การดำเนินการของเซต คือ การนำเซตที่มีอยู่แล้วมาดำเนินการเพื่อให้ได้เซตใหม่ เราจะใช้แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์เพื่อช่วยให้เห็นภาพและเข้าใจได้ง่ายขึ้น
การเขียนแผนภาพ เราจะใช้เอกภพสัมพัทธ์ U ด้วยรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ส่วนเซตที่อยู่ใน U เราอาจจะเขียนแทนด้วยวงกลม วงรี หรือรูปอื่นๆ เช่น
การยูเนียน (union)
เราจะใช้สัญลักษณ์ ∪ แทนการยูเนียน
A ∪ B อ่านว่า A ยูเนียน B คือการเอาสมาชิกทั้งหมดในเซต A รวมกับ สมาชิกทั้งหมดในเซต B
เช่น ให้ A = {1,2,3} B = {1,a,b,c} จะได้ A∪B = {1,2,3,a,b,c}
สมบัติของการยูเนียน
ให้ A,B,C เป็นเซตย่อยของเอกภพสัมพัทธ์
1.) A∪Ø = A
2.) A∪B = B∪A
3.) A∪(B∪C) = (A∪B)∪C
4.) A∪A = A
การอินเตอร์เซกชัน (intersection)
เราจะใช้สัญลักษณ์ ∩ แทนการอินเตอร์เซกชัน
A∩B อ่านว่า A อินเตอร์เซกชัน B คือ เซตที่สร้างมาจากส่วนที่ A กับ B มีสมาชิกร่วมกัน
เช่น A = {1,2,3,4,5} B = {2,4,5,a,b} จะได้ว่า A∩B = {2,4,5}
A∩B คือส่วนที่ A กับ B ซ้ำกัน
สมบัติของการอินเตอร์เซกชัน
ให้ A,B,C เป็นเซตย่อยของเอกภพสัมพัทธ์
1.) A∩Ø = Ø
2.) A∩U = A
3.) A∩B = B∩A
4.) (A∩B)∩C = A∩(B∩C)
5.) A∩A = A
ตัวอย่างการยูเนียนและอินเตอร์เซกชัน
ให้ A,B,C เป็นเซตย่อยของเอกภพสัมพัทธ์ U
ให้แรเงาตามที่โจทย์กำหนด
1.) A∪B
2.) A∩B
3.) (A∩B)∪C
เราจะทำในวงเล็บก่อน
4.) A∩B∩C
ส่วนเติมเต็ม (complement)
ให้A เป็นเซตย่อยของ U เราจะใช้ A′ แทน ส่วนเติมเต็มของ A
พูดให้เข้าใจง่าย A′ ก็คือ ส่วนที่ไม่ใช่ A
สมบัติของส่วนเติมเต็ม
ให้ A และ B เป็นเซตย่อยของ U
1.) (A′)′ = A
2.) A∩A′ = Ø
3.) A∪A′ = U
4.) (A∪B)′ = A′∩B′
5.) (A∩B)′ = A′∪B′
6.) Ø′ = U
7.) U′ = Ø
ผลต่างเซต (difference)
ให้ A และ B เป็นเซตย่อยของ U
ผลต่างของเซต A กับเซต B เขียนแทนด้วย A-B
A-B คือเซตที่มีสมาชิกของA แต่ไม่มีสมาชิกของ B
trick!! A-B ก็คือ เอาA ไม่เอา B
เช่น A = {1,2,3,4,a,b,c,d} B = {3,4,c,d,e,f}
จะได้ว่า A-B = {1,2,a,b} และ B-A = {e,f}
ภาพประกอบตัวอย่าง
สมบัติที่ควรรู้
ตัวอย่าง
ระบายสีตามที่โจทย์กำหนดให้
2.) ให้เอกภพสัมพัทธ์ U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,10}
A ={0,1,3,5,7,9}, B = {0,2,4,6,8,10}
C = {0,3,5,6,8}
จงหา
1.) (A∪B′)∪C
วิธีทำ จากโจทย์ จะได้ว่า (A∪B′)∪C = (A∪C)∪(B′∪C)
พิจารณา A∪C
จากนั้นพิจารณา B′∪C
และนำทั้งสองมายูเนียนกัน จะได้
ดังนั้น (A∪B′)∪C = {0,1,3,5,6,7,8,9}
2.) (A∪C)∩(A∪B)
วิธีทำ พิจารณา (A∪C) จะได้
จากนั้นพิจารณา (A∪B) จะได้
จากนั้นก็นำทั้งสองมาอินเตอร์เซกชัน เราจะได้ส่วนที่ซ้ำกันดังนี้
ดังนั้น (A∪C)∩(A∪B) = {0,1,3,5,6,7,8,9}
3.) A-(B∩C)
วิธีทำ พอจารณา (B∩C) จะได้
จากนั้นพิจารณา A-(B∩C) จะได้
ดังนั้น A-(B∩C) = {1,3,5,7,9}
