ลำดับ

supanaree

คณิตศาสตร์, ม.6, ลำดับและอนุกรม

Add LINE friends for one click to find article.

ลำดับ

ลำดับ ( Sequence ) คือ เซตของจำนวนหรือตัวเลขที่เรียงกันเป็นระเบียบและมีเงื่อนไข เช่น ลำดับของจำนวนนับที่เพิ่มขึ้นทีละ 1 ก็จะสามารถเขียนได้เป็น

1, 2, 3, 4, … โดยตัวเลขเหล่านี้ เรียกว่า พจน์ ( Term ) เซตของลำดับจะเขีบยแทนด้วย $a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n},...$

และเราจะเรียก $a_{1}$ ว่าพจน์ที่ 1

เรียก $a_{2}$ ว่าพจน์ที่ 2

$\vdots$

เรียก $a_{n}$ ว่าพจน์ที่ n หรือพจน์ทั่วไปหรือ พจน์สุดท้าย

ตัวอย่างของลำดับ เช่น 1, 3, 5, 7, ….

โดเมนและเรนจ์ของลำดับ

โดเมนของลำดับคือ พจน์ของลำดับ หรือ n นั่นเอง ซึ่ง n ต้องเป็นจำนวนนับ

เรนจ์ของลำดับคือ ค่าของ $a_n$ นั่นเอง

เช่น F = {(1,10),(2,20),(3,30)} จะได้ว่า

โดเมน คือ {1, 2, 3}

เรนจ์คือ {10, 20, 30}

ชนิดของ ลำดับ

ลำดับจำกัด คือ ลำดับที่สามารถระบุจำนวนพจน์ได้

เช่น 2, 4, 6, 8, … , 50 มี 25 พจน์

1, 2, 3, 4, … , n มี n พจน์

ลำดับอนันต์ คือ ลำดับที่ไม่สามารถบอกจำนวนพจน์ได้

เช่น 1, 2, 3, …

“วิธีสังเกต”

ลำดับอนันต์จะมีจุดสามจุดอยู่หลังของลำดับเสมอ เพื่อแสดงให้เห็นว่าลำดับนี้ไปต่อได้เรื่อย ๆ ไม่มีที่สิ้นสุด

ตัวอย่างของ ลำดับ

1) ให้ ข้อ A คือ 1,4,9,16,25,…
ข้อ B คือ $a_n$ = 16n เมื่อ n= 1,2,3,4
ข้อ C คือ $a_n$ =3n² + 7 เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก

จะได้ว่า A เป็นลำดับอนันต์

B เป็นลำดับจำกัด

C เป็นลำดับอนันต์

1) 7, 14, 21, 28, 35, … เป็นลำดับอนันต์ ที่เพื่มขึ้นทีละ 7

2) 3, 6, 12, 24, 48 เป็นลำดับจำกัด ที่เพิ่มขึ้น 2 เท่าของพจน์ก่อนหน้า

3) 4, 9, 16, 25, 36, 49 ต้องหาสองครั้งเพราะการเพิ่มขึ้นของลำดับยังไม่เป็นระบบ

น้องจะเห็นว่าลำดับในข้อ 3 เป็นลำดับที่มีผลต่างร่วมเป็นค่าคงที่ในครั้งที่สอง หรือเพิ่มขึ้นอย่างคงที่ในครั้งที่สองนั่นเอง

จะเห็นว่าในลำดับนั้น เพิ่มขึ้นอย่างไม่เป็นระบบ คือ เพิ่มขึ้นทีละ 5, 6, 7, 8, 9 ตามลำดับ แต่ลองสังเกตดูว่า การเพิ่มขึ้นของ 5, 6,7,8,9 นั้นเพิ่มขึ้นทีละ 1 ดังนั้นจึงเป็นการเพิ่มขึ้นอย่างคงที่ในครั้งที่ 2 นั่นเอง

การหาพจน์ทั่วไปของลำดับ

วิธีการหาพจน์ที่ n จะแยกเป็น 3 กรณี

1) ระหว่างพจน์มีผลต่างที่เป็นค่าคงที่ นั่นก็คือ เป็นลำดับเพิ่มขึ้นหรือลดลง เป็นค่าคงที่ เช่น 8, 6, 4, 2 ( ลดลงทีละ 2 )

