ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม

ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม

สารบัญ

 ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม

ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม จะเกี่ยวข้องกับมุมที่มีหน่วยเป็นองศา (degree) และมุมที่มัหน่วยเป็นเรเดียน (radian)

ในบทความนี้จะกล่าวถึงมุมทั้งหน่วยองศาและเรเดียน มุมฉาก การเปลี่ยนหน่วยของมุม สมบัติของฟังก์ชันตรีโกณมิติ และสามเหลี่ยมมุมฉาก

ก่อนที่จะเริ่มเข้าสู่เนื้อหา พี่อยากให้น้องๆได้รู้พื้นฐานเกี่ยวกับฟังก์ชันตรีโกณมิติเพื่อที่จะได้เข้าใจเนื้อหาในบทความนี้มากขึ้น

  • การวัดความยาวส่วนโค้ง
  • ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์
  • ฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่นๆ

หลังจากที่ไปทบทวนความรู้มาแล้วเรามาเริ่มเนื้อหาใหม่กันเลยค่ะ

หน่วยของมุม

1.) องศา (degree) คือหน่วยของมุมในระนาบ 2 มิติ โดยที่

1 มุมฉาก = 90°

1°            = 60′ (ลิปดา)

1′            = 60″ (ฟิลิปดา)

มุมฉากที่น้องๆคุ้นกัน ก็คือ สามเหลี่ยมมุมฉาก

2.) เรเดียน (radian) คือหน่วยวัดมุมบนระนาบ 2 มิติ

มุม 1 เรเดียน คือขนาดของมุมที่วัดจากจุดศูนย์กลางของวงกลมที่กางออกตามส่วนโค้ง ซึ่งความยาวส่วนโค้งมีความยาวเท่ากับรัศมีของวงกลมพอดี

ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม

 

ดังนั้น มุม θ = \frac{a}{r}

 

ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม

 

ดังนั้นถ้าเราหมุนรัศมีครบ 1 รอบ จะได้ว่า a=2\pi r นั่นคือ θ = 2\piเรเดียน

จากนั้นเรามาพิจารณามุมฉาก (90°) ซึ่ง a=\frac{2\pi r}{4}

ดังนั้น 90° = \frac{\pi}{2}    ⇒    180° = \pi

ตัวอย่างการเปลี่ยนหน่วยของมุม

  • 5\pi เรเดียน เปลี่ยนเป็นองศา

จาก \pi = 180° ดังนั้น 5\pi = 5(180) = 900°

  • \frac{4\pi}{3} เรเดียน เปลี่ยนเป็นองศา

จะได้  \frac{4\pi}{3} = \frac{4(180)}{3} = 240°

  • 780° เปลี่ยนเป็นเรเดียน

ใช้วิธีเทียบสัดส่วน คือ

180° = \pi

780° = \frac{780\pi }{180} = \frac{13\pi }{3}

  • -330° เปลี่ยนเป็นเรเดียน

จะได้ \frac{-330\pi }{180} = \frac{-11\pi }{6}

ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม 180° ± A, 360±A และ (-A) เมื่อ 0 < A < 90°

sin(180° – A) = sinA                      cosec(180° – A) = cosecA

cos(180° – A) = -cosA                   sec(180° – A) = -secA

tan(180° – A) = -tanA                   cot(180° – A) = -cotA

————————————————————————————————

sin(180° + A) = -sinA                      cosec(180° + A) = -cosecA

cos(180° + A) = -cosA                   sec(180° + A) = -secA

tan(180° + A) = tanA                   cot(180° + A) = cotA

————————————————————————————————

sin(360° + A) = sinA                      cosec(360° + A) = cosecA

cos(360° + A) = cosA                   sec(360° + A) = secA

tan(360° + A) = tanA                   cot(360° + A) = cot

————————————————————————————————

sin(360° – A) = -sinA                      cosec(360° – A) = -cosecA

cos(360° – A) = cosA                      sec(360° – A) = secA

tan(360° – A) = -tanA                   cot(360° – A) = -cot
————————————————————————————————
sin(-A) = -sinA                             cosec(-A) = -cosecA

