ลำดับเลขคณิต

supanaree

คณิตศาสตร์, ม.6, ลำดับและอนุกรม

Add LINE friends for one click to find article.

ลำดับเลขคณิต

ลำดับเลขคณิต คือลำดับที่มีค่าเพิ่มขึ้นหรือลดลงอย่างคงที่ โดยจำนวนที่เพิ่มขึ้นหรือลดลงนี้เราเรียกว่าผลต่างร่วม แทนด้วยสัญลักษณ์ d โดยที่ d = พจน์ขวา – พจน์ซ้าย

การเขียนลำดับเราจะเขียนแทนด้วย $ลำดับเลขคณิต$ โดยที่ $a_n$ คือพจน์ทั่วไปหรือเรียกอีกอย่างว่า พจน์สุดท้ายนั่นเอง

การหาพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิต

พจน์ที่1 $\rightarrow$ n = 1 ; $a_{1}=a_{1}$

พจน์ที่2 $\rightarrow$ n = 2 ; $a_{2}=a_{1}+d$

พจน์ที่3 $\rightarrow$ n = 3 ; $a_{3}=a_{2}+d+d =a_{2}+2d$

$=a_{1}+d+d$

. $=a_{1}+2d$

พจน์ที่ n $\rightarrow$ n = n ; $a_{n}=a_{n-1}+d$

$ลำดับเลขคณิต$

ดังนั้น สูตรในการหาพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิต

$ลำดับเลขคณิต$

วิธีการแก้โจทย์ปัญหาที่เกี่ยวกับลำดับเลขคณิต

ต้องรู้ว่าโจทย์ถามหาอะไร จากนั้นเขียนสิ่งที่โจทย์ต้องการไว้ เช่น โจทย์ต้องการหาพจน์ที่ 5 เราจะเขียน $a_5=a_1+4d$ จากนั้นเราก็จะรู้แล้วว่าเราต้องหาอะไรเพื่อให้สมการมันสมบูรณ์และได้คำตอบที่ต้องการ
ดูว่าโจทย์ให้อะไรมาบ้าง โจทย์บางโจทย์อาจจะไม่ให้มาแบบตรงๆ เช่น 1, 3, 5,7,… สิ่งที่โจทย์ให้มาคือ $a_1$ และ d จะเห็นว่าโจทย์ไม่ได้ให้ d มาตรงๆแต่เราต้องสังเกตเอง
ใช้สิ่งที่โจทย์มา ในการหาสิ่งที่เราต้องการในข้อ 1.

จากข้อ 1-3 ถ้าทำครบตามนี้เราก็จะได้คำตอบตามต้องการแล้ว ทั้งนี้ต้องอาศัยการสังเกต และการฝึกทำบ่อยๆให้ชินด้วย

ตัวอย่างลำดับเลขคณิต

โจทย์ลำดับเลขคณิตนั้น สามารถพลิกแพลงได้เยอะมาก ไม่ว่าจะเป็น หาพจน์ที่ n หาว่าค่าที่กำหนดให้นั้นคือพจน์ที่เท่าไหร่ และอีกมากมาย เราไปดูตัวอย่างกันเลย

1. จงหาพจน์ทั่วไป ( $a_{n}$ ) ของ 5, 7, 9, 11, …

จากโจทย์ $\inline a_{1}=5$ $\inline d=7-5=2$

จากสูตร $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$

จะได้ $a_{n}=5+(n-1)(2)$

$=5+2n-2$

$=3+2n$

ดังนั้น $a_{n}=3+2n$

2. ให้ a และ b เป็นจำนวนจริงบวก ถ้า a, 10, b, 20, … เป็นลำดับเลขคณิตจงหาพจน์ที่ 10 , a และ b

จากสูตร $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$

$10=a_{1}+d$ $\cdots$ (1)

$20=a_{1}+3d$ $\cdots$ (2)

(2) – (1) : $10=2d$

$d=5$

แทน $\inline d=5$ ใน (1) : $\inline 10=a_{1}+5$

$\inline a_{1}=5$

$\therefore$ $a=5$ และ $b=5+2(5)=15$

ดังนั้น $a_{10}=5+9(5)$

$=50$

3. ถ้าพจน์ที่ 5 และพจน์ที่ 10 ของลำดับเลขคณิตเป็น 14 และ 29 ตามลำดับ แล้วพจน์ที่ 99 เท่ากับเท่าใด

จากสูตร $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$

พจน์ที่ 5 จะได้ว่า $\inline a_{5}=14=a_{1}+4d$ $\cdots$ (1)

พจน์ที่ 10 จะได้ว่า $\inline a_{10}=29=a_{1}+9d$ $\cdots$ (2)

