ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์

supanaree

คณิตศาสตร์, คณิตศาสตร์เพิ่มเติม, ฟังก์ชันตรีโกณมิติ, ม.5

Add LINE friends for one click to find article.

ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์

ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ จะเกี่ยวข้องกับ θ พิกัดของ จุด (x, y) ซึ่งในบทความนี้จะอธิบายเกี่ยวกับ ความสัมพันธ์ระหว่าง x, y กับ θ

จากบทความที่ผ่านมาเราได้รู้จักวงกลมหนึ่งหน่วยและการวัดความยาวส่วนโค้ง ในบทความนี้น้องๆจะได้รู้จักกับฟังก์ชันไซน์ (sine function) และฟังก์ชันโคไซน์ (cosine function) และวิธีการหาค่าของฟังก์ชันทั้งสอง

Sine function = {(θ, y) | y = sinθ}

cosine function = {(θ, x) | x = cosθ}

จาก P(θ) = (x, y) และจาก x = cosθ และ y = sinθ

จะได้ว่า P(θ) = (cosθ, sinθ)

โดเมนและเรนจ์ของ sine function และ cosine function

โดเมนของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ คือ จำนวนจริง นั่นคือ θ ∈ $\mathbb{R}$

เรนจ์ของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์คือ [-1, 1] นั่นคือ ค่าของ cosθ และ sinθ จะอยู่ในช่วง [-1, 1]

ความสัมพันธ์ของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์

พิจารณาสมการวงกลมหนึ่งหน่วย (รัศมีเป็น 1) x² + y² = 1

เมื่อแทน x = cosθ และ y = sinθ ในสมการของวงกลมหนึ่งหน่วย

จะได้ว่า (cosθ)² + (sinθ)² = 1 สามารถเขียนได้อีกรูปแบบหนึ่ง คือ

cos²θ + sin²θ = 1

การหา ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์

การหาค่าฟังก์ชันไซน์และโคไซน์นั้น น้องๆจะต้องมีพื้นฐานเรื่องความยาวส่วนโค้งและพิกัดจุดปลายส่วนโค้งพร้อมทั้งรู้เรื่องจตุภาคด้วย น้องๆสามารถดูเนื้อหาได้ที่ >>ความยาวส่วนโค้งของวงกลมหนึ่งหน่วย<<

กำหนดให้ P(θ) = (x, y) และ x = cosθ , y = sinθ

พิจารณา θ = 0 จะได้ว่า พิกัดจุดของ P(0) คือ (1, 0) นั่นคือ P(0) = (1, 0)

ดังนั้น x = 1 และ y = 0 นั่นคือ cos(0) = 1 และ sin(0) = 0

พิจารณาที่ θ = $\frac{\pi }{2}$ จะได้ว่า P( $\frac{\pi }{2}$ ) = (0, 1)

ดังนั้น cos( $\frac{\pi }{2}$ ) = 0 และ sin( $\frac{\pi }{2}$ ) = 1

พิจารณา θ = $\pi$ จะได้ว่า P( $\pi$ ) = (-1, 0)

ดังนั้น cos( $\pi$ ) = -1 และ sin( $\pi$ ) = 0

พิจารณาที่ θ = $\frac{3\pi }{2}$ จะได้ว่า P( $\frac{3\pi }{2}$ ) = (0, -1)

ดังนั้น cos( $\frac{3\pi }{2}$ ) = 0 และ cos( $\frac{3\pi }{2}$ ) = -1

การหาค่า sinθ cosθ โดยใช้มือซ้าย

แต่ละนิ้วจะแทนค่าของ θ ดังรูป
เราจะหาค่าโดยการพับนิ้ว เช่น ต้องการหา sin( $\frac{\pi }{3}$ ) เราก็จะพับนิ้วนางลง
เราจะให้นิ้วที่พับลงเป็นตัวแบ่งระหว่าง cos กับ sin ซึ่งจะแบ่งออกเป็นฝั่งซ้ายและฝั่งขวา
ช่องว่างในรูทคือ จำนวนนิ้วที่เรานับได้เมื่อเราพับนิ้วลง
หากต้องการค่า sin ให้นำจำนวนนิ้วฝั่งซ้ายมาเติมในรูท
และหากต้องการค่า cos ให้นำจำนวนนิ้วฝั่งขวามาเติมในรูท

