รากที่ n ของจำนวนจริง และจำนวนจริงในรูปกรณฑ์

supanaree

คณิตศาสตร์, คณิตศาสตร์ เพิ่มเติม, ม.4

Add LINE friends for one click to find article.

รากที่ n ของจำนวนจริง

รากที่ n ของจำนวนจริง คือจำนวนจริงตัวหนึ่งยกกำลัง n แล้วเท่ากับ x เมื่อ n > 1 เราสามารถตรวจสอบรากที่ n ได้ง่ายๆ โดยนิยามดังนี้

นิยาม

ให้ x, y เป็นจำนวนจริง และ n เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 1 เราจะบอกว่า y เป็นรากที่ n ของ x ก็ต่อเมื่อ $รากที่ n ของจำนวนจริง$

เช่น 5 เป็นรากที่ 3 ของ 125 หรือไม่

จากที่เรารู้ว่า 5×5×5 = 125 ดังนั้น เราจึงสรุปได้ว่า 5 เป็นรากที่ 3 ของ 125 หรือสามารถพูดได้อีกแบบคือ รากที่ 3 ของ 125 คือ 5 เขียนให้สั้นลงได้เป็น $\sqrt[3]{125}=5$ นั่นเอง

ในกรณีที่ x = 0 จะได้ว่า $\sqrt[n]{x}$ = 0

แต่ถ้า x > 0 จะได้ว่า n จะเป็นเลขคู่หรือคี่ก็ได้

**เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มคู่ จะได้ว่า รากที่ n ของ x เป็นได้ทั้งจำนวนบวกและจำนวนลบ

เช่น -2, 2 เป็นรากที่ 4 ของ 16 เพราะ $รากที่ n ของจำนวนจริง$ และ $รากที่ n ของจำนวนจริง$

ในกรณีที่ x < 0 ในระบบจำนวนจริง n ควรจะเป็นเลขคี่

สมมติว่า n เป็นเลขคู่

$\sqrt[4]{-16}$ จะเห็นว่าไม่มีจำนวนจริงใดยกกำลัง 4 แล้วได้ -16 เพราะปกติแล้วยกกำลังคู่ต้องได้จำนวนบวก ดังนั้นจึงไม่มีคำตอบในระบบจำนวนจริง (แต่มีคำตอบในจำนวนเชิงซ้อน ซึ่งน้องๆจะได้เรียนในบทจำนวนเชิงซ้อน)

สมมติว่า n เป็นเลขคี่

$\sqrt[3]{-125}$ = -5 เพราะ (-5)×(-5)×(-5) = (-5)³ = -125

จำนวนจริงในรูปกรณฑ์

กรณฑ์ หรือค่าหลักของราก มีนิยามดังนี้

นิยาม

ให้ x, y เป็นจำนวนจริง และ n เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 1 จะบอกว่า y เป็นค่าหลักของรากที่ n ของ x ก็ต่อเมื่อ

y เป็นรากที่ n ของ x
xy ≥ 0

จากนิยามจะเห็นว่า ถ้า y จะเป็นค่าหลักของรากที่ n ของ x ได้ จะได้ต้องมีคูณสมบัติครบทั้งสองข้อ มีข้อใดข้อหนึ่งไม่ได้

และเราจะเขียน $\sqrt[n]{x}$ แทนค่าหลักของรากที่ n ของ x อ่านได้อีกอย่างว่า กรณฑ์ที่ n ของ x

ตัวอย่าง

-3 เป็นกรณฑ์ที่ 3 ของ -27 เพราะว่า

-3 เป็นรากที่ 3 ของ 3 (เนื่องจาก $รากที่ n ของจำนวนจริง$ )
(-27)(-3) = 81 ≥ 0

-2 เป็นรากที่ 4 ของ 16 แต่ -2 นั้นไม่เป็นกรณฑ์ที่ 4 ของ 16 เพราะว่า (-2)(16) = -32 < 0

สมบัติที่ควรรู้

ให้ a, b เป็นจำนวนจริง และ m, n เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 1

$จำนวนจริงในรูปกรณฑ์$
$\sqrt[n]{1}=1$
$\sqrt[n]{0}=0$
$(\sqrt[n]{a})^n=a$
$\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\times \sqrt[n]{b}$
$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}},b\neq 0$
$\sqrt[n]{a^{n}}$ = a เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มคี่ เช่น $\sqrt[3]{(-3)^3} = -3$ , $\sqrt[5]{2^{5}}=2$
$\sqrt[n]{a^{n}}$ = $\left | a \right |$ เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มคู่ เช่น $\sqrt[4]{2^{4}}= \left | 2 \right |=2$ , $\sqrt[4]{(-3)^4}=\left | -3 \right |=3$

