ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม

ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม

สารบัญ

Add LINE friends for one click to find article. Add LINE friends for one click to find article.

 ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม

ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม จะเกี่ยวข้องกับมุมที่มีหน่วยเป็นองศา (degree) และมุมที่มัหน่วยเป็นเรเดียน (radian)

ในบทความนี้จะกล่าวถึงมุมทั้งหน่วยองศาและเรเดียน มุมฉาก การเปลี่ยนหน่วยของมุม สมบัติของฟังก์ชันตรีโกณมิติ และสามเหลี่ยมมุมฉาก

ก่อนที่จะเริ่มเข้าสู่เนื้อหา พี่อยากให้น้องๆได้รู้พื้นฐานเกี่ยวกับฟังก์ชันตรีโกณมิติเพื่อที่จะได้เข้าใจเนื้อหาในบทความนี้มากขึ้น

  • การวัดความยาวส่วนโค้ง
  • ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์
  • ฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่นๆ

หลังจากที่ไปทบทวนความรู้มาแล้วเรามาเริ่มเนื้อหาใหม่กันเลยค่ะ

หน่วยของมุม

1.) องศา (degree) คือหน่วยของมุมในระนาบ 2 มิติ โดยที่

1 มุมฉาก = 90°

1°            = 60′ (ลิปดา)

1′            = 60″ (ฟิลิปดา)

มุมฉากที่น้องๆคุ้นกัน ก็คือ สามเหลี่ยมมุมฉาก

2.) เรเดียน (radian) คือหน่วยวัดมุมบนระนาบ 2 มิติ

มุม 1 เรเดียน คือขนาดของมุมที่วัดจากจุดศูนย์กลางของวงกลมที่กางออกตามส่วนโค้ง ซึ่งความยาวส่วนโค้งมีความยาวเท่ากับรัศมีของวงกลมพอดี

ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม

 

ดังนั้น มุม θ = \frac{a}{r}

 

ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม

 

ดังนั้นถ้าเราหมุนรัศมีครบ 1 รอบ จะได้ว่า a=2\pi r นั่นคือ θ = 2\piเรเดียน

จากนั้นเรามาพิจารณามุมฉาก (90°) ซึ่ง a=\frac{2\pi r}{4}

ดังนั้น 90° = \frac{\pi}{2}    ⇒    180° = \pi

ตัวอย่างการเปลี่ยนหน่วยของมุม

  • 5\pi เรเดียน เปลี่ยนเป็นองศา

จาก \pi = 180° ดังนั้น 5\pi = 5(180) = 900°

  • \frac{4\pi}{3} เรเดียน เปลี่ยนเป็นองศา

จะได้  \frac{4\pi}{3} = \frac{4(180)}{3} = 240°

  • 780° เปลี่ยนเป็นเรเดียน

ใช้วิธีเทียบสัดส่วน คือ

180° = \pi

780° = \frac{780\pi }{180} = \frac{13\pi }{3}

  • -330° เปลี่ยนเป็นเรเดียน

จะได้ \frac{-330\pi }{180} = \frac{-11\pi }{6}

ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม 180° ± A, 360±A และ (-A) เมื่อ 0 < A < 90°

sin(180° – A) = sinA                      cosec(180° – A) = cosecA

cos(180° – A) = -cosA                   sec(180° – A) = -secA

tan(180° – A) = -tanA                   cot(180° – A) = -cotA

————————————————————————————————

sin(180° + A) = -sinA                      cosec(180° + A) = -cosecA

cos(180° + A) = -cosA                   sec(180° + A) = -secA

tan(180° + A) = tanA                   cot(180° + A) = cotA

————————————————————————————————

sin(360° + A) = sinA                      cosec(360° + A) = cosecA

cos(360° + A) = cosA                   sec(360° + A) = secA

tan(360° + A) = tanA                   cot(360° + A) = cot

————————————————————————————————

sin(360° – A) = -sinA                      cosec(360° – A) = -cosecA

cos(360° – A) = cosA                      sec(360° – A) = secA

tan(360° – A) = -tanA                   cot(360° – A) = -cot
————————————————————————————————
sin(-A) = -sinA                             cosec(-A) = -cosecA

