ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม

ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม

สารบัญ

 ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม

ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม จะเกี่ยวข้องกับมุมที่มีหน่วยเป็นองศา (degree) และมุมที่มัหน่วยเป็นเรเดียน (radian)

ในบทความนี้จะกล่าวถึงมุมทั้งหน่วยองศาและเรเดียน มุมฉาก การเปลี่ยนหน่วยของมุม สมบัติของฟังก์ชันตรีโกณมิติ และสามเหลี่ยมมุมฉาก

ก่อนที่จะเริ่มเข้าสู่เนื้อหา พี่อยากให้น้องๆได้รู้พื้นฐานเกี่ยวกับฟังก์ชันตรีโกณมิติเพื่อที่จะได้เข้าใจเนื้อหาในบทความนี้มากขึ้น

  • การวัดความยาวส่วนโค้ง
  • ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์
  • ฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่นๆ

หลังจากที่ไปทบทวนความรู้มาแล้วเรามาเริ่มเนื้อหาใหม่กันเลยค่ะ

หน่วยของมุม

1.) องศา (degree) คือหน่วยของมุมในระนาบ 2 มิติ โดยที่

1 มุมฉาก = 90°

1°            = 60′ (ลิปดา)

1′            = 60″ (ฟิลิปดา)

มุมฉากที่น้องๆคุ้นกัน ก็คือ สามเหลี่ยมมุมฉาก

2.) เรเดียน (radian) คือหน่วยวัดมุมบนระนาบ 2 มิติ

มุม 1 เรเดียน คือขนาดของมุมที่วัดจากจุดศูนย์กลางของวงกลมที่กางออกตามส่วนโค้ง ซึ่งความยาวส่วนโค้งมีความยาวเท่ากับรัศมีของวงกลมพอดี

ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม

 

ดังนั้น มุม θ = \frac{a}{r}

 

ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม

 

ดังนั้นถ้าเราหมุนรัศมีครบ 1 รอบ จะได้ว่า a=2\pi r นั่นคือ θ = 2\piเรเดียน

จากนั้นเรามาพิจารณามุมฉาก (90°) ซึ่ง a=\frac{2\pi r}{4}

ดังนั้น 90° = \frac{\pi}{2}    ⇒    180° = \pi

ตัวอย่างการเปลี่ยนหน่วยของมุม

  • 5\pi เรเดียน เปลี่ยนเป็นองศา

จาก \pi = 180° ดังนั้น 5\pi = 5(180) = 900°

  • \frac{4\pi}{3} เรเดียน เปลี่ยนเป็นองศา

จะได้  \frac{4\pi}{3} = \frac{4(180)}{3} = 240°

  • 780° เปลี่ยนเป็นเรเดียน

ใช้วิธีเทียบสัดส่วน คือ

180° = \pi

780° = \frac{780\pi }{180} = \frac{13\pi }{3}

  • -330° เปลี่ยนเป็นเรเดียน

จะได้ \frac{-330\pi }{180} = \frac{-11\pi }{6}

ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม 180° ± A, 360±A และ (-A) เมื่อ 0 < A < 90°

sin(180° – A) = sinA                      cosec(180° – A) = cosecA

cos(180° – A) = -cosA                   sec(180° – A) = -secA

tan(180° – A) = -tanA                   cot(180° – A) = -cotA

————————————————————————————————

sin(180° + A) = -sinA                      cosec(180° + A) = -cosecA

cos(180° + A) = -cosA                   sec(180° + A) = -secA

tan(180° + A) = tanA                   cot(180° + A) = cotA

————————————————————————————————

sin(360° + A) = sinA                      cosec(360° + A) = cosecA

cos(360° + A) = cosA                   sec(360° + A) = secA

tan(360° + A) = tanA                   cot(360° + A) = cot

————————————————————————————————

sin(360° – A) = -sinA                      cosec(360° – A) = -cosecA

cos(360° – A) = cosA                      sec(360° – A) = secA

tan(360° – A) = -tanA                   cot(360° – A) = -cot
————————————————————————————————
sin(-A) = -sinA                             cosec(-A) = -cosecA

