ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม

ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม

สารบัญ

Add LINE friends for one click to find article. Add LINE friends for one click to find article.

 ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม

ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม จะเกี่ยวข้องกับมุมที่มีหน่วยเป็นองศา (degree) และมุมที่มัหน่วยเป็นเรเดียน (radian)

ในบทความนี้จะกล่าวถึงมุมทั้งหน่วยองศาและเรเดียน มุมฉาก การเปลี่ยนหน่วยของมุม สมบัติของฟังก์ชันตรีโกณมิติ และสามเหลี่ยมมุมฉาก

ก่อนที่จะเริ่มเข้าสู่เนื้อหา พี่อยากให้น้องๆได้รู้พื้นฐานเกี่ยวกับฟังก์ชันตรีโกณมิติเพื่อที่จะได้เข้าใจเนื้อหาในบทความนี้มากขึ้น

  • การวัดความยาวส่วนโค้ง
  • ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์
  • ฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่นๆ

หลังจากที่ไปทบทวนความรู้มาแล้วเรามาเริ่มเนื้อหาใหม่กันเลยค่ะ

หน่วยของมุม

1.) องศา (degree) คือหน่วยของมุมในระนาบ 2 มิติ โดยที่

1 มุมฉาก = 90°

1°            = 60′ (ลิปดา)

1′            = 60″ (ฟิลิปดา)

มุมฉากที่น้องๆคุ้นกัน ก็คือ สามเหลี่ยมมุมฉาก

2.) เรเดียน (radian) คือหน่วยวัดมุมบนระนาบ 2 มิติ

มุม 1 เรเดียน คือขนาดของมุมที่วัดจากจุดศูนย์กลางของวงกลมที่กางออกตามส่วนโค้ง ซึ่งความยาวส่วนโค้งมีความยาวเท่ากับรัศมีของวงกลมพอดี

ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม

 

ดังนั้น มุม θ = \frac{a}{r}

 

ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม

 

ดังนั้นถ้าเราหมุนรัศมีครบ 1 รอบ จะได้ว่า a=2\pi r นั่นคือ θ = 2\piเรเดียน

จากนั้นเรามาพิจารณามุมฉาก (90°) ซึ่ง a=\frac{2\pi r}{4}

ดังนั้น 90° = \frac{\pi}{2}    ⇒    180° = \pi

ตัวอย่างการเปลี่ยนหน่วยของมุม

  • 5\pi เรเดียน เปลี่ยนเป็นองศา

จาก \pi = 180° ดังนั้น 5\pi = 5(180) = 900°

  • \frac{4\pi}{3} เรเดียน เปลี่ยนเป็นองศา

จะได้  \frac{4\pi}{3} = \frac{4(180)}{3} = 240°

  • 780° เปลี่ยนเป็นเรเดียน

ใช้วิธีเทียบสัดส่วน คือ

180° = \pi

780° = \frac{780\pi }{180} = \frac{13\pi }{3}

  • -330° เปลี่ยนเป็นเรเดียน

จะได้ \frac{-330\pi }{180} = \frac{-11\pi }{6}

ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม 180° ± A, 360±A และ (-A) เมื่อ 0 < A < 90°

sin(180° – A) = sinA                      cosec(180° – A) = cosecA

cos(180° – A) = -cosA                   sec(180° – A) = -secA

tan(180° – A) = -tanA                   cot(180° – A) = -cotA

————————————————————————————————

sin(180° + A) = -sinA                      cosec(180° + A) = -cosecA

cos(180° + A) = -cosA                   sec(180° + A) = -secA

tan(180° + A) = tanA                   cot(180° + A) = cotA

————————————————————————————————

sin(360° + A) = sinA                      cosec(360° + A) = cosecA

cos(360° + A) = cosA                   sec(360° + A) = secA

tan(360° + A) = tanA                   cot(360° + A) = cot

————————————————————————————————

sin(360° – A) = -sinA                      cosec(360° – A) = -cosecA

cos(360° – A) = cosA                      sec(360° – A) = secA

tan(360° – A) = -tanA                   cot(360° – A) = -cot
————————————————————————————————
sin(-A) = -sinA                             cosec(-A) = -cosecA

cos(-A) = cosA                             sec(-A) = secA

tan(-A) = -tanA                           cot(-A) = -cotA

ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

A, B และ C เป็นมุมของสามเหลี่ยม

ในรูปนี้จะพิจารณามุม A

a แทนความยาวด้านตรงข้ามมุม A ⇒ ข้าม

b แทนความยาวด้านประชิดมุม A ⇒ ชิด

c แทนความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ⇒ ฉาก

จากรูปจะได้ว่า

sinA = ข้าม/ฉาก = \frac{a}{c}

cosA = ชิด/ฉาก = \frac{b}{c}

tanA = ข้าม/ชิด = \frac{a}{b}

 

