การบวก ลบ และคูณเมทริกซ์

การบวก ลบ และคูณเมทริกซ์ เราจะนำสมาชิกของเมทริกซ์แต่ละเมทริกซ์มาบวก ลบ คูณกัน ซึ่งการดำเนินการเหล่านี้มีสมบัติและข้อยกเว้นต่างกันไป เช่น การบวกต้องเอาสมาชิกตำแหน่งเดียวกันมาบวกกัน เป็นต้น

ต่อไปเราจะมาดูวิธีการบวก ลบ และคูณเมทริกซ์กันค่ะ

การบวกเมทริกซ์

เมทริกซ์ที่จะนำมาบวกกันได้นั้น ต้องมีมิติเท่ากัน และการบวกจะนำสมาชิกตำแหน่งเดียวกันมาบวกกัน

เช่น

1.) [1234]+[5678]=[1+52+63+74+8]=[681012]\begin{bmatrix} 1 &2 \\ 3& 4 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 5 &6 \\ 7& 8 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1+5 &2+6 \\ 3+7& 4+8 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 6 &8 \\ 10& 12 \end{bmatrix}

2.) [259731]+[204195]=[2+25+09+47+13+91+5]=[45138126]\begin{bmatrix} 2 &5 &9 \\ 7& 3 & 1 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 2 & 0 &4 \\ 1& 9& 5 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2+2 &5+0 &9+4 \\ 7+1& 3+9& 1+5 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 4 &5 &13 \\ 8& 12& 6 \end{bmatrix}

การลบเมทริกซ์

การลบเมทริกซ์จะคล้ายๆกับการบวกเมทริกซ์เลย คือ มิติของเมทริกซ์ที่จะนำมาบวกกันจะต้องเท่ากัน แต่ต่างกันตรงที่สมาชิกข้างในเมทริกซ์จะต้องนำมาลบกัน เช่น

1.) [1234]−[5678]=[1−52−63−74−8]=[−4−4−4−4]\begin{bmatrix} 1 &2 \\ 3& 4 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 5 &6 \\ 7& 8 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1-5 &2-6 \\ 3-7& 4-8 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -4 &-4 \\ -4& -4 \end{bmatrix}

2.) [259731]−[204195]=[2−25−09−47−13−91−5]=[0556−6−4]\begin{bmatrix} 2 &5 &9 \\ 7& 3 & 1 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 2 & 0 &4 \\ 1& 9& 5 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2-2 &5-0 &9-4 \\ 7-1& 3-9& 1-5 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 &5 &5 \\ 6& -6& -4 \end{bmatrix}

สมบัติการบวกเมทริกซ์

  1. สมบัติปิดการบวก คือ เมทริกซ์ที่มีมิติเดียวกันบวกกันแล้วผลลัพธ์ยังเป็นเมทริกซ์เหมือนเดิมและมิติก็เท่าเดิมด้วย
  2. สมบัติการสลับที่การบวก คือ ให้ A และ B เป็นเมทริกซ์ จะได้ว่า A +B = B +A
  3. สมบัติการเปลี่ยนหมู่ คือ (A + B) + C = A + (B + C)
  4. สมบัติการมีเอกลักษณ์การบวก ซึ่งเอกลักษณ์การบวกของเมทริกซ์ คือ เมทริกซ์ศูนย์ (สมาชิกทุกตำแหน่งเป็น 0) เขียนแทนด้วย 0‾\underbar{0}
  5. สมบัติการมีตัวผกผัน คือ ถ้า A เป็นเมทริกซ์ใดๆแล้วจะได้ว่า (-A) เป็นเมทริกซ์ผกผันของ A ซึ่งเมื่อนำ A มาบวกกับ -A แล้วจะได้เมทริกซ์ศูนย์

การคูณเมทริกซ์ ด้วยจำนวนจริง

การคูณเมทริกซ์ด้วยจำนวนจริงคือ การนำจำนวนจริงค่าหนึ่งคูณกับเมทริกซ์ ซึ่งวิธีการคูณแบบนี้น้องๆสามารถนำจำนวนจริงนั้นเข้าไปคูณกับสมาชิกในตำแหน่งในเมทริกซ์ (ต้องคูณทุกตัวแหน่ง) และเมทริกซ์นั้นจะเป็นกี่มิติก็ได้ เช่น