cos(-A) = cosA                             sec(-A) = secA

tan(-A) = -tanA                           cot(-A) = -cotA

ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

A, B และ C เป็นมุมของสามเหลี่ยม

ในรูปนี้จะพิจารณามุม A

a แทนความยาวด้านตรงข้ามมุม A ⇒ ข้าม

b แทนความยาวด้านประชิดมุม A ⇒ ชิด

c แทนความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ⇒ ฉาก

จากรูปจะได้ว่า

sinA = ข้าม/ฉาก = \frac{a}{c}

cosA = ชิด/ฉาก = \frac{b}{c}

tanA = ข้าม/ชิด = \frac{a}{b}

 

ตัวอย่าง

ให้ cosθ = \inline \frac{-3}{5} และ \frac{\pi }{2} ≤ θ ≤ \pi

ขั้นแรกเราจะพิจารณาเงื่อนไขที่โจทย์ให้มา นั่นก็คือ \frac{\pi }{2} ≤ θ ≤ \pi

ซึ่งจากเงื่อนไขนี้สามารถบอกได้ว่าเรากำลังพิจารณาค่าของฟังก์ชันตรีโกณที่อยู่ใน ควอดรันต์ที่ 2

ดังนั้น sinθ, cosecθ มีค่าเป็นบวก tanθ, cotθ และ secθ มีค่าเป็นลบ

จาก cosθ = \inline \frac{-3}{5} = ชิด/ฉาก เราจะวาดรูปได้ดังนี้

หา a โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

c² = a² + b²

25 = a² + 9

a² = 16

a = ±4

จาก a คือความยาว ดังนั้น a = 4

ดังนั้น sinθ = \inline \frac{4}{5}

tanθ = \inline -\frac{4}{3}

cotθ = \inline -\frac{3}{4}

secθ = \inline -\frac{5}{3}

cosecθ = \inline \frac{5}{4}

การหาขนาดของมุมจากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

ถ้าเรามีรูปสามเหลี่ยมที่บอกความยาวด้านมา เราสามารถหามุมได้โดยใช้ข้อมูลเหล่านั้นช่วย

เช่น

1)

จากรูปจะเห็นว่าบอกความความยาวด้านชิดมุมA และด้านตรงข้ามมุมฉาก

นั่นคือ รู้ชิด รู้ฉาก  ดังนั้นเราจะหามุมจากฟังก์ชันcos

cosA = \inline \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \inline \frac{1}{\sqrt{2}} = \inline \frac{\sqrt{2}}{2}

ดังนั้น A = 45°

2)

จากรูป เรารู้ความยาวด้านชิดมุมA และด้านตรงข้ามมุมA

ดังนั้นจะหาโดยใช้ tanA = \inline \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}

ดังนั้น A = 60°

มุมอื่นๆที่ควรรู้

มุม A = 35 จะได้ sin35° = \inline \frac{3}{5} และ cos35° = \inline \frac{4}{5}

มุมA = 53 จะได้ sin53° = \inline \frac{4}{5} และ cos53° = \inline \frac{3}{5}

วิดีโอเพิ่มเติม

 

 

 

 

 

 

NockAcademy คือโรงเรียนออนไลน์สำหรับเด็ก โดยแอปฯ และเว็บไซต์ นักเรียนสามารถเรียนรู้ผ่านคลิปบทเรียนวิชา คณิตศาสตร์ ภาษาอังกฤษ และภาษาไทย
มากไปกว่านั้น เรายังมีคอร์สเรียนออนไลน์ การสอนพิเศษ การติวนอกสถานที่โดยติวเตอร์ที่แน่นไปด้วยความรู้ อีกด้วย

