ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์

supanaree

คณิตศาสตร์, คณิตศาสตร์เพิ่มเติม, ฟังก์ชันตรีโกณมิติ, ม.5

Add LINE friends for one click to find article.

ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์

ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ จะเกี่ยวข้องกับ θ พิกัดของ จุด (x, y) ซึ่งในบทความนี้จะอธิบายเกี่ยวกับ ความสัมพันธ์ระหว่าง x, y กับ θ

จากบทความที่ผ่านมาเราได้รู้จักวงกลมหนึ่งหน่วยและการวัดความยาวส่วนโค้ง ในบทความนี้น้องๆจะได้รู้จักกับฟังก์ชันไซน์ (sine function) และฟังก์ชันโคไซน์ (cosine function) และวิธีการหาค่าของฟังก์ชันทั้งสอง

Sine function = {(θ, y) | y = sinθ}

cosine function = {(θ, x) | x = cosθ}

จาก P(θ) = (x, y) และจาก x = cosθ และ y = sinθ

จะได้ว่า P(θ) = (cosθ, sinθ)

โดเมนและเรนจ์ของ sine function และ cosine function

โดเมนของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ คือ จำนวนจริง นั่นคือ θ ∈ $\mathbb{R}$

เรนจ์ของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์คือ [-1, 1] นั่นคือ ค่าของ cosθ และ sinθ จะอยู่ในช่วง [-1, 1]

ความสัมพันธ์ของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์

พิจารณาสมการวงกลมหนึ่งหน่วย (รัศมีเป็น 1) x² + y² = 1

เมื่อแทน x = cosθ และ y = sinθ ในสมการของวงกลมหนึ่งหน่วย

จะได้ว่า (cosθ)² + (sinθ)² = 1 สามารถเขียนได้อีกรูปแบบหนึ่ง คือ

cos²θ + sin²θ = 1

การหา ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์

การหาค่าฟังก์ชันไซน์และโคไซน์นั้น น้องๆจะต้องมีพื้นฐานเรื่องความยาวส่วนโค้งและพิกัดจุดปลายส่วนโค้งพร้อมทั้งรู้เรื่องจตุภาคด้วย น้องๆสามารถดูเนื้อหาได้ที่ >>ความยาวส่วนโค้งของวงกลมหนึ่งหน่วย<<

กำหนดให้ P(θ) = (x, y) และ x = cosθ , y = sinθ

พิจารณา θ = 0 จะได้ว่า พิกัดจุดของ P(0) คือ (1, 0) นั่นคือ P(0) = (1, 0)

ดังนั้น x = 1 และ y = 0 นั่นคือ cos(0) = 1 และ sin(0) = 0

พิจารณาที่ θ = $\frac{\pi }{2}$ จะได้ว่า P( $\frac{\pi }{2}$ ) = (0, 1)

ดังนั้น cos( $\frac{\pi }{2}$ ) = 0 และ sin( $\frac{\pi }{2}$ ) = 1

พิจารณา θ = $\pi$ จะได้ว่า P( $\pi$ ) = (-1, 0)

ดังนั้น cos( $\pi$ ) = -1 และ sin( $\pi$ ) = 0

พิจารณาที่ θ = $\frac{3\pi }{2}$ จะได้ว่า P( $\frac{3\pi }{2}$ ) = (0, -1)

ดังนั้น cos( $\frac{3\pi }{2}$ ) = 0 และ cos( $\frac{3\pi }{2}$ ) = -1

การหาค่า sinθ cosθ โดยใช้มือซ้าย

แต่ละนิ้วจะแทนค่าของ θ ดังรูป
เราจะหาค่าโดยการพับนิ้ว เช่น ต้องการหา sin( $\frac{\pi }{3}$ ) เราก็จะพับนิ้วนางลง
เราจะให้นิ้วที่พับลงเป็นตัวแบ่งระหว่าง cos กับ sin ซึ่งจะแบ่งออกเป็นฝั่งซ้ายและฝั่งขวา
ช่องว่างในรูทคือ จำนวนนิ้วที่เรานับได้เมื่อเราพับนิ้วลง
หากต้องการค่า sin ให้นำจำนวนนิ้วฝั่งซ้ายมาเติมในรูท
และหากต้องการค่า cos ให้นำจำนวนนิ้วฝั่งขวามาเติมในรูท

หากน้องๆยังงงๆเรามาดูตัวอย่างกันค่ะ

ต้องการหาค่า cos( $\frac{\pi }{4}$ ) และ sin( $\frac{\pi }{6}$ )

cos( $\frac{\pi }{4}$ )

