รากที่ n ของจำนวนจริง และจำนวนจริงในรูปกรณฑ์

รากที่ n ของจำนวนจริง

สารบัญ

Add LINE friends for one click to find article. Add LINE friends for one click to find article.

รากที่ n ของจำนวนจริง

รากที่ n ของจำนวนจริง คือจำนวนจริงตัวหนึ่งยกกำลัง n แล้วเท่ากับ x   เมื่อ n > 1 เราสามารถตรวจสอบรากที่ n ได้ง่ายๆ โดยนิยามดังนี้

นิยาม

ให้  x, y เป็นจำนวนจริง และ n เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 1 เราจะบอกว่า y เป็นรากที่ n ของ x ก็ต่อเมื่อ รากที่ n ของจำนวนจริง

 

เช่น 5 เป็นรากที่ 3 ของ 125 หรือไม่

จากที่เรารู้ว่า 5×5×5 = 125 ดังนั้น เราจึงสรุปได้ว่า 5 เป็นรากที่ 3 ของ 125 หรือสามารถพูดได้อีกแบบคือ รากที่ 3 ของ 125 คือ 5 เขียนให้สั้นลงได้เป็น \sqrt[3]{125}=5 นั่นเอง

ในกรณีที่ x = 0 จะได้ว่า \sqrt[n]{x} = 0

แต่ถ้า x > 0 จะได้ว่า n จะเป็นเลขคู่หรือคี่ก็ได้

**เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มคู่ จะได้ว่า รากที่ n ของ x เป็นได้ทั้งจำนวนบวกและจำนวนลบ

เช่น -2, 2 เป็นรากที่ 4 ของ 16 เพราะ รากที่ n ของจำนวนจริง และ รากที่ n ของจำนวนจริง

 

ในกรณีที่ x < 0 ในระบบจำนวนจริง n ควรจะเป็นเลขคี่

สมมติว่า n เป็นเลขคู่

\sqrt[4]{-16}  จะเห็นว่าไม่มีจำนวนจริงใดยกกำลัง 4 แล้วได้ -16 เพราะปกติแล้วยกกำลังคู่ต้องได้จำนวนบวก ดังนั้นจึงไม่มีคำตอบในระบบจำนวนจริง (แต่มีคำตอบในจำนวนเชิงซ้อน ซึ่งน้องๆจะได้เรียนในบทจำนวนเชิงซ้อน)

สมมติว่า n เป็นเลขคี่

\sqrt[3]{-125} = -5 เพราะ (-5)×(-5)×(-5) = (-5)³ = -125

จำนวนจริงในรูปกรณฑ์

กรณฑ์ หรือค่าหลักของราก มีนิยามดังนี้

นิยาม

ให้ x, y เป็นจำนวนจริง และ n เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 1 จะบอกว่า y เป็นค่าหลักของรากที่ n ของ x ก็ต่อเมื่อ

  1. y เป็นรากที่ n ของ x
  2. xy ≥ 0

จากนิยามจะเห็นว่า ถ้า y จะเป็นค่าหลักของรากที่ n ของ x ได้ จะได้ต้องมีคูณสมบัติครบทั้งสองข้อ มีข้อใดข้อหนึ่งไม่ได้

และเราจะเขียน \sqrt[n]{x} แทนค่าหลักของรากที่ n ของ x อ่านได้อีกอย่างว่า กรณฑ์ที่ n ของ x

ตัวอย่าง

-3 เป็นกรณฑ์ที่ 3 ของ -27 เพราะว่า

  1. -3 เป็นรากที่ 3 ของ 3 (เนื่องจาก รากที่ n ของจำนวนจริง)
  2. (-27)(-3) = 81 ≥ 0

-2 เป็นรากที่ 4 ของ 16 แต่ -2 นั้นไม่เป็นกรณฑ์ที่ 4 ของ 16 เพราะว่า (-2)(16) = -32 < 0

สมบัติที่ควรรู้

ให้ a, b เป็นจำนวนจริง และ m, n เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 1

  1. จำนวนจริงในรูปกรณฑ์
  2. \sqrt[n]{1}=1
  3. \sqrt[n]{0}=0
  4. (\sqrt[n]{a})^n=a
  5. \sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\times \sqrt[n]{b}
  6. \sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}},b\neq 0
  7. \sqrt[n]{a^{n}} = a เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มคี่   เช่น  \sqrt[3]{(-3)^3} = -3 , \sqrt[5]{2^{5}}=2
  8. \sqrt[n]{a^{n}} = \left | a \right | เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มคู่   เช่น \sqrt[4]{2^{4}}= \left | 2 \right |=2 , \sqrt[4]{(-3)^4}=\left | -3 \right |=3