ตัวอย่าง

ให้ cosθ = \inline \frac{-3}{5} และ \frac{\pi }{2} ≤ θ ≤ \pi

ขั้นแรกเราจะพิจารณาเงื่อนไขที่โจทย์ให้มา นั่นก็คือ \frac{\pi }{2} ≤ θ ≤ \pi

ซึ่งจากเงื่อนไขนี้สามารถบอกได้ว่าเรากำลังพิจารณาค่าของฟังก์ชันตรีโกณที่อยู่ใน ควอดรันต์ที่ 2

ดังนั้น sinθ, cosecθ มีค่าเป็นบวก tanθ, cotθ และ secθ มีค่าเป็นลบ

จาก cosθ = \inline \frac{-3}{5} = ชิด/ฉาก เราจะวาดรูปได้ดังนี้

หา a โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

c² = a² + b²

25 = a² + 9

a² = 16

a = ±4

จาก a คือความยาว ดังนั้น a = 4

ดังนั้น sinθ = \inline \frac{4}{5}

tanθ = \inline -\frac{4}{3}

cotθ = \inline -\frac{3}{4}

secθ = \inline -\frac{5}{3}

cosecθ = \inline \frac{5}{4}

การหาขนาดของมุมจากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

ถ้าเรามีรูปสามเหลี่ยมที่บอกความยาวด้านมา เราสามารถหามุมได้โดยใช้ข้อมูลเหล่านั้นช่วย

เช่น

1)

จากรูปจะเห็นว่าบอกความความยาวด้านชิดมุมA และด้านตรงข้ามมุมฉาก

นั่นคือ รู้ชิด รู้ฉาก  ดังนั้นเราจะหามุมจากฟังก์ชันcos

cosA = \inline \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \inline \frac{1}{\sqrt{2}} = \inline \frac{\sqrt{2}}{2}

ดังนั้น A = 45°

2)

จากรูป เรารู้ความยาวด้านชิดมุมA และด้านตรงข้ามมุมA

ดังนั้นจะหาโดยใช้ tanA = \inline \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}

ดังนั้น A = 60°

มุมอื่นๆที่ควรรู้

มุม A = 35 จะได้ sin35° = \inline \frac{3}{5} และ cos35° = \inline \frac{4}{5}

มุมA = 53 จะได้ sin53° = \inline \frac{4}{5} และ cos53° = \inline \frac{3}{5}

วิดีโอเพิ่มเติม

 

 

 

 

 

 

NockAcademy คือโรงเรียนออนไลน์สำหรับเด็ก โดยแอปฯ และเว็บไซต์ นักเรียนสามารถเรียนรู้ผ่านคลิปบทเรียนวิชา คณิตศาสตร์ ภาษาอังกฤษ และภาษาไทย
มากไปกว่านั้น เรายังมีคอร์สเรียนออนไลน์ การสอนพิเศษ การติวนอกสถานที่โดยติวเตอร์ที่แน่นไปด้วยความรู้ อีกด้วย

Add LINE friends for one click to find article. Add LINE friends for one click to find article.
เรียนพิเศษออนไลน์ ดูได้ทั้ง 4 รายวิชา - NockAcademy

แค่ 10 นาที ก็เข้าใจได้

สามารถดูคลิปบทเรียนวิชา คณิตศาสตร์ ภาษาอังกฤษ และภาษาไทย ที่มีมากกว่า 2,000+ คลิป และยังสามารถทำแบบทดสอบที่มีมากกว่า 4000+ ข้อ