(2) – (1) : $15=5d$

$d=3$

แทน $\inline d=3$ ใน (1) : $\inline 14=a_{1}+4(3)$

$\inline a_{1}=14-12=5$

$\therefore$ $a_{1}=2$ และ $\inline d=3$

พจน์ที่ 99

$a_{99}=a_{1}+98(d)$

$=2+98(3)$

$=296$

4. ลำดับ -24, -15, -6, 3, 12, 21, … , 1776 มีกี่พจน์ (O-net 54)

จากโจทย์ $d=-15-(-24)=9$ และ $a_{1}=-24$

“พจน์สุดท้าย (พจน์ที่ n ) มีค่าเท่ากับ 1776”

หา n โดยที่ $a_{n}=1776$

$1776=-24+(n-1)(9)$

$1776=-24+9n-9$

$1776+33=9n$

$n=\frac{1809}{9}=201$

ดังนั้น ลำดับดังกล่าวมี 201 พจน์

5. พจน์ที่ 60 ของลำดับเลขคณิต x + 2 , 2x – 5, 2x + 2, …เท่ากับเท่าไหร่

จากโจทย์สิ่งที่ต้องการหาคือ $a_{60}$

สื่งที่โจทย์ให้มาคือ พจน์แรก และ

สิ่งแรกที่ต้องทำคือหา x โดยใช้สูตรลำดับเลขคณิต

จาก d = พจน์ซ้าย – พจน์ขวา

d = 2x – 5 – (x + 2) = 2x + 2 – (2x – 5)

x – 7 = 7

x = 14

เมื่อนำค่า x ที่หาได้ไปแทน จะได้ลำดับเลขคณิต ดังนี้ 16, 23, 30,…

จากลำดับข้างต้นจะได้ d = 23 – 16 = 7

หา พจน์ที่ 60

$a_{60}=16+59(7)=16+413=429$

ดังนั้น พจน์ที่ 60 เท่ากับ 429

6. ลำดับเลขคณิต 4 จำนวนที่อยู่กลางระหว่าง 4 กับ 49 คือจำนวนใดบ้าง

ลองเขียนอนุกรมจะได้ 4, a, b, c, d, 49

จากโจทย์สิ่งที่เรารู้คือ พจน์แรก และพจน์สุดท้าย ดังนั้นเราามารถหา d จากพจน์สุดท้ายได้ โดยใช้สูตรลำดับเลขคณิต

ได้เป็น

49 = 4 + 5d (เนื่องจาก 49 คือพจน์ที่ 6 ดังนั้น n -1 = 5)

45 = 5d

d = 9

เขียนเป็นลำดับเลขคณิตได้เป็น 4, 13, 22, 31, 40, 49

ดังนั้น 4 พจน์ที่อยู่กลางระหว่าง 4 กับ 29 คือ 13, 22, 31, 40 ตามลำดับ

ตัวอย่างโจทย์ปัญหาเกี่ยวกับ ลำดับเลขคณิต

1.) แป้งกู้เงินมาจำนวนหนึ่ง โดยจ่ายเงินเดือนแรก 200 บาท และเดือนถัดไปแป้งต้องจ่ายเพิ่มทุกเดือนเดือนละ 50 บาท หลังจากชำระหมดพบว่าเดือนสุดท้ายแป้งจ่ายเงินไป 950 บาท แป้งจ่ายเงินไปทั้งสิ้นกี่เดือน

วิธีทำ

1. หาว่าโจทย์ต้องการอะไร

จะเห็นว่า โจทย์ถามว่าจ่ายเงินไปกี่เดือน นั่นก็คือหาจำนวนเดือน หรือ หา n นั่นเอง

เราจะหา n ได้จากสูตร $ลำดับเลขคณิต$ ดังนั้นเราต้องหา $a_n,a_1$ และ d

2. ดูว่าโจทย์ให้อะไรมาบ้าง

จากโจทย์ สามารถเขียนได้เป็น 200, 250, 300,…, 950

จะเห็นว่า โจทย์ให้ $a_1=200$ , d = 50 และ $a_n=950$

3. นำข้อ 2 ไปเติมในสูตรที่เราเขียนไว้ จะได้ว่า

$a_n=a_1+(n-1)d$

950=200+(n-1)(50)

950=200+50n – 50

950 = 150 + 50n

800 = 50n

n = 16

ดังนั้น แป้งจ่ายเงินไปทั้งหมด 16 เดือน

2.) แป้งมีเงินในเก็บ 20 บาท และจะเก็บเพิ่มทุกวันวันละ 3 บาท ปริมมีเงินในธนาคาร 300 บาท และจะฝากเงินเพิ่มวันละ 20 บาททุกวัน ในวันที่ แป้งมีเงินในกระปุก 44 บาท ปริมจะมีเงินในธนาคารกี่บาท