จากโจทย์เราต้องการหาค่าโคไซน์ ที่ θ = $\frac{\pi }{4}$ ซึ่งตรงกับนิ้วกลาง

ดังนั้นเราจึงพับนิ้วกลางลง และหาค่าโคไซน์เราต้องดูจำนวนนิ้วฝั่งขวาซึ่งก็คือนิ้วที่ถูกระบายด้วยสีส้ม จะเห็นว่ามี 2 นิ้ว ดังนั้น cos( $\frac{\pi }{4}$ ) = $\frac{\sqrt{2}}{2}$

sin( $\frac{\pi }{6}$ )

จากโจทย์ต้องการหาค่าฟังก์ชันไซน์ ที่ θ = $\frac{\pi }{6}$ เราจึงพับนิ้วชี้ลง และดูจำนวนนิ้วฝั่งซ้ายซึ่งก็คือนิ้วที่ถูกทาด้วยสีฟ้า ดังนั้น sin( $\frac{\pi }{6}$ ) = $\frac{1}{2}$

แล้วสมมติว่า θ เป็นค่าอื่นๆนอกเหนือจากค่าเหล่านี้ล่ะ เช่น $\frac{2\pi }{3}$ เราจะหายังไงดี???

จริงๆแล้วค่าของ $\frac{2\pi }{3}$ นั้นเราสามารถดูของ $\frac{\pi }{3}$ ได้เลย แต่!!!! เครื่องหมายอาจจะต่างกัน ให้น้องๆสังเกตว่า ค่าของ $\frac{2\pi }{3}$ นั้นอยู่ควอดรันต์ที่เท่าไหร่ แล้วน้องจะรู้ว่าค่า x ควรเป็นลบหรือเป็นบวก ค่า y ควรเป็นลบหรือเป็นบวก

อย่างเช่น cos( $\frac{2\pi }{3}$ )

เรามาดูกันว่า θ = $\frac{2\pi }{3}$ อยู่ควอดรันต์เท่าไหร่

จะเห็นว่าอยู่ควอดรันต์ที่ 2 ซึ่ง (- , +) ดังนั้น ค่า x เป็นจำนวนลบ ค่า y เป็นจำนวนบวก และเรารู้ว่า x = cosθ ดังนั้น ค่า cos( $\frac{2\pi }{3}$ ) เป็นจำนวนลบแน่นอน

จากนั้นใช้มือซ้ายเพื่อหาค่า cos โดยใช้ค่า θ = $\frac{\pi }{3}$ ได้เลย จะได้ว่า cos( $\frac{\pi }{3}$ ) = $\frac{1}{2}$

ดังนั้น cos( $\frac{2\pi }{3}$ ) = $-\frac{1}{2}$

นอกจากจะดูหาค่าโดยใช้มือซ้ายแล้ว น้องๆสามารถดูตามรูปด้านล่างนี้ได้เลยค่ะ

ในวงกลมที่ระบายสีฟ้านั้น คือค่าของ θ ซึ่งแต่ละ θ ก็จะบอกพิกัดจุด (x, y) ซึ่งก็คือค่าของ cosθ และ sinθ นั่นเอง

เช่น sin( $\frac{5\pi }{6}$ ) = $\frac{1}{2}$ และ cos( $\frac{5\pi }{6}$ ) = $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

ตัวอย่างการหาค่าฟังก์ชันไซน์และโคไซน์

1) หาค่า sin( $\frac{7\pi }{6}$ )

วิธีทำ หาค่า sin( $\frac{\pi }{6}$ )

จะได้ว่า sin( $\frac{\pi }{6}$ ) = $\frac{1}{2}$

จากนั้นดูพิกัดจุดของ P( $\frac{7\pi }{6}$ ) จะได้ว่า อยู่ควอดรันต์ที่ 3 ซึ่ง (- , -) นั่นคือ ค่า x เป็นจำนวนลบ (cosθ เป็นจำนวนลบ) และค่า y เป็นจำนวนลบ

และจาก y = sinθ

ดังนั้น sin( $\frac{7\pi }{6}$ ) = $-\frac{1}{2}$

2) หาค่า sin²( $\frac{\pi }{6}$ ) + cos²( $\frac{\pi }{6}$ )

วิธีทำ จากความสัมพันธ์ของไซน์และโคไซน์ sin²θ + cos²θ = 1

จะได้ว่าค่าของ sin²( $\frac{\pi }{6}$ ) + cos²( $\frac{\pi }{6}$ ) = 1

เนื่องจากว่าเราเรียนคณิตศาสตร์เราจะต้องไม่เชื่ออะไรง่ายๆ ดังนั้นเราจะมาหาค่าโดยใช้วิธีตรงกันค่ะ

