ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม

supanaree

คณิตศาสตร์, ฟังก์ชันตรีโกณมิติ, ม.5

Add LINE friends for one click to find article.

ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม

ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม จะเกี่ยวข้องกับมุมที่มีหน่วยเป็นองศา (degree) และมุมที่มัหน่วยเป็นเรเดียน (radian)

ในบทความนี้จะกล่าวถึงมุมทั้งหน่วยองศาและเรเดียน มุมฉาก การเปลี่ยนหน่วยของมุม สมบัติของฟังก์ชันตรีโกณมิติ และสามเหลี่ยมมุมฉาก

ก่อนที่จะเริ่มเข้าสู่เนื้อหา พี่อยากให้น้องๆได้รู้พื้นฐานเกี่ยวกับฟังก์ชันตรีโกณมิติเพื่อที่จะได้เข้าใจเนื้อหาในบทความนี้มากขึ้น

การวัดความยาวส่วนโค้ง
ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์
ฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่นๆ

หลังจากที่ไปทบทวนความรู้มาแล้วเรามาเริ่มเนื้อหาใหม่กันเลยค่ะ

หน่วยของมุม

1.) องศา (degree) คือหน่วยของมุมในระนาบ 2 มิติ โดยที่

1 มุมฉาก = 90°

1° = 60′ (ลิปดา)

1′ = 60″ (ฟิลิปดา)

มุมฉากที่น้องๆคุ้นกัน ก็คือ สามเหลี่ยมมุมฉาก

2.) เรเดียน (radian) คือหน่วยวัดมุมบนระนาบ 2 มิติ

มุม 1 เรเดียน คือขนาดของมุมที่วัดจากจุดศูนย์กลางของวงกลมที่กางออกตามส่วนโค้ง ซึ่งความยาวส่วนโค้งมีความยาวเท่ากับรัศมีของวงกลมพอดี

ดังนั้น มุม θ = $\frac{a}{r}$

ดังนั้นถ้าเราหมุนรัศมีครบ 1 รอบ จะได้ว่า $a=2\pi r$ นั่นคือ θ = $2\pi$ เรเดียน

จากนั้นเรามาพิจารณามุมฉาก (90°) ซึ่ง $a=\frac{2\pi r}{4}$

ดังนั้น 90° = $\frac{\pi}{2}$ ⇒ 180° = $\pi$

ตัวอย่างการเปลี่ยนหน่วยของมุม

5 $\pi$ เรเดียน เปลี่ยนเป็นองศา

จาก $\pi$ = 180° ดังนั้น 5 $\pi$ = 5(180) = 900°

$\frac{4\pi}{3}$ เรเดียน เปลี่ยนเป็นองศา

จะได้ $\frac{4\pi}{3}$ = $\frac{4(180)}{3}$ = 240°

780° เปลี่ยนเป็นเรเดียน

ใช้วิธีเทียบสัดส่วน คือ

180° = $\pi$

780° = $\frac{780\pi }{180}$ = $\frac{13\pi }{3}$

-330° เปลี่ยนเป็นเรเดียน

จะได้ $\frac{-330\pi }{180}$ = $\frac{-11\pi }{6}$

ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม 180° ± A, 360±A และ (-A) เมื่อ 0 < A < 90°

sin(180° – A) = sinA cosec(180° – A) = cosecA

cos(180° – A) = -cosA sec(180° – A) = -secA

tan(180° – A) = -tanA cot(180° – A) = -cotA

————————————————————————————————

sin(180° + A) = -sinA cosec(180° + A) = -cosecA

cos(180° + A) = -cosA sec(180° + A) = -secA

tan(180° + A) = tanA cot(180° + A) = cotA

————————————————————————————————

sin(360° + A) = sinA cosec(360° + A) = cosecA

cos(360° + A) = cosA sec(360° + A) = secA

tan(360° + A) = tanA cot(360° + A) = cot

————————————————————————————————

sin(360° – A) = -sinA cosec(360° – A) = -cosecA

cos(360° – A) = cosA sec(360° – A) = secA

tan(360° – A) = -tanA cot(360° – A) = -cot
————————————————————————————————
sin(-A) = -sinA cosec(-A) = -cosecA