cos(-A) = cosA                             sec(-A) = secA

tan(-A) = -tanA                           cot(-A) = -cotA

ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

A, B และ C เป็นมุมของสามเหลี่ยม

ในรูปนี้จะพิจารณามุม A

a แทนความยาวด้านตรงข้ามมุม A ⇒ ข้าม

b แทนความยาวด้านประชิดมุม A ⇒ ชิด

c แทนความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ⇒ ฉาก

จากรูปจะได้ว่า

sinA = ข้าม/ฉาก = \frac{a}{c}

cosA = ชิด/ฉาก = \frac{b}{c}

tanA = ข้าม/ชิด = \frac{a}{b}

 

ตัวอย่าง

ให้ cosθ = \inline \frac{-3}{5} และ \frac{\pi }{2} ≤ θ ≤ \pi

ขั้นแรกเราจะพิจารณาเงื่อนไขที่โจทย์ให้มา นั่นก็คือ \frac{\pi }{2} ≤ θ ≤ \pi

ซึ่งจากเงื่อนไขนี้สามารถบอกได้ว่าเรากำลังพิจารณาค่าของฟังก์ชันตรีโกณที่อยู่ใน ควอดรันต์ที่ 2

ดังนั้น sinθ, cosecθ มีค่าเป็นบวก tanθ, cotθ และ secθ มีค่าเป็นลบ

จาก cosθ = \inline \frac{-3}{5} = ชิด/ฉาก เราจะวาดรูปได้ดังนี้

หา a โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

c² = a² + b²

25 = a² + 9

a² = 16

a = ±4

จาก a คือความยาว ดังนั้น a = 4

ดังนั้น sinθ = \inline \frac{4}{5}

tanθ = \inline -\frac{4}{3}

cotθ = \inline -\frac{3}{4}

secθ = \inline -\frac{5}{3}

cosecθ = \inline \frac{5}{4}

การหาขนาดของมุมจากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

ถ้าเรามีรูปสามเหลี่ยมที่บอกความยาวด้านมา เราสามารถหามุมได้โดยใช้ข้อมูลเหล่านั้นช่วย

เช่น

1)

จากรูปจะเห็นว่าบอกความความยาวด้านชิดมุมA และด้านตรงข้ามมุมฉาก

นั่นคือ รู้ชิด รู้ฉาก  ดังนั้นเราจะหามุมจากฟังก์ชันcos

cosA = \inline \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \inline \frac{1}{\sqrt{2}} = \inline \frac{\sqrt{2}}{2}

ดังนั้น A = 45°

2)

จากรูป เรารู้ความยาวด้านชิดมุมA และด้านตรงข้ามมุมA

ดังนั้นจะหาโดยใช้ tanA = \inline \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}

ดังนั้น A = 60°

มุมอื่นๆที่ควรรู้

มุม A = 35 จะได้ sin35° = \inline \frac{3}{5} และ cos35° = \inline \frac{4}{5}

มุมA = 53 จะได้ sin53° = \inline \frac{4}{5} และ cos53° = \inline \frac{3}{5}

วิดีโอเพิ่มเติม

 

 

 

 

 

 

NockAcademy คือโรงเรียนออนไลน์สำหรับเด็ก โดยแอปฯ และเว็บไซต์ นักเรียนสามารถเรียนรู้ผ่านวิดีโอบทเรียนวิชา คณิตศาสตร์ ภาษาอังกฤษ และภาษาไทย มากไปกว่านั้น เรายังมีคอร์สเรียนออนไลน์ การสอนพิเศษ การติวนอกสถานที่โดยติวเตอร์ที่แน่นไปด้วยความรู้ อีกด้วย
เรียนพิเศษออนไลน์ ดูได้ทั้ง 4 รายวิชา - NockAcademy