cos(-A) = cosA                             sec(-A) = secA

tan(-A) = -tanA                           cot(-A) = -cotA

ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

A, B และ C เป็นมุมของสามเหลี่ยม

ในรูปนี้จะพิจารณามุม A

a แทนความยาวด้านตรงข้ามมุม A ⇒ ข้าม

b แทนความยาวด้านประชิดมุม A ⇒ ชิด

c แทนความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ⇒ ฉาก

จากรูปจะได้ว่า

sinA = ข้าม/ฉาก = \frac{a}{c}

cosA = ชิด/ฉาก = \frac{b}{c}

tanA = ข้าม/ชิด = \frac{a}{b}

 

ตัวอย่าง

ให้ cosθ = \inline \frac{-3}{5} และ \frac{\pi }{2} ≤ θ ≤ \pi

ขั้นแรกเราจะพิจารณาเงื่อนไขที่โจทย์ให้มา นั่นก็คือ \frac{\pi }{2} ≤ θ ≤ \pi

ซึ่งจากเงื่อนไขนี้สามารถบอกได้ว่าเรากำลังพิจารณาค่าของฟังก์ชันตรีโกณที่อยู่ใน ควอดรันต์ที่ 2

ดังนั้น sinθ, cosecθ มีค่าเป็นบวก tanθ, cotθ และ secθ มีค่าเป็นลบ

จาก cosθ = \inline \frac{-3}{5} = ชิด/ฉาก เราจะวาดรูปได้ดังนี้

หา a โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

c² = a² + b²

25 = a² + 9

a² = 16

a = ±4

จาก a คือความยาว ดังนั้น a = 4

ดังนั้น sinθ = \inline \frac{4}{5}

tanθ = \inline -\frac{4}{3}

cotθ = \inline -\frac{3}{4}

secθ = \inline -\frac{5}{3}

cosecθ = \inline \frac{5}{4}

การหาขนาดของมุมจากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

ถ้าเรามีรูปสามเหลี่ยมที่บอกความยาวด้านมา เราสามารถหามุมได้โดยใช้ข้อมูลเหล่านั้นช่วย

เช่น

1)

จากรูปจะเห็นว่าบอกความความยาวด้านชิดมุมA และด้านตรงข้ามมุมฉาก

นั่นคือ รู้ชิด รู้ฉาก  ดังนั้นเราจะหามุมจากฟังก์ชันcos

cosA = \inline \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \inline \frac{1}{\sqrt{2}} = \inline \frac{\sqrt{2}}{2}

ดังนั้น A = 45°

2)

จากรูป เรารู้ความยาวด้านชิดมุมA และด้านตรงข้ามมุมA

ดังนั้นจะหาโดยใช้ tanA = \inline \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}

ดังนั้น A = 60°

มุมอื่นๆที่ควรรู้

มุม A = 35 จะได้ sin35° = \inline \frac{3}{5} และ cos35° = \inline \frac{4}{5}

มุมA = 53 จะได้ sin53° = \inline \frac{4}{5} และ cos53° = \inline \frac{3}{5}

วิดีโอเพิ่มเติม

 

 

 

 

 

 

+3
NockAcademy คือโรงเรียนออนไลน์สำหรับเด็ก โดยแอปฯ และเว็บไซต์ นักเรียนสามารถเรียนรู้ผ่านวิดีโอบทเรียนวิชา คณิตศาสตร์ ภาษาอังกฤษ และภาษาไทย มากไปกว่านั้น เรายังมีคอร์สเรียนออนไลน์ การสอนพิเศษ การติวนอกสถานที่โดยติวเตอร์ที่แน่นไปด้วยความรู้ อีกด้วย

แค่ 10 นาที ก็เข้าใจได้

สามารถดูวิดีโอบทเรียนวิชา คณิตศาสตร์ ภาษาอังกฤษ และภาษาไทย ที่มีมากกว่า 2,000+ วิดีโอ และยังสามารถทำแบบทดสอบที่มีมากกว่า 4000+ ข้อ