แนะนำ

แชร์

NokAcademy_ProfilePastTense

มารู้จักกับ Past Tenses กันเถอะ

สวัสดีค่ะนักเรียนที่น่ารักทุกคน วันนี้ครูจะพาไปดูเทคนิคและวิธีการใช้ Past Tenses ที่ไม่ได้มีแค่ Past Simple Tenses นะคะ   มาทบทวนเรื่อง Past Tenses กันเถอะ     การพูดถึงเหตุการณ์ที่เกิดในอดีตนั้นสามารถพูดได้หลายรูปแบบ แต่จะพูดอย่างไรให้สอดคล้องกับบริบทนั้นย่อมสำคัญเช่นกัน และก่อนอื่นเราจะต้องรู้จักก่อนว่า การเล่าถึงงเหตุการณ์ในอดีตนั้นเราสามารถเล่าได้หลายแบบ ครูจะขอยกตัวอย่างจากสถาณการณ์การใช้ไปหาโครงสร้างและคำศัพท์ที่จำเป็นเพื่อให้เราเข้าใจความสำคัของ Tense นั้นๆ ร่วมกับเทคนิค “Situational

การดำเนินการของเซต

การดำเนินการของเซตประกอบไปด้วย ยูเนียน อินเตอร์เซกชัน คอมพลีเมนต์ของเซต และผลต่าง เรื่องนี้เป็นอีกหนึ่งเรื่องที่เราจะได้ใช้ในบทต่อๆไป เรื่องนี้จึงค่อนข้างมีประโยชน์ในเรื่องของการเรียนเนื้อหาบทต่อไปง่ายขึ้น

การชักชวน และแนะนำในภาษาอังกฤษ

วิธีการพูดเสนอแนะ ชักชวน และแนะนำในภาษาอังกฤษ

  สวัสดีค่ะนักเรียน ม.1 ที่น่ารักทุกคน วันนี้ครูจะพาไปดูวิธีการพูดให้ข้อเสนอแนะ ชักชวน และแนะนำกันค่ะซึ่งในการเสนอแนะ หรือชักชวนนั้น ผู้พูดจะแสดงความคิดเห็นเสนอแนะ เพื่อให้กระทำสิ่งใดสิ่งหนึ่งด้วยกัน มีการใช้ภาษาหลายระดับ และใช้รูปประโยคหลายชนิด เช่นเดียวกับการพูดในความหมายต่างๆ ที่ผ่านมาเราจึงต้องใช้รูปประโยคต่างๆ เช่นประโยคบอกเล่า คำสั่ง ชักชวน เพื่อให้ผู้ฟังทำตาม รวมถึงเทคนิคการตอบรับและปฏิเสธ ดังในตัวอย่างรูปแบบประโยคด้านล่างนะคะ   1. ประโยคบอกเล่า (Statement)  

wh-questions + was, were

การใช้ Wh-questions  with  was, were

สวัสดีค่ะนักเรียนชั้นม.2 ที่น่ารักทุกคน วันนี้เราจะไปเรียนรู้เรื่อง “การใช้ Wh-questions  with  was, were (Verb to be in the past)” ไปลุยกันเลยจร้า Sit back, relax, and enjoy the lesson! —นั่งพิงหลังชิวๆ ทำใจสบายๆ แล้วไปสนุกกับบทเรียนกันจร้า—  

like_dislike + การเขียนข้อมูลเกี่ยวกับตนเอง

การเขียนบรรยายความรู้สึกของตนเอง like/dislike + การเขียนข้อมูลเกี่ยวกับตนเอง

สวัสดีค่ะนักเรียนชั้นป.5 ที่น่ารักทุกคน วันนี้เราจะไปเรียนรู้เรื่อง การเขียนบรรยายความรู้สึกของตนเอง like/dislike + การเขียนข้อมูลเกี่ยวกับตนเอง หากพร้อมแล้วก็ไปลุยกันโลดเด้อ Let’s go! ถาม-ตอบก่อนเรียน หากมีคนถามว่า What do you like doing? หรือ What do you dislike doing? (คุณชอบหรือไม่ชอบทำอะไร) นักเรียนสามารถแต่งประโยคเพื่อตอบคำถาม

Nockacademy web logo 3

ทดลองฟรี!

เข้าใจได้ทันที NockAcademy ไลฟ์สดอันดับ 1 

Nockacademy web logo 3

ทดลองฟรี!

เข้าใจได้ทันที NockAcademy ไลฟ์สดอันดับ 1