เรนจ์ของความสัมพันธ์
เรนจ์ของความสัมพันธ์ r คือ สมาชิกตัวหลังของคู่อันดับในความสัมพันธ์ r เขียนแทนด้วย
กรณีที่ r เขียนแบบแจกแจงสมาชิก เราสามารถหาโดเมนได้เลยโดย คือสมาชิกตัวหลัง
เช่น = {(2, 2), (3, 5), (8, 10)}
จะได้ว่า = {2, 5, 10}
กรณีที่ r เขียนในรูปแบบที่บอกเงื่อนไข เราอาจจะสามารถนำมาเขียนแบบแจกแจงสมาชิกได้
เช่น ให้ A = {1, 2, 3} และ = {(x, y) ∈ A × A : y = 2x}
x = 1 ; y = 2(1) = 2
x = 2 ; y = 2(2) = 4
x = 3 ; y = 2(3) = 6
ได้คู่อันดับ ดังนี้ (1, 2), (2, 4), (3, 6) เนื่องจาก (x, y) ต้องเป็นสมาชิกใน A × A
และจาก (1, 2) ∈ A × A
(2, 4) ∉ A × A
(3, 6) ∉ A × A
ดังนั้น สามารถเขียน r ในรูปแจกแจงสมาชิกได้ดังนี้ = {(1, 2)} จากเรนจ์ของความสัมพันธ์คือสมาชิกตัวหลังของคู่อันดับในความสัมพันธ์ r
สรุปได้ว่า = {2}
แต่บางกรณีเราไม่สามารถแจกแจงสมาชิกได้ เช่น ให้ x, y เป็นจำนวนจริงใดๆ และ = {(x, y) : y =
}
พิจารณากราฟของสมการ y =
จะเห็นว่ากราฟของ y = ไม่ตัดแกน x นั่นคือ y ≠ 0
และจาก เรนจ์ของความสัมพันธ์คือ สมาชิกตัวหลังของคู่อันดับ ซึ่งก็คือ y นั่นเอง
หรืออาจจะสังเกตจากสมการก็ได้ เนื่องจาก x เป็น 0 ไม่ได้ นั่นก็แปลว่ายังไง y ก็ไม่เป็น 0 แน่นอน
ดังนั้น = {y : y เป็นจำนวนจริง และ y ≠ 0}
ตัวอย่างการหาเรนจ์ของความสัมพันธ์
1.) ให้ A = {1, 2, 3} และ r = {(x, y) : y = 2x , x ∈ A}
จาก x เป็นสมาชิกใน A
x = 1 ; y = 2(1) = 2
x = 2 ; y = 4
x = 3 ; y = 6
r = {(1, 2), (2, 4), (3, 6)}
ดังนั้น = {2, 4, 6}
2.) ให้ r = {(x, y) ∈ : y = x²}
เงื่อนไขของ (x, y) ∈
พิจารณากราฟ y = x²
จากเรนจ์คือสมาชิกตัวหลังของคู่อันดับในความสัมพันธ์ r นั่นก็คือ y นั่นเอง
และจากกราฟจะเห็นว่า ค่า y มีค่าตั้งแต่ 0 ทำให้ได้ว่า y เป็นจำนวนจริงที่มากกว่าหรือเท่ากับ 0
หรือจะสังเกตจากสมการเลยก็ได้ จาก y = x² จากที่เรารู้อยู่แล้วว่า จำนวนจริงยกกำลังสองยังไงก็ไม่เป็นลบแน่นอน เราเลยรู้ว่า y ยังไงก็ต้องเป็นบวกหรือ 0
ดังนั้น = {y : y เป็นจำนวนจริง และ y ≥ 0}
3.) ให้ r = {(x, y) : y = } และ x, y เป็นจำนวนจริงใดๆ
พิจารณากราฟของ y = จะได้
จากเรนจ์คือสมาชิกตัวหลังของคู่อันดับในความสัมพันธ์ r นั่นก็คือ y นั่นเอง
และจากกราฟจะเห็นว่า กราฟไม่ตัดแกน x เลย (จุดที่กราฟตัดแกน x คือจุดที่ y = 0) นั่นคือ y เป็นอะไรก็ได้แต่ไม่มีทางเป็น 0
หรือจะสังเกตจากสมการ y = จากที่รู้ว่า x นั้นเป็น 3 ไม่ได้ (เพราะจะทำให้ y หาค่าไม่ได้) แต่เมื่อแทน x เป็นจำนวนจริงอื่น ยังไง y ก็ไม่มีทางเป็น 0 เพราะตัวเศษเป็นค่าคงที่
ดังนั้น = {y : y เป็นจำนวนจริง และ y ≠ 0}
4.) ให้ r = {(x, y) : y = } และ x, y เป็นจำนวนจริงใดๆ
พิจารณากราฟของสมการ y =
จากเรนจ์คือสมาชิกตัวหลังของคู่อันดับในความสัมพันธ์ r นั่นก็คือ y นั่นเอง
และจากกราฟจะเห็นว่า y ไม่เป็นลบเลย นั่นคือ y มากกว่าหรือเท่ากับ 0
หรือจะสังเกตจากสมการก็ได้ จากสมการ y = จากที่เรารู้ว่าโดเมนหรือ x เป็นลบ ไม่ได้ นั่นคือ x มากกว่าหรือเท่ากับ 0 ทำให้ได้ว่า y ไม่มีทางเป็นลบเหมือนกัน
ดังนั้น = {y : y ∈ R และ y ≥ 0}
วิดีโอ เรนจ์ของความสัมพันธ์
https://youtu.be/dHYXyKemluc
เนื้อหาที่ควรรู้และเกี่ยวข้องกับเรนจ์ของความสัมพันธ์
- กราฟของความสัมพันธ์
- โดเมนของความสัมพันธ์
