อนุกรมเลขคณิต

อนุกรมเลขคณิต

สารบัญ

Add LINE friends for one click to find article. Add LINE friends for one click to find article.

อนุกรมเลขคณิต

อนุกรมเลขคณิต คือการนำลำดับเลขคณิตแต่ละพจน์มาบวกกัน โดย เขียนแทนด้วย S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{n} จากบทความ “สัญลักษณ์การบวก” ซึ่งเป็นการลดรูปการเขียนจำนวนหลายจำนวนบวกกัน ในบทความนี้จะพูดถึงการบวกของลำดับเลขคณิต การหาผลบวก สูตรสำหรับการหาผลบวกเลขคณิต

สูตรอนุกรมเลขคณิต

สูตรของอนุกรมเลขคณิตมีอยู่ 2 สูตร ดังนี้

1) S_{n}=\frac{n}{2}(2a_{1}+(n-1)d)  โดยที่ d คือ ผลต่างร่วม

2) S_{n}=\frac{n}{2}(a_{1}+a_{n})  โดยจะใช้สูตรนี้ก็ต่อเมื่อรู้ค่า n

จากสูตรดังกล่างจะเห็นว่า มีความคล้ายกับสูตรลำดับเลขคณิต ดังนั้นอย่าจำสลับกันนะคะ

ตัวอย่าง

ในเรื่องของลำดับและอนุกรมนั้นโจทย์ปัญหามีหลายแบบ ถือได้ว่าเป็นอีกเรื่องหนึ่งที่มีโจทย์หลากหลาย

ก่อนที่น้อง ๆ จะเริ่มทำแบบฝึกหัด พี่อยากให้น้อง ๆ ทบทวน เรื่องลำดับเลขคณิตก่อน โดยสามารถ เข้าไปดูได้ที่ “ลำดับเลขคณิต

หลังจากทบทวนลำดับเลขคณิตแล้ว มาเริ่มทำแบบฝึกหัดไปพร้อม ๆ กันเลย

1) จงหาผลบวก 20 พจน์แรกของอนุกรม 96 + 94 + 92 + 90 + …

จากโจทย์  พจน์ของอนุกรมลดลงคงที่

ดังนั้นเป็นอนุกรมเลขคณิตที่มี d = 2

โจทย์ต้องการผลบวก 20 พจน์แรก นั่นคือ หา S_{20}

จากสูตร \inline S_{n}=\frac{n}{2}(2a_{1}+(n-1)d)

จากโจทย์ \inline a_{1}=96 , d = -2 และ n = 20

\inline S_{20}=\frac{20}{2}(2(96)+(20-1)(-2))

\inline =10(192+(-38))

=10(154)

=1540

ตอบ ผลบวกของ 20 พจน์แรกของอนุกรม 96 + 94 + 92 + 90 + … มีค่าเท่ากับ 1540

ตัวอย่างอนุกรมเลขคณิต

โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับอนุกรมนั้นมีเยอะมาก และอนุกรมเลขคณิตยังสามารถนำมาปรับใช้ในชีวิตประจำวันได้อีกด้วย ไปดูตัวอย่างกันเลยค่ะ

1) จงหาผลบวกของอนุกรมเลขคณิต 7 + 10 + 13 + …+ 157

วิธีทำ จากโจทย์จะเห็นว่าสิ่งที่โจทย์ให้มา ได้แก่ d = 3 ,พจน์ที่ 1  a_1=7 และพจน์ที่ n a_n=157  ดังนั้นเราจะใช้สูตรที่ทราบค่าของพจน์สุดท้าย จะได้

S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)=\frac{n}{2}(7+157) จะเห็นว่า สิ่งที่เราไม่ทราบค่าก็คือ n นั่นเอง ดังนั้นเราจะต้องหา n มาก่อน

วิธีการหาค่า n คือ ให้ใช้สูตรของลำดับเลขคณิต และหาว่าพจน์สุดท้าย(ข้อนี้คือ 157 ) คือพจน์ที่เท่าไหร่

a_n=157=a_1+(n-1)d=7+(n-1)(3)

n = 51  นั่นคือ 157 ซึ่งเป็นพจน์สุดท้าย คือพจน์ที่ 51 นั่นเอง จึงสรุปได้ว่า อนุกรมนี้มีทั้งหมด 51 พจน์

เมื่อได้ n มาแล้ว ก็สามารถหาผลบวกของอนุกรมได้แล้ว จะได้

S_n=\frac{n}{2}(7+157)=\frac{51}{2}(164)=4,182

ดังนั้น ผลบวกของอนุกรมเลขคณิตนี้คือ 4,182

 