จาก sin( $\frac{\pi }{6}$ ) = $\frac{1}{2}$ จะได้ว่า sin²( $\frac{\pi }{6}$ ) = $\frac{1}{4}$ และ cos( $\frac{\pi }{6}$ ) = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ จะได้ว่า cos²( $\frac{\pi }{6}$ ) = $\frac{3}{4}$

ดังนั้น $\frac{1}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = 1

ดังนั้น สรุปได้ว่า sin²( $\frac{\pi }{6}$ ) + cos²( $\frac{\pi }{6}$ ) = 1

3) หาค่า cos²( $\frac{\pi }{2}$ ) + cos²( $\frac{3\pi }{2}$ ) – cos²( $\pi$ )

วิธีทำ จาก cos( $\frac{\pi }{2}$ ) = 0 cos( $\frac{3\pi }{2}$ ) = 0 และ cos( $\pi$ ) = -1

จะได้ว่า cos²( $\frac{\pi }{2}$ ) = 0 cos²( $\frac{3\pi }{2}$ ) = 0 และ cos²( $\pi$ ) = (-1)² = 1

ดังนั้น cos²( $\frac{\pi }{2}$ ) + cos²( $\frac{3\pi }{2}$ ) – cos²( $\pi$ ) = 0 + 0 – 1 = -1

น้องๆสามารถหาแบบฝึกหัดมาทำเพิ่มเติมโดยใช้กฎมือซ้ายในการช่วยหาค่าฟังก์ชันแต่ทั้งนี้น้องๆก็ต้องมีพื้นฐานเกี่ยวกับความยาวจุดปลายส่วนโค้งด้วยนะคะ และการหาค่าฟังก์นั้นนี้หากน้องๆทำบ่อยจะทำให้น้องจำได้ และเวลาสอบก็จะช่วยให้ทำข้อสอบได้เร็วยิ่งขึ้นด้วยค่ะ

NockAcademy คือโรงเรียนออนไลน์สำหรับเด็ก โดยแอปฯ และเว็บไซต์ นักเรียนสามารถเรียนรู้ผ่านคลิปบทเรียนวิชา คณิตศาสตร์ ภาษาอังกฤษ และภาษาไทย
มากไปกว่านั้น เรายังมีคอร์สเรียนออนไลน์ การสอนพิเศษ การติวนอกสถานที่โดยติวเตอร์ที่แน่นไปด้วยความรู้ อีกด้วย

แค่ 10 นาที ก็เข้าใจได้

สามารถดูคลิปบทเรียนวิชา คณิตศาสตร์ ภาษาอังกฤษ และภาษาไทย ที่มีมากกว่า 2,000+ คลิป และยังสามารถทำแบบทดสอบที่มีมากกว่า 4000+ ข้อ

แนะนำ

แชร์

สถิติ (เส้นโค้งความถี่)

บทความนี้ได้รวบรวมความรู้เรื่อง สถิติ (เส้นโค้งความถี่) ซึ่งก่อนที่จะเรียนเรื่องนี้ น้องๆจะต้องมีความรู้ในเรื่อง ค่ากลางของข้อมูล และการวัดการกระจายของข้อมูล สามารถศึกษาเพิ่มเติมได้ที่ ⇒⇒ สถิติ (ค่ากลางของข้อมูล/การกระจายของข้อมูล) ⇐⇐ เส้นโค้งของความถี่ จะมีอยู่ 3 แบบ คือ เส้นโค้งปกติ เส้นโค้งเบ้ขวา และเส้นโค้งเบ้ซ้าย ซึ่งจะมีความสัมพันธ์กับค่ากลางของข้อมูล ได้แก่ ค่าเฉลี่ยเลขคณิต (μ) มัธยฐาน (Med) และฐานนิยม

Comparison of Adjectives การเปรียบเทียบคำคุณศัพท์ในภาษาอังกฤษ

สวัสดีค่ะนักเรียนชั้นป. 5 ที่น่ารักทุกคน ยินดีต้อนรับทุกคนเข้าสู่บทเรียนเรื่องคำคุณศัพท์กันนะคะ วันนี้ครูได้ สรุปเรื่อง Comparison of Adjectives หรือ การเปรียบเทียบคำคุณศัพท์ในภาษาอังกฤษ มาฝาก ไปลุยกันเลย ความหมาย Comparison of Adjectives คือ การเปรียบเทียบคำคุณศัพท์ ที่ใช้ในการเปรียบเทียบคน สัตว์ สิ่งของ หรือ อื่นๆ