วิธีทำ 1. โจทย์ต้องการหา จำนวนเงินของปริมในวันที่(n)แป้งมีเงิน 44 บาท นั่นคือ เราต้องหาจำนวนวันที่แป้งมีเงิน 44 บาท (หา n) จากนั้น หาว่าปริมมีเงินเท่าไหร่ในวันที่ n

2. สิ่งที่โจทย์ให้มา

20, 23, 26, …, 44 (การเก็บเงินของแป้ง) d = 3

300, 320,340, … (การเก็บเงินในธนาคารของปริม) d = 20

3. นำข้อมูลจากข้อ 2 มาแก้โจทย์

หาว่า วันที่แป้งมีเงิน 44 บาท คือวันที่เท่าไหร่

44=20+(n-1)(3) (สูตรลำดับเลขคณิต)

44=20+3n -3

44=17 + 3n

27 = 3n

n = 9

ดังนั้น วันที่ 9 แป้งมีเงินเก็บ 44 บาท

จากนั้นเราจะหาว่า วันที่ 9 ปริมมีเงินเก็บเท่าไหร่โดยใช้สูตรลำดับเลขคณิต

$a_9=300+(8-1)(20)$

$a_9=300+7(20)=300+140=440$

ดังนั้นวันที่แป้งมีเงินเก็บ 44 บาท ปริมจะมีเงินทั้งหมด 440 บาท

วิดีโอเพิ่มเติมเกี่ยวกับลำดับเลขคณิต

NockAcademy คือโรงเรียนออนไลน์สำหรับเด็ก โดยแอปฯ และเว็บไซต์ นักเรียนสามารถเรียนรู้ผ่านคลิปบทเรียนวิชา คณิตศาสตร์ ภาษาอังกฤษ และภาษาไทย
มากไปกว่านั้น เรายังมีคอร์สเรียนออนไลน์ การสอนพิเศษ การติวนอกสถานที่โดยติวเตอร์ที่แน่นไปด้วยความรู้ อีกด้วย

แค่ 10 นาที ก็เข้าใจได้

สามารถดูคลิปบทเรียนวิชา คณิตศาสตร์ ภาษาอังกฤษ และภาษาไทย ที่มีมากกว่า 2,000+ คลิป และยังสามารถทำแบบทดสอบที่มีมากกว่า 4000+ ข้อ

แนะนำ

แชร์

นิราศภูเขาทอง ศึกษาตัวบทที่น่าสนใจและคุณค่าที่แฝงอยู่ในเรื่อง

นิราศภูเขาทองเป็นหนึ่งในนิราศที่ได้รับการยกย่องว่าแต่งดีของสุนทรภู่ เป็นงานอันทรงคุณค่าที่ใช้เป็นแบบเรียนภาษาไทยในปัจจุบัน เรามาถอดคำประพันธ์ตัวบทที่น่าสนใจในนิราศภูเขาทองกันดีกว่าค่ะว่ามีบทไหนที่เด่น ๆ ควรศึกษาและจดจำไว้เพื่อไม่ให้พลาดในการทำข้อสอบ ถอดคำประพันธ์ นิราศภูเขาทอง เนื่องจากนิราศภูเขาทองมีหลายบท ในที่นี้จะเลือกเฉพาะบทที่เด่น ๆ มาศึกษากันนะคะ เราไปดูกันที่บทแรกเลยค่ะ ถอดคำประพันธ์ บทนี้เป็นการเปรียบเทียบการดื่มเหล้ากับความรัก เหล้าเป็นอบายมุข เมื่อดื่มเข้าไปจะทำให้มีอาการมึนเมา สติสัมปชัญญะไม่ครบถ้วน แต่เมื่อเวลาผ่านไปอาการมึนเมาเหล่านั้นก็จะหายไป แต่หากหลงมัวเมาอยู่กับความรัก ไม่ว่าจะใช้เวลาเท่าไหร่ก็หายไปง่าย ๆ

Let Me Introduce Myself: พูดเกี่ยวกับตัวเองแบบง่าย

พี่เชื่อว่าพอเปิดเทอมทีไรสิ่งที่เราต้องทำนั่นก็คือ การแนะนำตัวเอง ไม่ว่าจะเป็นทั้งในวิชาภาษาอังกฤษ หรือวิชาอื่นๆ นอกจากการแนะนำตัวเองแล้ว น้องๆ อาจจะต้องพูดบรรยายเกี่ยวกับตัวเองอีกด้วย วันนี้เราจะมาดูกันว่าเราจะสามารถพูดและบรรยายเกี่ยวกับตนเองให้น่าสนใจได้อย่างไรบ้าง