2[13791113]=[2(1)2(3)2(7)2(9)2(11)2(13)]=[2614182226]2 \begin{bmatrix} 1 &3 \\ 7&9 \\ 11&13 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2(1) &2(3) \\ 2(7)&2(9) \\ 2(11) &2(13) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 & 6\\ 14&18 \\ 22& 26 \end{bmatrix}

สมบัติการคูณเมทริกซ์ด้วยจำนวนจริง

ให้ A, B เป็นเมทริกซ์ที่มีมิติ m×nm\times n และ c, d เป็นจำนวนจริง

  1. (cd)A = c(dA) = d(cA) เช่น 6[1234]=(2)(3)[1234]=2[(3)1(3)2(3)3(3)4]=3[(2)1(2)2(2)3(2)4]6\begin{bmatrix} 1 &2 \\ 3&4 \end{bmatrix}=(2)(3)\begin{bmatrix} 1 &2 \\ 3&4 \end{bmatrix}=2\begin{bmatrix} (3)1 &(3)2 \\ (3)3&(3)4 \end{bmatrix}=3\begin{bmatrix} (2)1 &(2)2 \\ (2)3& (2)4 \end{bmatrix}
  2. c(A + B) = cA + cB
  3. (c + d)A = cA + dA
  4. 1(A) = A และ -1(A) = -A

การคูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์

เมทริกซ์ที่จะคูณกันได้ต้องมีหลักเกณฑ์ดังนี้

1.) จำนวนหลักของเมทริกซ์ตัวหน้าต้อง เท่ากับ จำนวนแถวของเมทริกซ์ตัวหลัง

2.) มิติของเมทริกซ์ผลลัพธ์จะเท่ากับ จำนวนแถวของตัวหน้าคูณจำนวนหลักของตัวหลัง

เช่น

การบวก ลบ และคูณเมทริกซ์

วิธีการคูณเมทริกซ์

การบวก ลบ และคูณเมทริกซ์

สมบัติการคูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์

1.) สมบัติการเปลี่ยนหมู่

ถ้า A, B และ C เป็นเมทริกซ์ที่สามารถคูณติดต่อกันได้ จะได้ A(BC) = (AB)C

2.) สมบัติการมีเอกลักษณ์

เอกลักษณ์การคูณของเมทริกซ์ คือ InI_n

น้องๆสามารถทำความรู้จักกับเมทริกซ์เอกลักษณ์เพิ่มเติม ได้ที่ >>> เมทริกซ์เอกลักษณ์

**เมทริกซ์ที่มีเอกลักษณ์ คือ เมทริกซ์จัตุรัส

3.) สมบัติการรแจกแจง

(A + B)C = AC + BC

A(B +C) = AB + AC

แต่!! เมทริกซ์จะมีสมบัติการแจกแจง เมื่อ A + B, B + C, AB, AC, BC สามารถหาค่าได้

สิ่งที่น้องๆต้องรู้เกี่ยวกับการคูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์

1.) ไม่มีสมบัติการสลับที่การคูณ นั่นคือ AB ไม่จำเป็นต้องเท่ากับ BA เช่น

การบวก ลบ และคูณเมทริกซ์

2.) เมื่อ AB = BA จะได้

  1. (A+B)2=A2+2AB+B2(A+B)^2=A^2+2AB+B^2
  2. (A−B)2=A2−2AB+B2(A-B)^2=A^2-2AB+B^2
  3. A2−B2=(A+B)(A−B)A^2-B^2=(A+B)(A-B)

3.) ถ้า AB=0‾AB=\underbar{0} ไม่จำเป็นที่ A≠0‾A\neq \underbar{0} หรือ B≠0‾B\neq \underbar{0}

4.) ถ้า AB=ACAB=AC โดยที่ A≠0‾A\neq \underbar{0} ไม่จำเป็นที่ B=CB=C