2) จงหาผลบวกจำนวนคู่ตั้งแต่ 18 ถึง 482

วิธีทำ จากโจทย์ให้หาผลบวกของจำนวนคู่ ดังนั้นสามารถเขียนได้เป็น S_n=18 + 20 + 22 + … + 482

จะเห็นว่าสิ่งที่โจทย์ให้มาได้แก่ d = 2 , a_1=18  และ a_n=482 เราจะใช้สูตรที่มีพจน์สุดท้าย จะได้

S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)=\frac{n}{2}(18+482)

หา n โดยใช้สูตรลำดับเลขคณิต

a_n=482=18+(n-1)(2)

n = 233

ดังนั้น จะได้ S_n=\frac{n}{2}(18+482)=\frac{233}{2}(500)=58,250

 

3) หอประชุมของโรงเรียนแห่งหนึ่งจัดเก้าอี้ให้มีเก้าอี้แถวแรก 12 ตัว แถวที่สองมี 14 ตัว แถวที่สามมี 16 ตัว เป็นแบบนี้ไปเรื่อยๆ ถ้าหอประชุมจัดกเ้าอี้ไว้ทั้งหมด 15 แถว จงหาว่ามีเก้าอี้ในหอประชุมทั้งหมดกี่ตัว

วิธีทำ จากโจทย์ให้หาว่ามีเก้าอี้ทั้งหมดกี่ตัว ดังนั้นเราจะเอาเก้าอี้แต่ละแถวบวกกันทั้งหมด 15 แถว จะได้ว่า

จำนวนเก้าอี้ทั้งหมด  = 12 + 14 + 16 + … บวกไปเรื่อยๆจนถึงแถวที่ 15 นั่นหมายความว่า n  = 15 นั่นเอง แต่เนื่องจากตอนนี้เราไม่รู้ว่าแถวที่ 15 มีเก้าอี้ทั้งหมดกี่ตัวซึ่งหมายความว่าเรายังไม่ทราบค่าของพจน์สุดท้ายนั่นเอง

และจากอนุกรมจะเห็นว่า d = 2 ,a_1=12

ดังนั้นจะใช้สูตรที่ไม่มีทราบค่าพจน์สุดท้าย จะได้

S_{15}=\frac{15}{2}(2(12)+(15-1)(2))=390

ดังนั้น มีเก้าอี้ทั้งหมด 390 ตัว

 

4) พี่มีนยืมเงินจากน้องมิว 630 บาท และตกลงกันว่าจะจ่ายเงินคืนน้องทุกวันโดยวันแรกจะคืนให้ 10 บาท วันที่สองจะคืนเงินให้ 12 บาท และวันต่อๆไปจะคืนเงินเพิ่มขึ้นจากวันก่อนหน้าวันละ 2 บาททุกวัน จำนวนวันที่พี่มีนจะจ่ายเงินคืนให้น้องมิวได้ครบพอดีเท่ากับเท่าใด

วิธีทำ จากโจทย์จ่ายเงินคืนวันแรก 10 บาท วันถัดไปจ่ายเงินมากกว่าวันก่อนหน้า 2 บาท และจ่ายจนครบ 630 บาท สามารถเขียนเป็นอนุกรมได้ดังนี้

630 = 10 + 12 + 14 + … บวกไปเรื่อยๆจนรวมกันได้ทั้งหมด 630 บาท และโจทย์ถามว่าใช้เวลากี่วันถึงจะจ่ายเงินครบพอดีนั่นคือ ถามหา n ที่ทำให้ผลบวกนี้เท่ากับ 630

สิ่งที่โจทย์ให้มา คือ S_n=630 , a_1=10  และ  d = 2 และเนื่องจากว่าเราไม่ทราบค่าของพจน์สุดท้ายจึงจะใช้สูตรของอนุกรมS_{n}=\frac{n}{2}(2a_{1}+(n-1)d)

จะเห็นว่ามีค่าที่ต้องใช้ในสูตรหมดแล้ว ดังนั้นก็เหลือแค่แทนค่าและหาค่า n เท่านั้น จะได้ว่า

630=\frac{n}{2}(2(10)+(n-1)(2))

n = -30 , 21 แต่เนื่องจาก n ในที่นี้หมายถึงจำนวนวันจึงไม่สามารถติดลบได้ และโดยทั่วไป n หมายถึงจำนวนพจน์ดังนั้น n จะต้องเป็นจำนวนนับ