 

สูตรลัดในการหารากที่ 2

รากที่ n ของจำนวนจริง

รากที่ n ของจำนวนจริง

 

ตัวอย่าง

1.)     รากที่ n ของจำนวนจริง

 

2.)    \sqrt[3]{4\sqrt[3]{4\sqrt[3]{4...}}}= \sqrt[3-1]{4}=\sqrt[2]{4}=2

 

การหาผลบวก และผลต่างของจำนวนจริงในรูปกรณฑ์

วิธีการหาคือ

  1. อันดับของกรณฑ์ต้องเหมือนกัน
  2. เลขข้างในต้องเหมือนกันด้วย โดยอาจจะทำให้เป็นจำนวนเฉพาะหรืออาจจะทำให้เป็นจำนวนที่ต่ำที่สุด

ตัวอย่าง

1.) 3\sqrt{8}-\sqrt{2}+\sqrt{32}

รากที่ n ของจำนวนจริง

 

การหาผลคูณและผลหารของจำนวนจริงในรูปกรณฑ์

 

หลักการก็คือ

  1. อันดับของกรณฑ์ต้องเหมือนกัน
  2. ถ้าอันดับของกรณฑ์ไม่เหมือนกันจะต้องทำให้อันดับเหมือนกันก่อน โดยใช้สมบัติ   

 

ตัวอย่าง 

จะเขียน \sqrt[3]{8}\sqrt{6} ให้อยู่ในรูปอย่างง่าย

รากที่ n ของจำนวนจริง

 

 

วิดีโอ รากที่ n ของจำนวนจริง และจำนวนจริงในรูปกรณฑ์

 

 

 

 

 

 

 

NockAcademy คือโรงเรียนออนไลน์สำหรับเด็ก โดยแอปฯ และเว็บไซต์ นักเรียนสามารถเรียนรู้ผ่านคลิปบทเรียนวิชา คณิตศาสตร์ ภาษาอังกฤษ และภาษาไทย
มากไปกว่านั้น เรายังมีคอร์สเรียนออนไลน์ การสอนพิเศษ การติวนอกสถานที่โดยติวเตอร์ที่แน่นไปด้วยความรู้ อีกด้วย

Add LINE friends for one click to find article. Add LINE friends for one click to find article.
ครูผู้สอน NockAcademy

แค่ 10 นาที ก็เข้าใจได้

สามารถดูคลิปบทเรียนวิชา คณิตศาสตร์ ภาษาอังกฤษ และภาษาไทย ที่มีมากกว่า 2,000+ คลิป และยังสามารถทำแบบทดสอบที่มีมากกว่า 4000+ ข้อ

แนะนำ

แชร์

จำนวนจริงในรูปกรณฑ์ และเลขยกกำลัง

จำนวนจริงในรูปกรณฑ์ จำนวนจริงในรูปกรณฑ์ หรือราก เขียนแทนด้วย อ่านว่า รากที่ n ของ x หรือ กรณฑ์ที่ n ของ x เราจะบอกว่า จำนวนจริง a เป็นรากที่ n ของ x ก็ต่อเมื่อ เช่น 2 เป็นรากที่

การหารเลขยกกำลัง

การหารเลขยกกำลัง เมื่อเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก

การหารเลขยกกำลัง เมื่อเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก บทความนี้ ได้รวบรวมตัวอย่าง การหารเลขยกกำลัง เมื่อเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่งทำได้โดยการใช้สมบัติการหารของเลขยกกำลัง ก่อนจะเรียนรู้ ตัวอย่างการหารเลขยกกำลัง เมื่อเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก น้องๆจำเป็นต้องมีความรู้ในเรื่อง การคูณเลขยกกำลัง เมื่อเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก สามารถศึกษาเพิ่มเติมได้ที่  ⇒⇒ การคูณเลขยกกำลัง เมื่อเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก ⇐⇐ สมบัติของการหารเลขยกกำลัง  am ÷ an  = am – n     (ถ้าเลขยกกำลังฐานเหมือนกันหารกัน ให้นำเลขชี้กำลังมาลบกัน)