แนะนำ

แชร์

Share on twitter
Share on facebook
NokAcademy_ ม6Passive Modals

มารู้จักกับ Passive Modals

สวัสดีค่านักเรียนชั้นม.6 ที่น่ารักทุกคน วันนี้เราจะไปดู ” Passive Modals” ที่ใช้บ่อยพร้อม เทคนิคการจำและนำไปใช้ และทำแบบฝึกหัดท้ายบทเรียน กันค่า Let’s go! ไปลุยกันโลดเด้อ   Passive Modals คืออะไรเอ่ย   Passive Modals คือ กลุ่มของ Modal verbs ที่ใช้ในโครงสร้าง

wh-questions + was, were

การใช้ Wh-questions  with  was, were

สวัสดีค่ะนักเรียนชั้นม.2 ที่น่ารักทุกคน วันนี้เราจะไปเรียนรู้เรื่อง “การใช้ Wh-questions  with  was, were (Verb to be in the past)” ไปลุยกันเลยจร้า Sit back, relax, and enjoy the lesson! —นั่งพิงหลังชิวๆ ทำใจสบายๆ แล้วไปสนุกกับบทเรียนกันจร้า—  

NokAcademy_ม5 Relative Clause

การเรียนเรื่อง Relative Clause

สวัสดีค่ะนักเรียนม. 5 ที่รักทุกคน วันนี้เราจะไปดู Relative clause หรือ อนุประโยคในภาษาอังกฤษ ที่ทำหน้าที่เหมือนกันกับคำคุณศัพท์ (Adjective) ซึ่งมีหน้าที่ขยายคำนามที่อยู่ข้างหน้า  และจะใช้ตามหลัง Relative Pronoun เช่น  who, whom, which, that, และ whose แต่สงสัยมั้ยคะว่าทำไมต้องเรียนเรื่องนี้ ลองดูตัวอย่างประโยคด้านล่างแล้วจะร้องอ๋อมากขึ้น พร้อมข้อสอบ Error

หลักการเบื้องต้นของอัตราส่วน

หลักการเบื้องต้นของอัตราส่วน

“อัตราส่วน คือ ปริมาณ อย่างหนึ่งที่แสดงถึง จำนวน หรือ ขนาด ตามสัดส่วนเมื่อเปรียบเทียบกับอีก ปริมาณ หนึ่งที่เกี่ยวข้องกัน ที่อาจมีได้ตั้งแต่สองปริมาณขึ้นไป”

conjunctions

เรียนรู้การใช้คำสันธาน (Conjunctions) ในภาษาอังกฤษ

สวัสดีน้องๆ ม. 3 ทุกคนนะครับ วันนี้เราจะมาทำความรู้จักกับ Conjuctions หรือคำสันธานในภาษาอังกฤษ พร้อมวิธีการใช้คำสันธานในประโยคแบบเข้าใจง่ายๆ กันครับ

อยากเขียนเก่ง เขียนได้ดี ต้องเรียนรู้วิธีใช้ภาษาเขียนให้ถูกต้อง

บทนำ สวัสดีน้อง ๆ ทุกคน สำหรับวันนี้เราจะมาเข้าสู่บทเรียนภาษาไทยในเรื่องของระดับภาษา แต่จะเฉพาะเจาะจงไปที่การใช้ภาษาเขียนให้ถูกต้อง เหมาะสม เพื่อให้น้อง ๆ ทุกคนนำไปใช้ในการเขียนข้อสอบ หรือเขียนรายงานเรื่องต่าง ๆ ได้เหมาะสมมากขึ้น เพราะด้วยความที่ภาษาเขียนเป็นภาษาที่มีแบบแผน มีหลักในการเลือกใช้ เราจึงจำเป็นต้องเรียนรู้ภาษาเขียนอย่างละเอียด ถ้าน้อง ๆ ทุกคนอยากรู้แล้วว่าวันนี้มีบทเรียนอะไรที่น่าสนใจบ้างต้องมาดูไปพร้อม ๆ กัน   ภาษาเขียน คืออะไร?  

ฟรี! ดูวิดีโอบทเรียนสั้นๆ แค่ 10 นาที ก็เข้าใจได้