ดังนั้น ใช้เวลาทั้ง 21 วันจึงจะคืบเงินครบ 630 บาท

 

5) ถ้า S_n = n^2-4n เป็นผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต ที่มี a_n เป็นพจน์ที่ n และ d เป็นผลต่างร่วมแล้ว d+a_1a_2 เท่ากับเท่าใด

วิธีทำ จากโจทย์ ให้รูปแบบของ S_n มา ดังนั้นเราจะมาลองแทนค่า

จาก S_n = n^2-4n จะได้ว่า

S_1=1^2-4(1)=-3

และจาก S_1=a_1 จะได้ว่า a_1=-3

พิจารณา S_2=2^2-4(2)=-4 

และจากที่เรารู้ว่าสูตรการหาอนุกรมเลขคณิตโดยทั่วไปแล้วคือ S_{n}=\frac{n}{2}(2a_{1}+(n-1)d)

ดังนั้นเราจะได้ว่า

S_{2}=\frac{2}{2}(2(-3)+(2-1)d)=-4

พอเราแก้สมการก็จะได่ d = 2 

ดังนั้นตอนนี้เรารู้ค่า  d และ a_1 แล้ว ดังนั้นเราจะมาหาพจน์ที่ 2 ต่อ โดยใช้สูตรลำดับเลขคณิต

a_2=a_1+d=-3+2=-1

ตอนนี้เรามีค่าของพจน์ที่ 1 และ2 และค่าของ d แล้ว ดังนั้นเราสามารถหาค่าที่โจทย์ถามได้แล้ว จะได้เป็น

d+a_1a_2=2+(-3)(-1)=5 

 

สรุป จากตัวอย่างข้างต้นจะเห็นว่าอนุกรมเลขคณิตนั้นสามารถนำมาปรับใช้ในชีวิตประจำวันได้และทำให้การคิดเลขนั้นสะดวกสบายขึ้นด้วย แต่ทั้งนี้น้องๆจะต้องไม่ลืมสูตรของลำดับเลขคณิตนะคะ เพราะเราจะเห็นว่าถึงแม้จะเป็นเรื่องอนุกรมเลขคณิตเราก็ยังได้ใช้ความรู้เรื่องลำดับเลขคณิตมาช่วยอยู่ ดังนั้นน้องๆอย่าลืมไปทวบทวนเรื่องลำดับเลขคณิตกันด้วยนะคะ 

 

วิดีโอเกี่ยวกับอนุกรมเลขคณิต

น้องๆสามารถเรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับอนุกรมเลขคณิตได้ที่คลิปด้านล่างนี้เลยค่ะ

 

NockAcademy คือโรงเรียนออนไลน์สำหรับเด็ก โดยแอปฯ และเว็บไซต์ นักเรียนสามารถเรียนรู้ผ่านคลิปบทเรียนวิชา คณิตศาสตร์ ภาษาอังกฤษ และภาษาไทย
มากไปกว่านั้น เรายังมีคอร์สเรียนออนไลน์ การสอนพิเศษ การติวนอกสถานที่โดยติวเตอร์ที่แน่นไปด้วยความรู้ อีกด้วย

Add LINE friends for one click to find article. Add LINE friends for one click to find article.
เรียนพิเศษออนไลน์ ดูได้ทั้ง 4 รายวิชา - NockAcademy

แค่ 10 นาที ก็เข้าใจได้

สามารถดูคลิปบทเรียนวิชา คณิตศาสตร์ ภาษาอังกฤษ และภาษาไทย ที่มีมากกว่า 2,000+ คลิป และยังสามารถทำแบบทดสอบที่มีมากกว่า 4000+ ข้อ