รูปแบบของพจน์ทั่วไปคือ $a_{n}=an+b$

ตัวอย่าง หาพจน์ทั่วไปของลำดับ 1, 3, 5, 7, …

จากโจทย์ เราจะรู้ว่า $a_{1}= 1, a_{2}=3$

และจากสูตร $a_{n}=an+b$

เมื่อ n = 1 ; $a_{1}=1=a(1)+b \rightarrow$ (1)

n = 2 ; $a_{2}=3=a(3)+b \rightarrow$ (2)

(2) -(1) ; 2=a

แทน $a_{1}$ ใน (1) จะได้ว่า $1=2+b$

$b=-1$

ดังนั้น พจน์ทั่วไป ของลำดับข้างต้นคือ $a_{n}=2n -1$

2) ระหว่างพจน์มีอัตราส่วนร่วมเป็นค่าคงที่

รูปแบบของพจน์ทั่วไป คือ $a_{n}=ar^{n}+b$ โดยที่ r คืออัตราส่วนร่วม

ตัวอย่าง หาพจน์ทั่วไปของ 4, 8, 16, 32, …

จะเห็นว่าลำดับดังกล่าวเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า ของพจน์ก่อนหน้า

ดังนั้น r = 2 และจากโจทย์จะได้ว่า $a_{1}= 4, a_{2}=8$

เมื่อ n = 1 ; $a_{1}=4=a(2)^{1}+b \rightarrow$ (1)

n = 2 ; $a_{2}=8=a(2)^{2}+b \rightarrow$ (2)

(2) – (1) ; 4 = ( 4 – 2 )a

แทน $a_{1}$ ใน (1) จะได้ว่า $4=2(2)+b$

$b=0$

ดังนั้น $a_{n}=2(2)^{n}=2^{n+1}$

3) ระหว่างพจน์มีผลต่างเป็นค่าคงที่ในการหาครั้งที่ 2

รูปพจน์ทั่วไป คือ $\inline a_{n}=an^{2}+bn+c$

ตัวอย่าง หาพจน์ทั่วไปของ 4, 9, 16, 25, …

เมื่อ n = 1 ; $a_{1}=4=a(1)+b(1)+c \rightarrow$ (1)

n = 2 ; $a_{2}=9=a(4)+b(2)+c \rightarrow$ (2)

n = 3 ; $a_{3}=16=a(9)+b(3)+c \rightarrow$ (3)

(2)- (1) ; $5 = 3a +b\rightarrow$ (4)

(3) – (2) ; $7 = 5a +b\rightarrow$ (5)

(4)-(5) ; $2 =2a \rightarrow a=1$

แทน a = 1 ใน (4) จะได้ $5=3+b\rightarrow b=2$

แทน a = 1 และ b = 2 ใน (1) จะได้ 4 = 1 + 2 + c

c = 1

ดังนั้น รูปพจน์ทั่วไปคือ $a^{n}=n^{2}+2n+1$

ตัวอย่างของลำดับ

1.) จงหาว่าพจน์หลังกับพจน์หน้ามีความสัมพันธ์กันอย่างไร

1.1) 8, 6, 4, 2, ….

ตอบ พจน์หลังลดลงจากพจน์หน้าทีละ 2

1.2) 5, 10, 15, 20, …

ตอบ พจน์หลังเพิ่มขึ้นจากพจน์หน้าทีละ 5

2.) หา 4 พจน์ถัดไปของลำดับต่อไปนี้

2.1) 2, 5, 8, 11, …

วิธีทำ จากโจทย์จะเห็นว่าเป็นลำดับที่เพิ่มขึ้นทีละ 3

ดังนั้น 4 พจน์ถัดไปคือ 11+3 = 14, 14+3 = 17, 17+3 = 20, 20+3=23

นั่นคือ 14, 17, 20, 23

2.1) 200, 190, 170, 140,…

วิธีทำ จากโจทย์จะเห็นว่า พจน์ 2 ลดลงจากพจน์แรก 10 พจน์ 3 ลดลงจากพจน์ 2 20 และพจน์ 4 ลดลงจาดพจน์ 3 30

เราจะได้ลำดับใหม่ซึ่งเป็นลำดับของผลต่างระหว่างพจน์ ดังนี้ 10, 20, 30,… ดังนั้นอีก 3 พจน์ถัดไปควรจะเป็น 40, 50, 60 ตามลำดับ

ดังนั้นจะได้ว่า พจน์ที่ 5 ของลำดับในโจทย์ข้างต้น ควรจะน้อยกว่าพจน์ที่ 4 ไป 40 จะได้ว่า พจน์ที่ 5 คือ 140-40=100