หากน้องๆยังงงๆเรามาดูตัวอย่างกันค่ะ

ต้องการหาค่า cos( $\frac{\pi }{4}$ ) และ sin( $\frac{\pi }{6}$ )

cos( $\frac{\pi }{4}$ )

จากโจทย์เราต้องการหาค่าโคไซน์ ที่ θ = $\frac{\pi }{4}$ ซึ่งตรงกับนิ้วกลาง

ดังนั้นเราจึงพับนิ้วกลางลง และหาค่าโคไซน์เราต้องดูจำนวนนิ้วฝั่งขวาซึ่งก็คือนิ้วที่ถูกระบายด้วยสีส้ม จะเห็นว่ามี 2 นิ้ว ดังนั้น cos( $\frac{\pi }{4}$ ) = $\frac{\sqrt{2}}{2}$

sin( $\frac{\pi }{6}$ )

จากโจทย์ต้องการหาค่าฟังก์ชันไซน์ ที่ θ = $\frac{\pi }{6}$ เราจึงพับนิ้วชี้ลง และดูจำนวนนิ้วฝั่งซ้ายซึ่งก็คือนิ้วที่ถูกทาด้วยสีฟ้า ดังนั้น sin( $\frac{\pi }{6}$ ) = $\frac{1}{2}$

แล้วสมมติว่า θ เป็นค่าอื่นๆนอกเหนือจากค่าเหล่านี้ล่ะ เช่น $\frac{2\pi }{3}$ เราจะหายังไงดี???

จริงๆแล้วค่าของ $\frac{2\pi }{3}$ นั้นเราสามารถดูของ $\frac{\pi }{3}$ ได้เลย แต่!!!! เครื่องหมายอาจจะต่างกัน ให้น้องๆสังเกตว่า ค่าของ $\frac{2\pi }{3}$ นั้นอยู่ควอดรันต์ที่เท่าไหร่ แล้วน้องจะรู้ว่าค่า x ควรเป็นลบหรือเป็นบวก ค่า y ควรเป็นลบหรือเป็นบวก

อย่างเช่น cos( $\frac{2\pi }{3}$ )

เรามาดูกันว่า θ = $\frac{2\pi }{3}$ อยู่ควอดรันต์เท่าไหร่

จะเห็นว่าอยู่ควอดรันต์ที่ 2 ซึ่ง (- , +) ดังนั้น ค่า x เป็นจำนวนลบ ค่า y เป็นจำนวนบวก และเรารู้ว่า x = cosθ ดังนั้น ค่า cos( $\frac{2\pi }{3}$ ) เป็นจำนวนลบแน่นอน

จากนั้นใช้มือซ้ายเพื่อหาค่า cos โดยใช้ค่า θ = $\frac{\pi }{3}$ ได้เลย จะได้ว่า cos( $\frac{\pi }{3}$ ) = $\frac{1}{2}$

ดังนั้น cos( $\frac{2\pi }{3}$ ) = $-\frac{1}{2}$

นอกจากจะดูหาค่าโดยใช้มือซ้ายแล้ว น้องๆสามารถดูตามรูปด้านล่างนี้ได้เลยค่ะ

ในวงกลมที่ระบายสีฟ้านั้น คือค่าของ θ ซึ่งแต่ละ θ ก็จะบอกพิกัดจุด (x, y) ซึ่งก็คือค่าของ cosθ และ sinθ นั่นเอง

เช่น sin( $\frac{5\pi }{6}$ ) = $\frac{1}{2}$ และ cos( $\frac{5\pi }{6}$ ) = $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