ภาษาเขมรในภาษาไทย เรียนรู้ความเป็นมาและลักษณะภาษา

ภาษาเขมร เป็นภาษาประจำชาติของประเทศกัมพูชา และยังเป็นภาษาที่คนไทยเชื้อสายเขมรใช้พูดกันอีกด้วย แต่นอกจากนั้นแล้ว น้อง ๆ ทราบไหมคะว่ายังมีคำที่มาจากภาษาเขมรปนอยู่ในชีวิตเรามากมายเลยทีเดียว เรียกได้ว่าถ้าหากภาษาบาลีสันสกฤตเป็นภาษาต่างประเทศที่ถูกหยิบยืมมาปรับใช้ในภาษาไทยมากที่สุดแล้ว ภาษาเขมรก็ถือว่าตามมาติด ๆ เลยทีเดียวค่ะ เหตุใดจึงเป็นเช่นนั้น แล้วคำไหนบ้างที่มาจากภาษาเขมร มีวิธีสังเกตอย่างไร ถ้าน้อง ๆ พร้อมแล้ว ไปเรียนรู้เรื่อง ภาษาเขมรในภาษาไทย พร้อมกันเลยค่ะ จุดเริ่มต้นของภาษาเขมรในภาษาไทย เนื่องจากเขตประเทศที่อยู่ติดกัน

วงรี

วงรี วงรี จะประกอบไปด้วย 1) แกนเอกคือแกนที่ยาวที่สุด และแกนโทคือแกนที่สั้นกว่า 2) จุดยอด 3) จุดโฟกัส ซึ่งจะแตกต่างกันไปแล้วแต่ว่าแกนใดเป็นแกนเอก 4) ความเยื้องศูนย์กลาง (eccentricity) วงรี ที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด จากกราฟ สมการรูปแบบมาตรฐาน: จุดยอด : (a, 0) และ (-a,

ดีเทอร์มิแนนต์

ดีเทอร์มิแนนต์ ดีเทอร์มิแนนต์ (Determinant) คือ ค่าของตัวเลขที่สอดคล้องกับเมทริกซ์จัตุรัส ถ้า A เป็นเมทริกซ์จัตุรัส จะเขียนแทนดีเทอร์มิแนนต์ของ A ด้วย det(A) หรือ โดยทั่วไปการหาค่าดีเทอร์มิแนนต์ที่เจอในข้อสอบจะไม่เกินเมทริกซ์ 3×3 เพราะถ้ามากกว่า 3 แล้ว จะเริ่มมีความยุ่งยาก **ค่าของดีเทอร์มิแนนต์จะเป็นจำนวนจริงและมีเพียงค่าเดียวเท่านั้นที่จะสอดคล้องกับเมทริกซ์จัตุรัส เช่น เมทริกซ์ B ก็จะมีค่าดีเทอร์มิแนนต์เพียงค่าเดียวเท่านั้น**

Even if, Only If, Unless ใช้ยังไงในภาษาอังกฤษ

สวัสดีค่ะนักเรียนชั้นม. 6 ทุกคน วันนี้ครูมีเทคนิคการใช้ Even if, Only if, Unless มาฝากกันค่ะ หลายคนที่อาจจะเคยคุ้นหูกันมาบ้างแล้ว แต่อาจะจะลืมไปหรือบางคนอาจจะยังไม่เคยเรียนเลย ไม่เป็นไรค่ะ วันนี้เราจะเริ่มกันใหม่ ไปลุยกันเลย ความหมายโดยรวมของ Even if, Only if, Unless คือ คำสันธานที่ใช้เชื่อมความขัดแย้งของประโยคเงื่อนไข ย้ำนะคะว่า

ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์

สารบัญ

ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์

โดเมนและเรนจ์ของ sine function และ cosine function

ความสัมพันธ์ของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์

การหา ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์

การหาค่า sinθ cosθ โดยใช้มือซ้าย

ตัวอย่างการหาค่าฟังก์ชันไซน์และโคไซน์

แค่ 10 นาที ก็เข้าใจได้

แนะนำ

แชร์

สถิติ (เส้นโค้งความถี่)

Comparison of Adjectives การเปรียบเทียบคำคุณศัพท์ในภาษาอังกฤษ

ภาษาเขมรในภาษาไทย เรียนรู้ความเป็นมาและลักษณะภาษา

วงรี

ดีเทอร์มิแนนต์

Even if, Only If, Unless ใช้ยังไงในภาษาอังกฤษ

NockAcademy

ติดต่อ

เกี่ยวกับเรา

ความช่วยเหลือ

ทดลองฟรี!

เข้าใจได้ทันที NockAcademy ไลฟ์สดอันดับ 1

ทดลองฟรี!

เข้าใจได้ทันที NockAcademy ไลฟ์สดอันดับ 1