รากที่ n ของจำนวนจริง และจำนวนจริงในรูปกรณฑ์

รากที่ n ของจำนวนจริง

สารบัญ

รากที่ n ของจำนวนจริง

รากที่ n ของจำนวนจริง คือจำนวนจริงตัวหนึ่งยกกำลัง n แล้วเท่ากับ x   เมื่อ n > 1 เราสามารถตรวจสอบรากที่ n ได้ง่ายๆ โดยนิยามดังนี้

นิยาม

ให้  x, y เป็นจำนวนจริง และ n เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 1 เราจะบอกว่า y เป็นรากที่ n ของ x ก็ต่อเมื่อ รากที่ n ของจำนวนจริง

 

เช่น 5 เป็นรากที่ 3 ของ 125 หรือไม่

จากที่เรารู้ว่า 5×5×5 = 125 ดังนั้น เราจึงสรุปได้ว่า 5 เป็นรากที่ 3 ของ 125 หรือสามารถพูดได้อีกแบบคือ รากที่ 3 ของ 125 คือ 5 เขียนให้สั้นลงได้เป็น \sqrt[3]{125}=5 นั่นเอง

ในกรณีที่ x = 0 จะได้ว่า \sqrt[n]{x} = 0

แต่ถ้า x > 0 จะได้ว่า n จะเป็นเลขคู่หรือคี่ก็ได้

**เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มคู่ จะได้ว่า รากที่ n ของ x เป็นได้ทั้งจำนวนบวกและจำนวนลบ

เช่น -2, 2 เป็นรากที่ 4 ของ 16 เพราะ รากที่ n ของจำนวนจริง และ รากที่ n ของจำนวนจริง

 

ในกรณีที่ x < 0 ในระบบจำนวนจริง n ควรจะเป็นเลขคี่

สมมติว่า n เป็นเลขคู่

\sqrt[4]{-16}  จะเห็นว่าไม่มีจำนวนจริงใดยกกำลัง 4 แล้วได้ -16 เพราะปกติแล้วยกกำลังคู่ต้องได้จำนวนบวก ดังนั้นจึงไม่มีคำตอบในระบบจำนวนจริง (แต่มีคำตอบในจำนวนเชิงซ้อน ซึ่งน้องๆจะได้เรียนในบทจำนวนเชิงซ้อน)

สมมติว่า n เป็นเลขคี่

\sqrt[3]{-125} = -5 เพราะ (-5)×(-5)×(-5) = (-5)³ = -125

จำนวนจริงในรูปกรณฑ์

กรณฑ์ หรือค่าหลักของราก มีนิยามดังนี้

นิยาม

ให้ x, y เป็นจำนวนจริง และ n เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 1 จะบอกว่า y เป็นค่าหลักของรากที่ n ของ x ก็ต่อเมื่อ

  1. y เป็นรากที่ n ของ x
  2. xy ≥ 0

จากนิยามจะเห็นว่า ถ้า y จะเป็นค่าหลักของรากที่ n ของ x ได้ จะได้ต้องมีคูณสมบัติครบทั้งสองข้อ มีข้อใดข้อหนึ่งไม่ได้

และเราจะเขียน \sqrt[n]{x} แทนค่าหลักของรากที่ n ของ x อ่านได้อีกอย่างว่า กรณฑ์ที่ n ของ x

ตัวอย่าง

-3 เป็นกรณฑ์ที่ 3 ของ -27 เพราะว่า

  1. -3 เป็นรากที่ 3 ของ 3 (เนื่องจาก รากที่ n ของจำนวนจริง)
  2. (-27)(-3) = 81 ≥ 0

-2 เป็นรากที่ 4 ของ 16 แต่ -2 นั้นไม่เป็นกรณฑ์ที่ 4 ของ 16 เพราะว่า (-2)(16) = -32 < 0

สมบัติที่ควรรู้

ให้ a, b เป็นจำนวนจริง และ m, n เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 1