แนะนำ

แชร์

การเขียนบรรยาย

การเขียนบรรยาย อธิบาย พรรณนา เรียนรู้ 3 การเขียนที่สำคัญในยุคปัจจุบัน

ทักษะการเขียนอธิบาย การเขียนบรรยาย และการเขียนพรรณนา ถือว่ามีความสำคัญอย่างมากในปัจจุบัน เพราะมนุษย์นั้นมีสัญชาตญาณในการอยากรู้และหาคำตอบ ดังนั้นเราจึงไม่อาจเลี่ยงตอบคำถามใครได้ ดังนั้นการตอบคำถามหรือทำให้ผู้รับสารเข้าใจตรงกันจึงเป็นสิ่งจำเป็น บทเรียนวันนี้เราจะมาเรียนรู้เทคนิคการเขียนทั้งสามแบบว่ามีวิธีการเขียนอย่างไร ถ้าพร้อมแล้วเราไปเรียนรู้พร้อมกันเลยค่ะ   การเขียน   การเขียนอธิบาย   การเขียนอธิบาย หมายถึง การทำให้บุคคลอื่นเข้าใจในความจริงที่เกิดขึ้น มีกลวิธีการเขียนดังนี้ กลวิธีการเขียนอธิบาย 1. การอธิบายตามลำดับขั้น เป็นอธิบายไปทีละขั้นตอน ใช้ในการเขียนอธิบายถึงกิจกรรมหรือวิธีทำบางสิ่งบางอย่าง    

Imperative for Advice

Imperative for Advice: การให้คำแนะนำ

สวัสดีน้องๆ ป. 6 ทุกคนนะครับ วันนี้เราจะมาเรียนเรื่องง่ายๆ อย่าง Imperative for Advice กัน จะง่ายขนาดไหนเราลองไปดูกันเลยครับ

คำซ้ำคืออะไร เรียนรู้และเข้าใจหลักการสร้างคำอย่างง่าย

  จากที่ได้เรียนเรื่องการสร้างคำประสมและคำซ้อนไปแล้ว บทเรียนหลักภาษาไทยในวันนี้จะพาน้อง ๆ ไปเรียนรู้การสร้างคำอีกหนึ่งชนิดที่สำคัญไม่แพ้สองคำก่อนหน้า นั่นก็คือ คำซ้ำ นั่นเองค่ะ คำซ้ำคืออะไร มีวิธีสร้างคำได้อย่างไรบ้าง วันนี้เราไปทำความเข้าใจเกี่ยวกับเรื่องนี้พร้อม ๆ กันเลยค่ะ   คำซ้ำ     คำซ้ำคืออะไร?   คำซ้ำ หมายถึง การสร้างคำขึ้นใหม่ โดยนำคำมูลซึ่งส่วนมากเป็นคำพยางค์เดียวมาซ้ำกันแล้วมีความหมายเปลี่ยนแปลงไป อาจเน้นหนักขึ้น หรือเบาลง

การใช้ There is และ There are ในประโยคคำถาม

สวัสดีค่ะนักเรียนชั้น ม.2 ที่รักทุกคน วันนี้เราจะไปเรียนรู้เรื่อง “การใช้ There is There are ในประโยคคำถาม ” กันจ้า ถ้าพร้อมแล้วก็ไปลุยกันเลยเด้อ   There is/There are คืออะไร   There is และ There are แปลว่า

โคลงนฤทุมนาการ โคลงสุภาษิตสอนใจรู้ไว้ไม่เป็นทุกข์

หลังจากได้ศึกษาเรื่องโคลงโสฬสไตรยางค์ไปแล้ว น้อง ๆ ทราบไหมคะว่าในโครงสุภาษิตยังมีเรื่องอื่นอีกด้วย และในบทเรียนที่น้อง ๆ จะได้เรียนต่อไปนี้ก็คือเรื่อง โคลงนฤทุมนาการ เป็นโคลงสุภาษิต ที่ใช้โคลงสี่สุภาพในการประพันธ์เหมือนโคลงโสฬสไตรยางค์ แต่จะมีความหมาย และเนื้อหาอย่างไรบ้าง ไปเรียนรู้พร้อม ๆ กันเลยค่ะ   โคลงนฤทุมนาการ คืออะไร     ก่อนที่จะไปเรียนรู้ว่าในโคลงนฤทุมนาการมีอะไรบ้างนั้น เรามาดูกันที่ความหมายก่อนเลยค่ะ คำว่า นฤทุมนาการ มาจากคำศัพท์ต่าง

present progressive

Present Progressive พร้อมโครงสร้าง และวิธีใช้

สวัสดีน้องๆ ม. 4 ทุกคนนะครับ วันนี้เราจะมาเรียนรู้เรื่อง Present Progressive ซึ่งเป็นอีกหนึ่ง Tense ที่สำคัญเช่นกันในไวยากรณ์ภาษาอังกฤษ เราไปดูกันเลยดีกว่าครับ

Nockacademy web logo 3

ทดลองฟรี!

เข้าใจได้ทันที NockAcademy ไลฟ์สดอันดับ 1

Nockacademy web logo 3

ทดลองฟรี!

เข้าใจได้ทันที NockAcademy ไลฟ์สดอันดับ 1