ่าน เสก หรือ เดิน เหรือแปลว่าป็นคำประพันธ์ประเภทร้อยกรองแบบหนึ่งก็ได้ ร่ายเป็นบทประพันธ์ที่แต่งง่าย

แยกให้ออก บอกให้ถูกสำนวน สุภาษิต คำพังเพยแตกต่างกันอย่างไร?

บทนำ สวัสดีน้อง ๆ ที่น่ารักทุกคนกลับมาเข้าสู่เนื้อหาการเรียนภาษาไทยกันอีกเช่นเคย สำหรับวันนี้จะเป็นบทเรียนที่ทั้งสนุก มีสาระ และเป็นเนื้อหาที่เราต้องได้เจอบ่อย ๆ ในการเรียนภาษาไทยอย่างเรื่องสำนวน สุภาษิต และคำพังเพย น้อง ๆ อาจจะเคยได้ผ่านหูผ่านตากันมาบ้างเพราะเป็นบทเรียนที่ได้เริ่มเรียนตั้งแต่ช่วงประถมศึกษาแล้ว แต่วันนี้เราจะมาเรียนรู้ในเชิงลึกขึ้นไปอีกเกี่ยวกับวิธีการสังเกตระหว่างสำนวน สุภาษิต และคำพังเพยนั้นมีความเหมือน หรือแตกต่างกันอย่างไร มีตัวอย่างประกอบให้ทุกคนได้ดูด้วย ถ้าน้อง ๆ คนไหนพร้อมแล้วก็ไปลุยกับเนื้อหาของวันนี้ได้เลย   สำนวน สำนวน

โลโก้ NockAcademy

ทดลองฟรี!

เข้าใจได้ทันที NockAcademy ไลฟ์สดอันดับ 1 

โลโก้ NockAcademy

ทดลองฟรี!

เข้าใจได้ทันที NockAcademy ไลฟ์สดอันดับ 1