  1. จำนวนจริงในรูปกรณฑ์
  2. \sqrt[n]{1}=1
  3. \sqrt[n]{0}=0
  4. (\sqrt[n]{a})^n=a
  5. \sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\times \sqrt[n]{b}
  6. \sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}},b\neq 0
  7. \sqrt[n]{a^{n}} = a เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มคี่   เช่น  \sqrt[3]{(-3)^3} = -3 , \sqrt[5]{2^{5}}=2
  8. \sqrt[n]{a^{n}} = \left | a \right | เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มคู่   เช่น \sqrt[4]{2^{4}}= \left | 2 \right |=2 , \sqrt[4]{(-3)^4}=\left | -3 \right |=3

 

สูตรลัดในการหารากที่ 2

รากที่ n ของจำนวนจริง

รากที่ n ของจำนวนจริง

 

ตัวอย่าง

1.)     รากที่ n ของจำนวนจริง

 

2.)    \sqrt[3]{4\sqrt[3]{4\sqrt[3]{4...}}}= \sqrt[3-1]{4}=\sqrt[2]{4}=2

 

การหาผลบวก และผลต่างของจำนวนจริงในรูปกรณฑ์

วิธีการหาคือ

  1. อันดับของกรณฑ์ต้องเหมือนกัน
  2. เลขข้างในต้องเหมือนกันด้วย โดยอาจจะทำให้เป็นจำนวนเฉพาะหรืออาจจะทำให้เป็นจำนวนที่ต่ำที่สุด

ตัวอย่าง

1.) 3\sqrt{8}-\sqrt{2}+\sqrt{32}

รากที่ n ของจำนวนจริง

 

การหาผลคูณและผลหารของจำนวนจริงในรูปกรณฑ์

 

หลักการก็คือ

  1. อันดับของกรณฑ์ต้องเหมือนกัน
  2. ถ้าอันดับของกรณฑ์ไม่เหมือนกันจะต้องทำให้อันดับเหมือนกันก่อน โดยใช้สมบัติ   

 

ตัวอย่าง 

จะเขียน \sqrt[3]{8}\sqrt{6} ให้อยู่ในรูปอย่างง่าย

รากที่ n ของจำนวนจริง

 

 

วิดีโอ รากที่ n ของจำนวนจริง และจำนวนจริงในรูปกรณฑ์

 

 

 

 

 

 

 

NockAcademy คือโรงเรียนออนไลน์สำหรับเด็ก โดยแอปฯ และเว็บไซต์ นักเรียนสามารถเรียนรู้ผ่านวิดีโอบทเรียนวิชา คณิตศาสตร์ ภาษาอังกฤษ และภาษาไทย มากไปกว่านั้น เรายังมีคอร์สเรียนออนไลน์ การสอนพิเศษ การติวนอกสถานที่โดยติวเตอร์ที่แน่นไปด้วยความรู้ อีกด้วย
เรียนพิเศษออนไลน์ ดูได้ทั้ง 4 รายวิชา - NockAcademy

แค่ 10 นาที ก็เข้าใจได้

สามารถดูวิดีโอบทเรียนวิชา คณิตศาสตร์ ภาษาอังกฤษ และภาษาไทย ที่มีมากกว่า 2,000+ วิดีโอ และยังสามารถทำแบบทดสอบที่มีมากกว่า 4000+ ข้อ

แนะนำ

แชร์

การเปรียบเทียบจำนวนเต็ม

การเปรียบเทียบจำนวนเต็ม

ทบทวนจำนวนเต็ม บทความนี้จะทำให้น้องๆ เข้าใจ การเปรียบเทียบจำนวนเต็ม ซึ่งได้รวบรวมตัวอย่างไว้อย่างหลากหลาย น้องๆรู้จัก จำนวนเต็ม กันแล้ว แต่หลายคนยังไม่สามาถเปรียบเทียบความมากน้อยของจำนวนเต็มเหล่านั้นได้ ซึ่งถ้าน้องๆ เคยเรียนเรื่องการเปรียบเทียบเศษส่วนและจำนวนคละมาแล้ว เรื่องนี้จะกลายเป็นเรื่องง่ายดาย ซึ่งได้นำเสนออกมาในรูปแบที่เข้าใจง่าย ทำให้น้องๆสนุกกับการเรียนคณิตศาสตร์ ทบทวนเรื่องจำนวนเต็ม  เช่น                                                                                                     25 ,  9  , -5 , 5.5 ,