cos(-A) = cosA sec(-A) = secA

tan(-A) = -tanA cot(-A) = -cotA

ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

A, B และ C เป็นมุมของสามเหลี่ยม

ในรูปนี้จะพิจารณามุม A

a แทนความยาวด้านตรงข้ามมุม A ⇒ ข้าม

b แทนความยาวด้านประชิดมุม A ⇒ ชิด

c แทนความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ⇒ ฉาก

จากรูปจะได้ว่า

sinA = ข้าม/ฉาก = $\frac{a}{c}$

cosA = ชิด/ฉาก = $\frac{b}{c}$

tanA = ข้าม/ชิด = $\frac{a}{b}$

ตัวอย่าง

ให้ cosθ = $\inline \frac{-3}{5}$ และ $\frac{\pi }{2}$ ≤ θ ≤ $\pi$

ขั้นแรกเราจะพิจารณาเงื่อนไขที่โจทย์ให้มา นั่นก็คือ $\frac{\pi }{2}$ ≤ θ ≤ $\pi$

ซึ่งจากเงื่อนไขนี้สามารถบอกได้ว่าเรากำลังพิจารณาค่าของฟังก์ชันตรีโกณที่อยู่ใน ควอดรันต์ที่ 2

ดังนั้น sinθ, cosecθ มีค่าเป็นบวก tanθ, cotθ และ secθ มีค่าเป็นลบ

จาก cosθ = $\inline \frac{-3}{5}$ = ชิด/ฉาก เราจะวาดรูปได้ดังนี้

หา a โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

c² = a² + b²

25 = a² + 9

a² = 16

a = ±4

จาก a คือความยาว ดังนั้น a = 4

ดังนั้น sinθ = $\inline \frac{4}{5}$

tanθ = $\inline -\frac{4}{3}$

cotθ = $\inline -\frac{3}{4}$

secθ = $\inline -\frac{5}{3}$

cosecθ = $\inline \frac{5}{4}$

การหาขนาดของมุมจากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

ถ้าเรามีรูปสามเหลี่ยมที่บอกความยาวด้านมา เราสามารถหามุมได้โดยใช้ข้อมูลเหล่านั้นช่วย

เช่น

จากรูปจะเห็นว่าบอกความความยาวด้านชิดมุมA และด้านตรงข้ามมุมฉาก

นั่นคือ รู้ชิด รู้ฉาก ดังนั้นเราจะหามุมจากฟังก์ชันcos

cosA = $\inline \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}$ = $\inline \frac{1}{\sqrt{2}}$ = $\inline \frac{\sqrt{2}}{2}$

ดังนั้น A = 45°

จากรูป เรารู้ความยาวด้านชิดมุมA และด้านตรงข้ามมุมA

ดังนั้นจะหาโดยใช้ tanA = $\inline \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}$ = $\sqrt{3}$

ดังนั้น A = 60°

มุมอื่นๆที่ควรรู้

มุม A = 35 จะได้ sin35° = $\inline \frac{3}{5}$ และ cos35° = $\inline \frac{4}{5}$

มุมA = 53 จะได้ sin53° = $\inline \frac{4}{5}$ และ cos53° = $\inline \frac{3}{5}$

วิดีโอเพิ่มเติม

NockAcademy คือโรงเรียนออนไลน์สำหรับเด็ก โดยแอปฯ และเว็บไซต์ นักเรียนสามารถเรียนรู้ผ่านคลิปบทเรียนวิชา คณิตศาสตร์ ภาษาอังกฤษ และภาษาไทย
มากไปกว่านั้น เรายังมีคอร์สเรียนออนไลน์ การสอนพิเศษ การติวนอกสถานที่โดยติวเตอร์ที่แน่นไปด้วยความรู้ อีกด้วย