ตัวอย่างการหาค่าฟังก์ชันไซน์และโคไซน์

1) หาค่า sin( $\frac{7\pi }{6}$ )

วิธีทำ หาค่า sin( $\frac{\pi }{6}$ )

จะได้ว่า sin( $\frac{\pi }{6}$ ) = $\frac{1}{2}$

จากนั้นดูพิกัดจุดของ P( $\frac{7\pi }{6}$ ) จะได้ว่า อยู่ควอดรันต์ที่ 3 ซึ่ง (- , -) นั่นคือ ค่า x เป็นจำนวนลบ (cosθ เป็นจำนวนลบ) และค่า y เป็นจำนวนลบ

และจาก y = sinθ

ดังนั้น sin( $\frac{7\pi }{6}$ ) = $-\frac{1}{2}$

2) หาค่า sin²( $\frac{\pi }{6}$ ) + cos²( $\frac{\pi }{6}$ )

วิธีทำ จากความสัมพันธ์ของไซน์และโคไซน์ sin²θ + cos²θ = 1

จะได้ว่าค่าของ sin²( $\frac{\pi }{6}$ ) + cos²( $\frac{\pi }{6}$ ) = 1

เนื่องจากว่าเราเรียนคณิตศาสตร์เราจะต้องไม่เชื่ออะไรง่ายๆ ดังนั้นเราจะมาหาค่าโดยใช้วิธีตรงกันค่ะ

จาก sin( $\frac{\pi }{6}$ ) = $\frac{1}{2}$ จะได้ว่า sin²( $\frac{\pi }{6}$ ) = $\frac{1}{4}$ และ cos( $\frac{\pi }{6}$ ) = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ จะได้ว่า cos²( $\frac{\pi }{6}$ ) = $\frac{3}{4}$

ดังนั้น $\frac{1}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = 1

ดังนั้น สรุปได้ว่า sin²( $\frac{\pi }{6}$ ) + cos²( $\frac{\pi }{6}$ ) = 1

3) หาค่า cos²( $\frac{\pi }{2}$ ) + cos²( $\frac{3\pi }{2}$ ) – cos²( $\pi$ )

วิธีทำ จาก cos( $\frac{\pi }{2}$ ) = 0 cos( $\frac{3\pi }{2}$ ) = 0 และ cos( $\pi$ ) = -1

จะได้ว่า cos²( $\frac{\pi }{2}$ ) = 0 cos²( $\frac{3\pi }{2}$ ) = 0 และ cos²( $\pi$ ) = (-1)² = 1

ดังนั้น cos²( $\frac{\pi }{2}$ ) + cos²( $\frac{3\pi }{2}$ ) – cos²( $\pi$ ) = 0 + 0 – 1 = -1

น้องๆสามารถหาแบบฝึกหัดมาทำเพิ่มเติมโดยใช้กฎมือซ้ายในการช่วยหาค่าฟังก์ชันแต่ทั้งนี้น้องๆก็ต้องมีพื้นฐานเกี่ยวกับความยาวจุดปลายส่วนโค้งด้วยนะคะ และการหาค่าฟังก์นั้นนี้หากน้องๆทำบ่อยจะทำให้น้องจำได้ และเวลาสอบก็จะช่วยให้ทำข้อสอบได้เร็วยิ่งขึ้นด้วยค่ะ

NockAcademy คือโรงเรียนออนไลน์สำหรับเด็ก โดยแอปฯ และเว็บไซต์ นักเรียนสามารถเรียนรู้ผ่านคลิปบทเรียนวิชา คณิตศาสตร์ ภาษาอังกฤษ และภาษาไทย
มากไปกว่านั้น เรายังมีคอร์สเรียนออนไลน์ การสอนพิเศษ การติวนอกสถานที่โดยติวเตอร์ที่แน่นไปด้วยความรู้ อีกด้วย