การใช้ This, That, These, Those

สวัสดีค่ะนักเรียนชั้นม.1 ที่น่ารักทุกคนวันนี้เราจะไปเรียนเรื่อง การใช้ This, That, These, Those ในภาษาอังกฤษ กันค่ะ พร้อมแล้วก็ไปลุยกันเลยจ้า บทนำ ก่อนที่นักเรียนจะไปเรียนเรื่อง การใช้ This, That, These, Those ครูอยากจะให้ลองดูตัวอย่างของการใช้ This, That, These, Those (Determiners) และ

สมบัติของการเท่ากัน

การหาคำตอบของสมการนั้น ต้องใช้สมบัติการเท่ากันมาช่วยในการหาคำตอบ จะรวดเร็วกว่าการแทนค่าตัวแปรในสมการซึ่งสมบัติการเท่ากันที่ใช้ในการแก้สมการได้แก่ สมบัติสมมาตร สมบัติถ่ายทอด สมบัติการบวก และสมบัติการคูณ เรามาทำความรู้จักสมบัติเหล่านี้กันค่ะ สมบัติสมมาตร ถ้า a = b แล้ว b = a เมื่อ a และ

ศึกษาที่มาของ ขัตติยพันธกรณี บทประพันธ์ที่มาจากเรื่องจริงในอดีต

ขัตติยพันธกรณี เป็นพระราชนิพนธ์ในรัชกาลที่ 5 มีที่มาจากเหตุการณ์จริงในประวัติศาสตร์ น้อง ๆ สงสัยกันไหมคะว่าเกี่ยวกับเรื่องไหน เหตุใดพระองค์จึงต้องพระราชนิพนธ์วรรณคดีเรื่องนี้ขึ้นมา เราไปหาคำตอบถึงที่มา ความสำคัญ และเนื้อเรื่องกันเลยค่ะ รับรองว่านอกจากจะได้ความรู้เกี่ยวกับบทประพันธ์แล้ว บทเรียนในวันนี้ยังมีเกร็ดความรู้ทางประวัติศาสตร์ให้น้อง ๆ อีกด้วยค่ะ ถ้าพร้อมแล้วเราไปเรียนรู้เรื่องนี้พร้อมกันเลยค่ะ ที่มาของ ขัตติยพันธกรณี ขัตติยพันธกรณีมีความหมายถึงเหตุอันเป็นข้อผูกพันของกษัตริย์ เป็นพระราชหัตถเลขาของพระบาทสมเด็จพระจุลจอมเกล้าเจ้าอยู่หัวและตอบกลับโดยสมเด็จกรมพระยาดำรงราชานุภาพ มีที่มาจากเหตุการณ์จริงในประวัติศาสตร์ ช่วง

การใช้ตัวเชื่อม (Connective words): First,… Second,… Third,… Fourth,… Finally,…

การใช้ตัวเชื่อม (Connective words) สวัสดีค่ะนักเรียน ม.2 ทุกคน วันนี้ครูมีเทคนิคที่จะทำให้ทุกคนนำไปปรับใช้กับงานเขียนด้วย การใช้ตัวเชื่อม (connective words) ในภาษาอังกฤษกันค่ะ โดยปรกติแล้วงานเขียนแบ่งออกออกเป็นสองรูปแบบหลักๆคือ เรียงความ (Essay Writing) กับ พารากราฟ (Paragraph Writing) ขอสรุปสั้นๆง่ายๆ ให้ทุกคนเข้าใจว่า Essay คือเรียงความเพราะฉะนั้นจะยาวกว่า Paragraph ที่เป็นเพียงย่อหน้าหนึ่งเท่านั้นนั่นเองค่ะ

ลำดับเลขคณิต

สารบัญ

ลำดับเลขคณิต

ตัวอย่างลำดับเลขคณิต

ตัวอย่างโจทย์ปัญหาเกี่ยวกับ ลำดับเลขคณิต

วิดีโอเพิ่มเติมเกี่ยวกับลำดับเลขคณิต

แค่ 10 นาที ก็เข้าใจได้

แนะนำ

แชร์

นิราศภูเขาทอง ศึกษาตัวบทที่น่าสนใจและคุณค่าที่แฝงอยู่ในเรื่อง

Let Me Introduce Myself: พูดเกี่ยวกับตัวเองแบบง่าย

การใช้ This, That, These, Those

สมบัติของการเท่ากัน

ศึกษาที่มาของ ขัตติยพันธกรณี บทประพันธ์ที่มาจากเรื่องจริงในอดีต

การใช้ตัวเชื่อม (Connective words): First,… Second,… Third,… Fourth,… Finally,…

NockAcademy

ติดต่อ

เกี่ยวกับเรา

ความช่วยเหลือ

ทดลองฟรี!

เข้าใจได้ทันที NockAcademy ไลฟ์สดอันดับ 1

ทดลองฟรี!

เข้าใจได้ทันที NockAcademy ไลฟ์สดอันดับ 1