พจน์ที่6 ต้องน้อยกว่าพจน์ที่ 5 ไป 50 ดังนั้น พจน์ที่ 6 คือ 100-50=50

พจน์ที่7 ต้องน้อยกว่าพจน์ที่ 6 อยู่ 60 ดังนั้น พจน์ที่7 คือ 50-60= -10

พจน์ที่ 8 ต้องน้อยกว่า พจน์ที่7 อยู่ 70 ดังนั้นพจน์ที่8 คือ -10 – 70 = -80

ดังนั้น 4 พจน์ถัดไปของลำดับ 200, 190, 170, 140,… คือ 100, 50, -10, -80 ตามลำดับ

3.) จงเขียน 5 พจน์แรกของลำดับต่อไปนี้

3.1) $a_n=2n-1$

วิธีทำ

แทน n=1 จะได้ว่า $a_1=2(1)-1=1$

n=2 จะได้ $a_2=2(2)-1=3$

n=3 จะได้ $a_3=2(3)-1=5$

n=4จะได้ $a_4=2(4)-1=7$

n=5จะได้ $a_5=2(5)-1=9$

จากการแทนค่า n ไปแล้ว เราจะได้ลำดับ 5 พจน์แรกดังนี้ 1, 3, 5, 7, 9

3.2) $a_n=\left\{\begin{matrix} n+1 : n<3\\ 2n :\geq 3 \end{matrix}\right.$

วิธีทำ จากโจทย์จะเห็นว่า ถ้า n น้อยกว่า 3 ดังนั้นเราจะใช้ n +1 ในการหาพจน์ที่ 1 และพจน์ที่ 2

และเราจะใช้ 2n ในการหาพจน์ที่ 3 ถึงพจน์ที่ 5

จะได้5พจน์แรกของลำดับดังนี้ 1+1, 2+1, 2(3), 2(4), 2(5) นั่นคือ 2, 3, 6, 8, 10

วิดีโอเพิ่มเติมเกี่ยวกับความหมายของลำดับ

NockAcademy คือโรงเรียนออนไลน์สำหรับเด็ก โดยแอปฯ และเว็บไซต์ นักเรียนสามารถเรียนรู้ผ่านคลิปบทเรียนวิชา คณิตศาสตร์ ภาษาอังกฤษ และภาษาไทย
มากไปกว่านั้น เรายังมีคอร์สเรียนออนไลน์ การสอนพิเศษ การติวนอกสถานที่โดยติวเตอร์ที่แน่นไปด้วยความรู้ อีกด้วย

แค่ 10 นาที ก็เข้าใจได้

สามารถดูคลิปบทเรียนวิชา คณิตศาสตร์ ภาษาอังกฤษ และภาษาไทย ที่มีมากกว่า 2,000+ คลิป และยังสามารถทำแบบทดสอบที่มีมากกว่า 4000+ ข้อ

แนะนำ

แชร์

ตัวคูณร่วมน้อย (ค.ร.น.)

ตัวคูณร่วมน้อย(ค.ร.น.) ของจำนวนนับตั้งแต่ 2 จำนวนขึ้นไป หมายถึง ตัวตั้งร่วมหรือพหุคูณร่วมที่มีค่าน้อยที่สุดของจำนวนนับเหล่านั้น

Verb to Be : พื้นฐานสำคัญในภาษาอังกฤษ

สวัสดีน้องๆ ม. 1 ทุกคนนะครับ วันนี้เรามาเรียนเรื่องสั้นๆ แต่มีประโยชน์มากๆ อย่าง Verb to be กันครับ ถ้าพร้อมแล้วไปเริ่มกันเลยครับ

คำซ้ำคืออะไร เรียนรู้และเข้าใจหลักการสร้างคำอย่างง่าย

จากที่ได้เรียนเรื่องการสร้างคำประสมและคำซ้อนไปแล้ว บทเรียนหลักภาษาไทยในวันนี้จะพาน้อง ๆ ไปเรียนรู้การสร้างคำอีกหนึ่งชนิดที่สำคัญไม่แพ้สองคำก่อนหน้า นั่นก็คือ คำซ้ำ นั่นเองค่ะ คำซ้ำคืออะไร มีวิธีสร้างคำได้อย่างไรบ้าง วันนี้เราไปทำความเข้าใจเกี่ยวกับเรื่องนี้พร้อม ๆ กันเลยค่ะ คำซ้ำ คำซ้ำคืออะไร? คำซ้ำ หมายถึง การสร้างคำขึ้นใหม่ โดยนำคำมูลซึ่งส่วนมากเป็นคำพยางค์เดียวมาซ้ำกันแล้วมีความหมายเปลี่ยนแปลงไป อาจเน้นหนักขึ้น หรือเบาลง