แค่ 10 นาที ก็เข้าใจได้

สามารถดูคลิปบทเรียนวิชา คณิตศาสตร์ ภาษาอังกฤษ และภาษาไทย ที่มีมากกว่า 2,000+ คลิป และยังสามารถทำแบบทดสอบที่มีมากกว่า 4000+ ข้อ

แนะนำ

แชร์

ระดับภาษา เรียนรู้วิธีใช้ให้ถูกต้องและเหมาะสม

ระดับภาษา มีความสำคัญอย่างมากในภาษาไทย น้อง ๆ ทราบไหมคะว่าภาษาที่เราใช้กันอยู่ในทุกวันนี้ ก็มีระดับของมันที่จะเป็นตัวบ่งบอกความเหมาะสม ให้เราได้เลือกใช้กันอย่างถูกกาลเทศะ อยากรู้ไหมคะว่ามีกี่ระดับ แต่ละระดับเป็นอย่างไร ต้องใช้แบบไหน ใช้กับใครจึงจะถูก ถ้าพร้อมแล้ว ไปเรียนรู้บทเรียนภาษาไทยในวันนี้กันเลยค่ะ ความหมายของ ระดับภาษา ระดับภาษา หมายถึง ความลดหลั่นของถ้อยคำและการเรียบเรียงถ้อยคำที่ใช้โดยพิจารณาตามโอกาสหรือกาลเทศะ ความสัมพันธ์ระหว่างบุคคลที่เป็นผู้สื่อสาร ผู้รับสาร และเนื้อหาที่สื่อสาร

ประโยคความเดียวและประโยคความรวมในภาษาอังกฤษ

สวัสดีค่ะนักเรียนชั้นม.1 ที่น่ารักทุกคน เจอกันอีกแล้วจร้ากับไวยากรณ์การเขียนภาษาอังกฤษและวันนี้ครูจะพาไปดูเทคนิคการการใช้ประโยคความเดียว และประโยคความรวมในภาษาอังกฤษกันค่ะ ซึ่งเป็นไม้เบื่อไม้เมามากกับคนที่ไม่ชอบเขียน ครูเอาใจช่วยทุกคนค่า ไปลุยกันเลย 3 โครงสร้างประโยคในภาษาอังกฤษ การจะเป็นประโยคสมบูรณ์ได้นั้น ประโยคจะต้องประกอบไปด้วย 3 ส่วนสำคัญดังนี้ กริยา หรือ verb (ภาคขยาย) ภาคขยาย จะมีหรือไม่มีก็ได้ การใส่ภาคขยายเข้ามาเพื่อให้ประโยคสมบูรณ์ยิ่งขึ้น ประธาน subject + กริยา หรือ

ฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่นๆ

ฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่นๆ ฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่นๆ ในบทความนี้จะกล่าวถึงฟังก์ชันที่เป็นส่วนกลับของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ และฟังก์ชันที่เกิดจากการดำเนินการของค่า cosθ sinθ ซึ่งก็คือ tanθ และ cotθ นอกจากนี้ยังจะกล่าวถึงโคฟังก์ชันของฟังก์ชันตรีโกณมิติอีกด้วย ในบทความนี้สิ่งที่น้องๆต้องรู้ก็คือ วิธีการหาค่า cosθ และ sinθ จตุภาคของพิกัดจุดปลายส่วนโค้ง ซึ่งสามารถอ่านได้ตามลิงค์ด้านล่างนี้เลยค่ะ การวัดความยาวส่วนโค้ง ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ หลังจากที่น้องๆมีพื้นฐาน 2 เรื่องที่กล่าวมาแล้วเราจะเริ่มทำความรู้จักกับฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่นๆกันค่ะ ฟังก์ชันที่เป็นส่วนกลับของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์