สูตรลัดในการหารากที่ 2

$รากที่ n ของจำนวนจริง$

ตัวอย่าง

1.) $รากที่ n ของจำนวนจริง$

2.) $\sqrt[3]{4\sqrt[3]{4\sqrt[3]{4...}}}= \sqrt[3-1]{4}=\sqrt[2]{4}=2$

การหาผลบวก และผลต่างของจำนวนจริงในรูปกรณฑ์

วิธีการหาคือ

อันดับของกรณฑ์ต้องเหมือนกัน
เลขข้างในต้องเหมือนกันด้วย โดยอาจจะทำให้เป็นจำนวนเฉพาะหรืออาจจะทำให้เป็นจำนวนที่ต่ำที่สุด

ตัวอย่าง

1.) $3\sqrt{8}-\sqrt{2}+\sqrt{32}$

การหาผลคูณและผลหารของจำนวนจริงในรูปกรณฑ์

หลักการก็คือ

อันดับของกรณฑ์ต้องเหมือนกัน
ถ้าอันดับของกรณฑ์ไม่เหมือนกันจะต้องทำให้อันดับเหมือนกันก่อน โดยใช้สมบัติ

ตัวอย่าง

จะเขียน $\sqrt[3]{8}\sqrt{6}$ ให้อยู่ในรูปอย่างง่าย

วิดีโอ รากที่ n ของจำนวนจริง และจำนวนจริงในรูปกรณฑ์

NockAcademy คือโรงเรียนออนไลน์สำหรับเด็ก โดยแอปฯ และเว็บไซต์ นักเรียนสามารถเรียนรู้ผ่านคลิปบทเรียนวิชา คณิตศาสตร์ ภาษาอังกฤษ และภาษาไทย
มากไปกว่านั้น เรายังมีคอร์สเรียนออนไลน์ การสอนพิเศษ การติวนอกสถานที่โดยติวเตอร์ที่แน่นไปด้วยความรู้ อีกด้วย

แค่ 10 นาที ก็เข้าใจได้

สามารถดูคลิปบทเรียนวิชา คณิตศาสตร์ ภาษาอังกฤษ และภาษาไทย ที่มีมากกว่า 2,000+ คลิป และยังสามารถทำแบบทดสอบที่มีมากกว่า 4000+ ข้อ

แนะนำ

แชร์

คำราชาศัพท์ที่ใช้กับพระภิกษุสงฆ์ พูดอย่างไรให้ถูกต้อง

คำราชาศัพท์ที่ใช้กับพระภิกษุสงฆ์ ถือเป็นเรื่องสำคัญ ที่น้อง ๆ หลายคนอาจจะต้องพบเจอถ้าหากว่านับถือศาสนาพุทธ เพราะว่าเราอาจมีโอกาสได้สนทนากับพระระหว่างทำบุญก็ได้ วันนี้เราจะมาเรียนรู้คำราชาศัพท์ที่ใช้กับพระภิกษุสงฆ์กันนะคะว่าแตกต่างจากคำราชาศัพท์สำหรับราชวงศ์และสุภาพชนทั่วไปอย่างไร ไปเรียนรู้พร้อม ๆ กันเลยค่ะ คำราชาศัพท์ที่ใช้กับพระภิกษุสงฆ์ ใช้อย่างไร แม้คำว่าราชาศัพท์ จะสามารถแปลตรงตัวได้ว่าเป็นถ้อยคำที่ใช้กับพระมหากษัตริย์ แต่ในปัจจุบันนี้คำราชาศัพท์ยังครอบคลุมไปถึงพระบรมวงศานุวงศ์ พระภิกษุสงฆ์ และสุภาพชน หรือเรียกอีกนัยว่าคำสุภาพ สำหรับคำราชาศัพท์ที่ใช้กับพระภิกษุสงฆ์จะต่างกับราชวงศ์และสุภาพชน และยังขึ้นอยู่กับสมณศักดิ์ของพระสงฆ์อีกด้วย โดยสามารถเรียงลำดับได้ดังนี้