แค่ 10 นาที ก็เข้าใจได้

สามารถดูวิดีโอบทเรียนวิชา คณิตศาสตร์ ภาษาอังกฤษ และภาษาไทย ที่มีมากกว่า 2,000+ วิดีโอ และยังสามารถทำแบบทดสอบที่มีมากกว่า 4000+ ข้อ

แนะนำ

แชร์

เทคนิคการใช้ Yes, No Questions M.1

เทคนิคการใช้ Yes, No Questions ในภาษาอังกฤษ

  สวัสดีค่ะนักเรียน ม.  1 ที่น่ารักทุกคนวันนี้ครูจะพาไปดูเทคนิคและวิธีการอย่างง่ายในการใช้ประโยค Yes/No questions กันค่ะไปลุยกันเลยค่า Yes, No Questions คืออะไร คือ ประโยคคำถามที่ต้องการคำตอบรับ (Yes) หรือปฏิเสธ (No) เป็นการถามที่ผู้ถามอาจจะมีข้อมูลอยู่บ้างว่า ว่าจะเป็นอย่างนั้นอย่างนี้ หรือผู้ถามอาจจะถามเพื่อให้มั่นใจว่าเป็นจริงตามที่เข้าใจหรือเปล่า ในที่นี้ครูจึงแยกออกเป็น 3 ชนิดค่ะ คือ ประโยคคำถามที่ขึ้นต้นด้วย

สัญลักษณ์พื้นฐานเกี่ยวกับเซต

สัญลักษณ์ของเซตจะช่วยให้เราไม่ต้องเขียนประโยคยาวซ้ำๆ และใช้ได้เกือบทุกบทของวิชาคณิตศาสตร์ ช่วยให้ประหยัดเวลาและเนื้อที่บนกระดาษมากๆ

M3 Past Passive

Past Passive คืออะไร

Hi guys! สวัสดีค่ะนักเรียนชั้นม.3 ทุกคน วันนี้เราจะไปเรียนรู้เรื่อง Past Passive กันค่ะ ก่อนอื่นจะต้องไปรู้ความหมายกันก่อนน๊าว่ามันคืออะไร พร้อมแล้วก็ไปลุยกันโลด   Past Passive คืออะไร   Past หมายถึง อดีต ส่วน Passive มาจากโครงสร้างของ Passive voice (ประโยคที่ประธานถูกกระทำ เน้นกรรม) เมื่อนำมารวมกันแล้วPast

การวัด

การวัดและความเป็นมาของการวัด

ในบทความนี้เราจะได้เรียนรู้ความเป็นมาของการวัดในหลายๆมิติ จนกระทั่งวิวัฒนาการที่ทำให้ได้ความแม่นยำในการวัดอย่างเป็นมาตรฐานมากขึ้นเรื่อยๆ

Imperative for Advice

Imperative for Advice: การให้คำแนะนำ

สวัสดีน้องๆ ป. 6 ทุกคนนะครับ วันนี้เราจะมาเรียนเรื่องง่ายๆ อย่าง Imperative for Advice กัน จะง่ายขนาดไหนเราลองไปดูกันเลยครับ

การคูณเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก

การคูณเลขยกกำลัง เมื่อเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก

บทความนี้ ได้รวบรวมตัวอย่าง การคูณเลขยกกำลัง เมื่อเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่งทำได้โดยการใช้สมบัติการคูณของเลขยกกำลัง ทั้งสามสมบัติ ก่อนจะเรียนเรื่องการคูณเลขยกกำลัง เมื่อเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก ให้น้องๆ ไปศึกษาเรื่อง การเขียนเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก การคูณเลขยกกำลัง เมื่อเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก สมบัติของการคูณเลขยกกำลัง  ถ้า a เป็นจำนวนใดๆ m และ n เป็นจำนวนเต็มบวก แล้ว  1)   am x an