วิธีพูดสรุปความจากเรื่องที่ฟังและดูอย่างง่ายๆ

การพูดสรุปความสำคัญอย่างไร ? น้อง ๆ หลายคนคงจะเคยประสบปัญหาเวลาที่ต้องออกไปนำเสนองานหน้าชั้นเรียนแล้วไม่รู้ว่าจะพูดอย่างไรให้เพื่อนกับครูเข้าใจ เพราะเนื้อหาที่เราจำมามันก็เยอะเสียเหลือเกิน บทเรียนภาษาไทยวันนี้จะช่วยให้น้อง ๆ รับมือกับปัญหาเหล่านั้นได้ เพียงแค่น้อง ๆ มีความเข้าใจในเรื่องการพูดสรุปความ วันนี้เรามาดูไปพร้อม ๆ กันเลยนะคะว่าการพูดสรุปความจากเรื่องที่ฟังหรือดูจะมีวิธีใดบ้าง การพูดสรุปความจากเรื่องที่ฟังและดู การพูดคืออะไร องค์ประกอบของการพูด ผู้พูด คือผู้ที่มีจุดมุ่งหมายสำคัญที่จะนำเสนอความรู้ความคิดเห็นให้ผู้ฟังได้รับรู้และเข้าใจ เนื้อเรื่อง

ความน่าจะเป็น

บทความนี้จะแนะนำให้รู้จักกับ ความน่าจะเป็น ซึ่งได้กล่าวถึงในลักษณะของความหมายและยกตัวอย่างประกอบ รวมถึงคำที่เกี่ยวข้องกับความน่าจะเป็น เช่นการทดลองสุ่ม ปริภูมิตัวอย่าง และเหตุการณ์ ดังต่อไปนี้ ความน่าจะเป็น ความน่าจะเป็น (Probability) เป็นจำนวนที่ใช้เพื่อบอกโอกาสที่เหตุการณ์หนึ่ง ๆ จะเกิดขึ้น ซึ่งมี 3 ลักษณะ คือ ไม่เกิดขึ้นอย่างแน่นอนจะมีค่าความน่าจะเป็นเท่ากับ 0 อาจจะเกิดขึ้นหรือไม่ก็ได้ จะมีค่าความน่าจะเป็นอยู่ระหว่าง 0 กับ 1

รามเกียรติ์ ตอน นารายณ์ปราบนนทก ศึกษาตัวบทและคุณค่า

หลังได้เรียนรู้ความเป็นมาและเรื่องย่อของบทละครเรื่อง รามเกียรติ์ ตอน นารายณ์ปราบนนทก กันไปแล้ว ในบทนี้ น้อง ๆ จะได้เรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับตัวบทเด่น ๆ ที่น่าสนใจในเรื่อง พร้อมทั้งจะได้ตามไปดูคุณค่าของเรื่องว่ามีอะไรบ้าง ถ้าพร้อมแล้ว ไปศึกษาเรื่องนี้พร้อมกันเลยค่ะ ศึกษาตัวบทละครเรื่อง รามเกียรติ์ ตอน นารายณ์ปราบนนทก เหลือบเห็นสตรีวิไลลักษณ์ พิศพักตร์ผ่องเพียงแขไข

ลำดับ

สารบัญ

ลำดับ

โดเมนและเรนจ์ของลำดับ

ชนิดของ ลำดับ

การหาพจน์ทั่วไปของลำดับ

ตัวอย่างของลำดับ

วิดีโอเพิ่มเติมเกี่ยวกับความหมายของลำดับ

แค่ 10 นาที ก็เข้าใจได้

แนะนำ

แชร์

ตัวคูณร่วมน้อย (ค.ร.น.)

Verb to Be : พื้นฐานสำคัญในภาษาอังกฤษ

คำซ้ำคืออะไร เรียนรู้และเข้าใจหลักการสร้างคำอย่างง่าย

วิธีพูดสรุปความจากเรื่องที่ฟังและดูอย่างง่ายๆ

ความน่าจะเป็น

รามเกียรติ์ ตอน นารายณ์ปราบนนทก ศึกษาตัวบทและคุณค่า

NockAcademy

ติดต่อ

เกี่ยวกับเรา

ความช่วยเหลือ

ทดลองฟรี!

เข้าใจได้ทันที NockAcademy ไลฟ์สดอันดับ 1

ทดลองฟรี!

เข้าใจได้ทันที NockAcademy ไลฟ์สดอันดับ 1