Add LINE friends for one click to find article. Add LINE friends for one click to find article.
ครูผู้สอน NockAcademy

แค่ 10 นาที ก็เข้าใจได้

สามารถดูคลิปบทเรียนวิชา คณิตศาสตร์ ภาษาอังกฤษ และภาษาไทย ที่มีมากกว่า 2,000+ คลิป และยังสามารถทำแบบทดสอบที่มีมากกว่า 4000+ ข้อ

แนะนำ

แชร์

การใช้ไวยากรณ์ Past Simple ในการตั้งคำถาม

เกริ่นนำ เกริ่นใจ อดีต ปัจจุบันและอนาคต ทั้งหมดนี้ล้วนแล้วได้รับความสำคัญในหลักไวยากรณ์ของภาษาอังกฤษ เอาเข้าจริง ภาษาไทยของเราเองก็มีอะไรในลักษณะนี้เหมือนกันนะ แต่จะไม่เด่นชัดในรูปประโยคจนรู้สึกว่าซับซ้อนเหมือนภาษาอังกฤษที่เรากำลังเรียน ตัวอย่างเช่น เมื่อวานไปไหนมา….หรือ ฉันไป…มา ในขณะที่ภาษาอังกฤษจะต้องมีการปรับโครงสร้างให้เป็นรูปอดีตด้วยการเปลี่ยนคำกริยาเป็นช่องที่ 2 ตัวอย่างเช่น Where “did” you go yesterday? หรือ I “went to…” เป็นต้น อย่างไรก็ดี

past tense

Past Tense ที่มี Time Expressions

สวัสดีน้องๆ ม. 2 ทุกคนนะครับ วันนี้เราจะมาเรียนรู้เกี่ยวกับ Past Tense และ Time Expressions ในประโยคดังกล่าว ถ้าพร้อมแล้วเราไปเริ่มกันเลยครับ

Present Perfect

Present Perfect ในภาษาอังกฤษ

สวัสดีน้องๆ ม.​ 4 ทุกคนนะครับ วันนี้เราจะมาพูดถึงเรื่อง Present Perfect ในภาษาอังกฤษ จะเป็นอย่างไรลองไปดูกันเลยดีกว่าครับ

การอ่านออกเสียงคำควบกล้ำ

การอ่านออกเสียงคำควบกล้ำ อ่านอย่างไรให้ถูกต้อง

ในปัจจุบัน ไม่ว่าจะชมสื่อต่าง ๆ หรือพูดคุยในชีวิตประจำวัน เราก็มักจะเจอคนที่อ่านออกเสียงคำควบกล้ำไม่ชัดอยู่บ่อยครั้ง โดยเฉพาะคำที่เป็น ร หรือ ล ทำให้การสื่อสารอาจผิดพลาดไปเลยก็ได้ ดังนั้น การอ่านออกเสียงคำควบกล้ำ ให้ถูกต้องจึงถือเป็นเรื่องที่สำคัญอย่างมาก บทเรียนในวันนี้ นอกจากน้อง ๆ จะได้เรียนรู้เกี่ยวกับคำควบกล้ำว่ามีอะไรบ้างแล้ว ก็ยังจะได้รู้วิธีอ่านออกเสียงอีกด้วย ถ้าพร้อมแล้วเราไปเรียนรู้พร้อมกันเลยค่ะ   คำควบกล้ำ คำควบกล้ำ (อักษรควบ) หมายถึง พยัญชนะสองตัวเขียนเรียงกันอยู่ต้นพยางค์และใช้สระเดียวกัน

โลโก้ NockAcademy

ทดลองฟรี!

เข้าใจได้ทันที NockAcademy ไลฟ์สดอันดับ 1 

โลโก้ NockAcademy

ทดลองฟรี!

เข้าใจได้ทันที NockAcademy ไลฟ์สดอันดับ 1