แค่ 10 นาที ก็เข้าใจได้

สามารถดูคลิปบทเรียนวิชา คณิตศาสตร์ ภาษาอังกฤษ และภาษาไทย ที่มีมากกว่า 2,000+ คลิป และยังสามารถทำแบบทดสอบที่มีมากกว่า 4000+ ข้อ

แนะนำ

แชร์

พาราโบลา

พาราโบลา พาราโบลา คือเซตของจุดบนระนาบมีระยะห่างจากจุดโฟกัส (focus) เท่ากับระยะห่างจากเส้นไดเรกตริกซ์ (directrix) พาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่จุดกำเนิด กราฟของพาราโบลาจะมีลักษณะคล้ายระฆัง ตอนม.3 น้องๆเคยเห็นทั้งพาราโบลาหงายและคว่ำแล้ว แต่ในบทความนี้น้องๆจะได้รู้จักกับพาราโบลาตะแคงซ้ายและขวา สามารถเขียนเป็นตารางให้เข้าใจง่ายๆได้ดังนี้ ข้อสังเกต จะเห็นว่าถ้าแกนสมมาตรคือแกน y รูปแบบสมการของพาราโบลา y จะมีเลขชี้กำลังเป็น 1 สมการเส้นไดเรกตริกซ์ก็จะเกี่ยวข้องกับ y เช่นเดียวกับแกนสมมาตรเป็นแกน x รูปแบบสมการของพาราโบลา x

การใช้ประโยค Where’s the + (Building) + ? It’s + (Preposition Of Place)

สวัสดีค่ะนักเรียนชั้นป.6 ที่น่ารักทุกคน วันนี้ครูจะพาทุกคนไปเรียนรู้เกี่ยวกับ ประโยค การถามทิศทาง แต่เอ้ะ Where is the building? แปลว่า ตึกอยู่ที่ไหน ประโยคนี้เป็นการถามทางแบบห้วนๆ ที่ใช้กับคนที่เราคุ้นชินหรือคนที่เรารู้จัก แต่หากนักเรียนต้องอยู่ในสถานการณ์ที่ต้องถามกับคนแปลกหน้าโดยเฉพาะฝรั่ง คงต้องมาฝึกถามให้สุภาพมากขึ้น ดังนั้นจึงต้องมีการเกริ่นขึ้นก่อนที่เราจะถามนั่นเองค่ะ ซึ่งนักเรียนที่รักทุกคนได้เรียนรู้ในบทเรียนนี้นะคะ ถ้าพร้อมแล้วก็ไปลุยกันเลย รูปแบบการถามทิศทาง โครงสร้างประโยคถามแบบตรงๆ (Direct Question) “

Would และ Used to แตกต่างกันอย่างไร?

สวัสดีน้องๆ ม. 6 ทุกคนนะครับ วันนี้เราจะมาเรียนรู้เกี่ยวกับเรื่อง Would และ Used to กันครับ จะเป็นอย่างไรเราไปดูกันเลย

ทำความรู้จักกับพญาช้างผู้เสียสละนิทานธรรมะจรรโลงใจ

บทนำ สวัสดีน้อง ๆ ที่น่ารักทุกคน กลับมาพบกันอีกครั้งในวิชาภาษาไทยแสนสนุก ซึ่งวันนี้เราจะพาทุกคนมาเปลี่ยนบรรยากาศกันด้วยการมาอ่านนิทานชาดกเรื่อง พญาช้างผู้เสียสละ เป็นเรื่องราวของพระพุทธเจ้าเมื่อครั้งที่ได้ลงมาเกิดเป็นพญาช้างรูปร่างงดงาม ต้องบอกว่าเรื่องราวในนิทานชาดกเรื่องนี้นอกจากจะทำให้น้อง ๆ สนุกไปกับเนื้อเรื่องแล้วก็ยังมอบคติสอนใจให้กับน้อง ๆ ได้ไม่น้อยเลย เพราะฉะนั้นถ้าทุกคนพร้อมแล้วไปเข้าสู่บทเรียนกันเลย ภูมิหลังตัวละคร สำหรับเรื่อง พญาช้างผู้เสียสละ อย่างที่ได้บอกไปว่าเป็นนิทานชาดกที่จัดเป็น 1 ใน 500 ชาติที่พระพุทธเจ้าเคยได้เสวยชาติ ซึ่งชาดกเรื่องนี้จะเล่าถึงพระพุทธเจ้าเมื่อครั้งที่ได้ลงมาเกิดเป็นพญาช้างสีลวะ ด้วยความที่พระองค์ทรงบำเพ็ญทานบารมีมานานจึงได้เกิดเป็นพญาช้างร่างใหญ่กำยำผิวขาวเผือกผ่อง มีงวงและงาสวยงามและมีบริวารรายล้อม