โคลงโสฬสไตรยางค์

โคลงโสฬสไตรยางค์ โคลงสุภาษิตผลงานพระราชนิพนธ์ในร.5

  โคลงโสฬสไตรยางค์ เป็นโคลงสุภาษิต ผลงานพระราชนิพนธ์ของพระบาทสมเด็จพระจุลจอมเกล้าเจ้าอยู่หัว บทเรียนภาษาไทยในวันนี้จะพาน้อง ๆ ไปทำความรู้จักกับวรรณคดีที่เปี่ยมไปด้วยคุณค่าและข้อคิดสอนใจมากมาย ถ้าอยากรู้แล้วว่ามีเนื้อหาอะไรและมีข้อคิดอย่างไรบ้าง เราก็ไปเรียนรู้เรื่องนี้พร้อม ๆ กันเลยค่ะ   ประวัติความเป็นมา     โคลงโสฬสไตรยางค์ (พ.ศ. 2423) เป็นโคลงสุภาษิต บทพระราชนิพนธ์ในพระบาทสมเด็จเพราะจุลจอมเกล้าเจ้าอยู่หัว รัชกาลที่ 5 เดิมเป็นภาษาอังกฤษ จึงได้ทรงพระกรุณาโปรดเกล้าโปรดกระหม่อมให้กวีในพระราชสำนักแปลและประพันธ์โคลงเป็นภาษาไทย โดยพระองค์ได้ทรงตรวจแก้และทรงพระราชนิพนธ์โคลงบทนำด้วย

การทดลองสุ่มและเหตุการณ์

บทความนี้ได้รวบรวมความรู้เรื่อง การทดลองสุ่มและเหตุการณ์ ซึ่งได้กล่าวถึงในลักษณะของความหมายและยกตัวอย่างประกอบ และอธิบายอย่างละเอียด ซึ่งก่อนจะเรียนเรื่อง การทดลองสุ่มและเหตุการณ์ น้องๆสามารถทบทวน ความน่าจะเป็น ได้ที่  ⇒⇒ ความน่าจะเป็น ⇐⇐ การทดลองสุ่ม การทดลองสุ่ม  คือ การทดลองซึ่งทราบว่าผลลัพธ์ที่จะเกิดขึ้นอาจจะเป็นอะไรได้บ้าง  แต่ไม่สามารถบอกได้อย่างถูกต้องแน่นอนว่าในแต่ละครั้งที่ทำการทดลอง  ผลที่เกิดขึ้นจากการทดลองจะเป็นอะไรในบรรดาผลลัพธ์ที่อาจเป็นไปได้เหล่านั้น  เช่น การโยนเหรียญซึ่งมีผลลัพธ์ที่จะเกิดขึ้นได้ 2 แบบ คือ หัวหรือก้อย เมื่อโยนเหรียญ

M1 This, That, These, Those

การใช้ This, That, These, Those

สวัสดีค่ะนักเรียนชั้นม.1 ที่น่ารักทุกคนวันนี้เราจะไปเรียนเรื่อง การใช้ This, That, These, Those ในภาษาอังกฤษ กันค่ะ พร้อมแล้วก็ไปลุยกันเลยจ้า   บทนำ ก่อนที่นักเรียนจะไปเรียนเรื่อง การใช้  This, That, These, Those ครูอยากจะให้ลองดูตัวอย่างของการใช้ This, That, These, Those (Determiners) และ

การอ่านบทร้อยกรอง

การอ่านบทร้อยกรอง กาพย์และโคลงอ่านอย่างไรให้ไพเราะ

น้อง ๆ คงจะรู้การคำประพันธ์อย่างกาพย์และโคลงกันอยู่แล้วใช่ไหมคะ เพราะวรรณคดีไทยหลาย ๆ เรื่องที่เราเรียนกันมา ก็ใช้กาพย์และโคลงแต่งกันเสียส่วนใหญ่ และหลังจากที่ได้เรียนลักษณะการแต่งกาพย์กับโคลงสี่สุภาพ ให้ไพเราะกันไปแล้ว จะแต่งอย่างเดียวโดยไม่อ่านให้ถูกต้องก็ไม่ได้ใช่ไหมล่ะคะ ดังนั้นบทเรียนวันนี้จะพาร้อง ๆ ไปเรียนรู้เรื่อง การอ่านบทร้อยกรอง กันบ้าง ว่ามีวิธีอ่านอย่างไรให้ถูกต้องและไพเราะ ไปเรียนรู้พร้อม ๆ กันเลยค่ะ   การอ่านบทร้อยกรอง     การอ่านบทร้องกรอง ประเภทกาพย์

โลโก้ NockAcademy

ทดลองฟรี!

เข้าใจได้ทันที NockAcademy ไลฟ์สดอันดับ 1 

โลโก้ NockAcademy

ทดลองฟรี!

เข้าใจได้ทันที NockAcademy ไลฟ์สดอันดับ 1