Relative Clause

สวัสดีค่ะนักเรียนม. 3 ที่รักทุกคน วันนี้เราจะไปดู Relative clause หรือ อนุประโยคในภาษาอังกฤษ ที่ทำหน้าที่เหมือนกันกับคำคุณศัพท์ (Adjective) ซึ่งมีหน้าที่ขยายคำนามที่อยู่ข้างหน้า และจะใช้ตามหลัง Relative Pronoun เช่น who, whom, which, that, และ whose แต่สงสัยมั้ยคะว่าทำไมต้องเรียนเรื่องนี้ ลองดูตัวอย่างประโยคด้านล่างแล้วจะร้องอ๋อ Relative

การเรียนเรื่อง Relative Clause

สวัสดีค่ะนักเรียนม. 5 ที่รักทุกคน วันนี้เราจะไปดู Relative clause หรือ อนุประโยคในภาษาอังกฤษ ที่ทำหน้าที่เหมือนกันกับคำคุณศัพท์ (Adjective) ซึ่งมีหน้าที่ขยายคำนามที่อยู่ข้างหน้า และจะใช้ตามหลัง Relative Pronoun เช่น who, whom, which, that, และ whose แต่สงสัยมั้ยคะว่าทำไมต้องเรียนเรื่องนี้ ลองดูตัวอย่างประโยคด้านล่างแล้วจะร้องอ๋อมากขึ้น พร้อมข้อสอบ Error

สำนวนไทยที่เกี่ยวกับศาสนา ศึกษาที่มาและคุณค่าในสำนวน

สำนวนไทยที่เกี่ยวกับศาสนา มีอยู่มากมายเลยทีเดียวค่ะ เพราะพุทธศาสนา เป็นศาสนาที่อยู่คู่บ้านคู่เมืองเรามาตั้งแต่อดีตกาล ทำให้มีความเกี่ยวโยงไปถึงสำนวน ซึ่งเป็นเหมือนถ้อยคำที่ใช้สั่งสอนและให้ข้อคิดแก่ผู้คนมายุคต่อยุค บทเรียนภาษาไทยในวันนี้จะพาน้อง ๆ ไปเรียนรู้ถึงสำนวนไทยที่เกี่ยวกับศาสนา และคุณค่าที่อยู่ในสำนวน ถ้าพร้อมแล้ว ไปศึกษาเรื่องนี้พร้อม ๆ กันเลยค่ะ สำนวนไทยที่เกี่ยวกับศาสนา สำนวนไทยที่เกี่ยวกับศาสนา มาจากความเชื่อเรื่องศาสนาพุทธของคนไทย โดยความหมายของสำนวนจะมีทั้งสำนวนที่ยังมีเค้าของความหมายเดิม และสำนวนที่ความหมายเปลี่ยนไป ตัวอย่างสำนวนไทยที่เกี่ยวกับศาสนา

ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม

สารบัญ

ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม

หน่วยของมุม

ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

การหาขนาดของมุมจากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

วิดีโอเพิ่มเติม

แค่ 10 นาที ก็เข้าใจได้

แนะนำ

แชร์

ระดับภาษา เรียนรู้วิธีใช้ให้ถูกต้องและเหมาะสม

ประโยคความเดียวและประโยคความรวมในภาษาอังกฤษ

ฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่นๆ

Relative Clause

การเรียนเรื่อง Relative Clause

สำนวนไทยที่เกี่ยวกับศาสนา ศึกษาที่มาและคุณค่าในสำนวน

NockAcademy

ติดต่อ

เกี่ยวกับเรา

ความช่วยเหลือ

ทดลองฟรี!

เข้าใจได้ทันที NockAcademy ไลฟ์สดอันดับ 1

ทดลองฟรี!

เข้าใจได้ทันที NockAcademy ไลฟ์สดอันดับ 1