รอบรู้เรื่องมงคลสูตรคำฉันท์ วรรณคดีพระพุทธศาสนาที่มาของหลักมงคล 38

บทนำ สวัสดีน้อง ๆ ทุกคนกลับมาพบกับบทเรียนภาษาไทยที่น่าสนใจอีกเช่นเคย สำหรับเนื้อหาวันนี้เราจะขอหยิบยกวรรณคดีพระพุทธศาสนามาเล่าให้ทุกคนได้ฟังกันบ้าง ซึ่งวรรณคดีที่เราได้เลือกมานั่นก็คือเรื่อง มงคลสูตรคำฉันท์ เชื่อว่าน้อง ๆ มัธยมปลายหลายคนคงจะคุ้นเคยกับเรื่องนี้กันดีอยู่แล้ว เพราะเป็นวรรณคดี ที่สอนบรรทัดฐานของการกระทำความดีตามวิถีของชาวพุทธ และเป็นที่มาของหลักมงคล 38 ประการด้วย ดีงนั้น เดี๋ยววันนี้เราจะพาน้อง ๆ ไปรู้จักกับวรรณคดีเรื่องนี้ให้มากขึ้น ถ้าพร้อมแล้วก็เตรียมตัวเข้าสู่เนื้อหากันได้เลย ประวัติความเป็นมา เรื่อง

สอบเข้าม.4 MWIT อยากสอบติดต้องเตรียมตัวอย่างไร

สอบเข้าม.4 มหิดลวิทยานุสรณ์ สวัสดีค่ะน้อง ๆ ทุกคน ใครที่กำลังหาข้อมูลเพื่อเตรียมตัวสอบเข้า ม.4 โรงเรียนมหิดลวิทยานุสรณ์กันอยู่บ้าง? วันนี้พี่แอดมิน NockAcademy ได้ทำการสรุปขั้นตอนการสมัครและการเตรียมตัวสอบมาให้แล้ว! มีรายละเอียดอะไรบ้างไปดูกันเลย… โรงเรียนมหิดลวิทยานุสรณ์หรือที่เราเรียนสั้น ๆ ว่า MWIT เป็นโรงเรียนที่บริหารและจัดการการเรียนการสอนในด้านวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์โดยมุ่งเน้นไปที่ความเป็นเลิศในวิชาดังกล่าว และค้นหานักเรียนที่มีศักยภาพทางวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์สูงเพื่อพัฒนาศักยภาพได้อย่างเต็มประสิทธิภาพในการเรียนการสอน ซึ่งช่วงการรับสมัครจะอยู่ในช่วงเดือนสิงหาคมของทุกปี ผู้ที่ต้องการสมัครสอบต้องมีคุณสมบัติดังนี้ คุณสมบัติของผู้สมัครสอบคัดเลือกเข้า ม.4 1. เป็นผู้ที่มีความต้องการเข้าเรียนในโรงเรียนมหิดลวิทยานุสรณ์และต้องการเข้าศึกษาต่อในระดับอุดมศึกษาทางด้านคณิตศาสตร์ วิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ทำความรู้จักกับพญาช้างผู้เสียสละนิทานธรรมะจรรโลงใจ

บทนำ สวัสดีน้อง ๆ ที่น่ารักทุกคน กลับมาพบกันอีกครั้งในวิชาภาษาไทยแสนสนุก ซึ่งวันนี้เราจะพาทุกคนมาเปลี่ยนบรรยากาศกันด้วยการมาอ่านนิทานชาดกเรื่อง พญาช้างผู้เสียสละ เป็นเรื่องราวของพระพุทธเจ้าเมื่อครั้งที่ได้ลงมาเกิดเป็นพญาช้างรูปร่างงดงาม ต้องบอกว่าเรื่องราวในนิทานชาดกเรื่องนี้นอกจากจะทำให้น้อง ๆ สนุกไปกับเนื้อเรื่องแล้วก็ยังมอบคติสอนใจให้กับน้อง ๆ ได้ไม่น้อยเลย เพราะฉะนั้นถ้าทุกคนพร้อมแล้วไปเข้าสู่บทเรียนกันเลย ภูมิหลังตัวละคร สำหรับเรื่อง พญาช้างผู้เสียสละ อย่างที่ได้บอกไปว่าเป็นนิทานชาดกที่จัดเป็น 1 ใน 500 ชาติที่พระพุทธเจ้าเคยได้เสวยชาติ ซึ่งชาดกเรื่องนี้จะเล่าถึงพระพุทธเจ้าเมื่อครั้งที่ได้ลงมาเกิดเป็นพญาช้างสีลวะ ด้วยความที่พระองค์ทรงบำเพ็ญทานบารมีมานานจึงได้เกิดเป็นพญาช้างร่างใหญ่กำยำผิวขาวเผือกผ่อง มีงวงและงาสวยงามและมีบริวารรายล้อม