โจทย์ปัญหา + – × ÷ ระคนของเศษส่วนและจำนวนคละ

ตัวอย่างโจทย์ปัญหา + – × ÷ ระคนของเศษส่วนและจำนวนคละ

บทความนี้จะยกตัวอย่างของโจทย์ปัญหาบวก ลบ คูณ หารระคนของเศษส่วนและจำนวนคละพร้อมทั้งวิธีวิเคราะห์โจทย์ การแก้โจทย์ปัญหาและหาคำตอบออกมาได้อย่างสมเหตุสมผล หลังจากอ่านบทความนี้จบน้อง ๆ จะสามารถทำความเข้าใจกับโจทย์ปัญหาบวก ลบ คูณ หารระคนของเศษส่วนและจำนวนคละและแก้โจทย์ได้ดียิ่งขึ้น

ฟังก์ชันเพิ่มและฟังก์ชันลด

ฟังก์ชันเพิ่มและฟังก์ชันลด ฟังก์ชันเพิ่มและฟังก์ชันลด สามารถตรวจสอบได้จากกราฟและนิยาม สมการหนึ่งสมการอาจจะเป็นทั้งฟังก์ชันเพิ่มและฟังก์ชันลดขึ้นอยู่กับรูปแบบของกราฟและสมการ บทนิยาม ให้ f เป็นฟังก์ชันที่ส่งจากโดเมนของฟังก์ชันไปยังจำนวนจริง โดยที่ A เป็นสับเซตของจำนวนจริง และ A เป็นสับเซตของโดเมน จะบอกว่า  f เป็นฟังก์ชันเพิ่มบนเซตเซต A ก็ต่อเมื่อ สำหรับ และ ใดๆใน A ถ้า  < 

สถิติ (เส้นโค้งความถี่)

สถิติ (เส้นโค้งความถี่)

บทความนี้ได้รวบรวมความรู้เรื่อง สถิติ (เส้นโค้งความถี่)  ซึ่งก่อนที่จะเรียนเรื่องนี้ น้องๆจะต้องมีความรู้ในเรื่อง    ค่ากลางของข้อมูล และการวัดการกระจายของข้อมูล สามารถศึกษาเพิ่มเติมได้ที่  ⇒⇒ สถิติ (ค่ากลางของข้อมูล/การกระจายของข้อมูล) ⇐⇐ เส้นโค้งของความถี่ จะมีอยู่ 3 แบบ คือ เส้นโค้งปกติ เส้นโค้งเบ้ขวา และเส้นโค้งเบ้ซ้าย ซึ่งจะมีความสัมพันธ์กับค่ากลางของข้อมูล  ได้แก่ ค่าเฉลี่ยเลขคณิต (μ)   มัธยฐาน (Med) และฐานนิยม

Adjective

คำคุณศัพท์และการเรียงคำคุณศัพท์

สวัสดีน้องๆ ป. 6 ทุกคนนะครับ วันนี้เราจะมาเรียนรู้เกี่ยวกับคำคุณศัพท์และการเรียงคำคุณศัพท์ในภาษาอังกฤษกัน ถ้าพร้อมแล้วไปลุยกันเลยครับ

Profile

การตั้งประโยคคำถามแบบมีกริยาช่วยนำหน้าและ Wh-questions

สวัสดีค่ะนักเรียนชั้นม.1 ทุกคน วันนี้ครูจะพาไปดู ความแตกต่างของ ประโยคคำถามที่มีกริยาช่วยนำหน้า กับ Wh-questions กันค่ะ พร้อมแล้วก็ไปลุยกันเลย มารู้จักกับกริยาช่วย   Helping verb หรือ Auxiliary verb กริยาช่วย หรือ ภาษาทางการเรียกว่า กริยานุเคราะห์  คือกริยาที่วางอยู่หน้ากริยาหลัก (Main verb) ในประโยค  ทำหน้าที่ช่วยกริยาอื่นให้มีความหมายตาม