Life is Simple: ทำความรู้จัก Present Simple Tense

เรื่อง Tense (กาล) ในภาษาอังกฤษเป็นเรื่องที่สำคัญมากๆ อีกเรื่องหนึ่ง และ Tense ที่เป็นพื้นฐานสุดๆ และน้องๆ จะพบเจอบ่อยที่สุดก็คือ Present Simple นั่นเอง วันนี้เราจะมาปูพื้นฐานและทบทวนความรู้เรื่องนี้กันครับ

ศึกษาตัวบทและคุณค่าที่แฝงอยู่ในสุภาษิตพระร่วง

สุภาษิตพระร่วง หลังได้เรียนรู้เรื่องประวัติความเป็นมาของสุภาษิตพระร่วงไปแล้ว น้อง ๆ ก็คงอยากรู้ใช่ไหมคะว่าในเรื่องสุภาษิตพระร่วงนั้นสอดแทรกคำสอนเรื่องใดไว้บ้าง รวมถึงคุณค่าที่อยู่ในวรรณคดีอันทรงคุณค่าเรื่องนี้ด้วย บทเรียนวันนี้จะพาน้อง ๆ ทุกคนไปศึกษาตัวบทเด่น ๆ ที่น่าสนใจในสุภาษิตพระร่วงพร้อมเรียนรู้ถึงคุณค่าของเรื่องนี้กันค่ะ ศึกษาตัวบทที่น่าสนใจในเรื่องสุภาษิตพระร่วง คำสอนที่ปรากฏในตัวบท ควรเรียนเพื่อนเป็นประโยชน์แก่ตัวเอง เป็นเด็กควรเรียนหนังสือ พอโตขึ้นค่อยหาเงิน ทำอะไรให้เหมาะสมกับวัย อย่าเอาของคนอื่นมาเป็นของตัวเอง อย่ารีบด่วนสรุปเรื่อง่าง ๆ ให้ประพฤติตนตามแบบวัฒนธรรมที่ดีงาม

ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์

สารบัญ

ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์

โดเมนและเรนจ์ของ sine function และ cosine function

ความสัมพันธ์ของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์

การหา ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์

การหาค่า sinθ cosθ โดยใช้มือซ้าย

ตัวอย่างการหาค่าฟังก์ชันไซน์และโคไซน์

แค่ 10 นาที ก็เข้าใจได้

แนะนำ

แชร์

พาราโบลา

การใช้ประโยค Where’s the + (Building) + ? It’s + (Preposition Of Place)

Would และ Used to แตกต่างกันอย่างไร?

ทำความรู้จักกับพญาช้างผู้เสียสละนิทานธรรมะจรรโลงใจ

Life is Simple: ทำความรู้จัก Present Simple Tense

ศึกษาตัวบทและคุณค่าที่แฝงอยู่ในสุภาษิตพระร่วง

NockAcademy

ติดต่อ

เกี่ยวกับเรา

ความช่วยเหลือ

ทดลองฟรี!

เข้าใจได้ทันที NockAcademy ไลฟ์สดอันดับ 1

ทดลองฟรี!

เข้าใจได้ทันที NockAcademy ไลฟ์สดอันดับ 1