ระบบจำนวนจริง

“ระบบจำนวนจริง” เป็นรากฐานสำคัญของวิชาคณิตศาสตร์ ประกอบไปด้วยจำนวนต่างๆ ได้แก่ จำนวนตรรกยะ จำนวนอตรรกยะ จำนวนเต็ม จำนวนนับ

โครงสร้าง ระบบจำนวนจริง

มนุษย์เรามีความคิดเรื่องจำนวนและระบบการนับมาตั้งแต่โบราณ และจำนวนที่มนุษย์เรารู้จักเป็นอย่างแรกก็คือ จำนวนนับ การศึกษาระบบของจำนวนจึงใช้พื้นฐานของจำนวนนับในการสร้างจำนวนอื่นขึ้นมา จนกลายมาเป็นจำนวนจริง และจำนวนเชิงซ้อน (เนื้อหาม.5) ดังนั้น ถ้าน้องๆเข้าใจจำนวนนับแล้วน้องๆก็จะสามารถศึกษาระบบจำนวนอื่นๆได้ง่ายขึ้น

โครงสร้าง

จำนวนจริง

จำนวนจริงคือจำนวนที่ประกอบไปด้วย จำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์  

จำนวนเต็ม

จำนวนนับหรือจำนวนเต็มบวก เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ หรือ คือจำนวนที่เอาไว้ใช้นับสิ่งต่างๆ

เซตของจำนวนนับเป็นเซตอนันต์ นั่นคือ = {1,2,3,…}

จำนวนเต็มศูนย์ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ มีสมาชิกเพียงตัวเดียว คือ = {0}

จำนวนเต็มลบ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์   คือ ตัวผกผันการบวกของจำนวนนับ ซึ่งตัวผกผัน คือตัวที่เมื่อนำมาบวกกับจำนวนนับจะทำให้ผลบวก เท่ากับ 0 เช่น จำนวนนับคือ 2 ตัวผกผันก็คือ -2 เพราะ 2+(-2) = 0 สมาชิกของเซตของจำนวนเต็มลบมีจำนวนเป็นอนันต์ นั่นคือ = {…,-3,-2,-1}

จำนวนตรรกยะ

จำนวนตรรกยะ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ คือจำนวนที่สามารถเขียนในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มได้ ซึ่งก็คือ ตัวเศษและตัวส่วนจะต้องเป็นจำนวนเต็มเท่านั้น (เต็มบวก, เต็มลบ) เช่น    จะเห็นว่า ตัวเศษคือ 1 ตัวส่วนคือ 2 ซึ่งทั้ง 1 และ 2 เป็นจำนวนเต็ม และจำนวนตรรกยะยังสามารถเขียนในรูปทศนิยมซ้ำได้อีกด้วย เช่น เป็นต้น

น้องๆสงสัยไหมว่าทำไมจำนวนเต็มถึงอยู่ในจำนวนตรรกยะ?? 

ลองสังเกตตัวอย่างต่อไปนี้ดูค่ะ

-3, 2, 0

-3 เกิดจากอะไรได้บ้าง >>>   , … จะเห็นว่าเศษส่วนที่ยกตัวอย่างมานี้ มีค่าเท่ากับ -3 และเศษส่วนเหล่านี้เป็นจำนวนตรรกยะ

2 เกิดจากอะไรได้บ้าง >>> , … จะเห็นว่า 2 สามารถเขียนเป็นเศษส่วนของจำนวนเต็มได้

0 เกิดจากเศษส่วนได้เช่นกัน เพราะ 0 ส่วนอะไรก็ได้ 0  ยกเว้น!!! เศษส่วนนี้ไม่นิยามนะคะ 

ดังนั้น จำนวนเต็มเป็นจำนวนตรรกยะ

ข้อควรระวัง  ตัวเศษสามารถเป็นจำนวนเต็มอะไรก็ได้ แต่!! ตัวส่วนต้องไม่เป็น 0 นะจ๊ะ

เช่น  แบบนี้ถือว่าไม่เป็นจำนวนตรรกยะนะคะ

จำนวนอตรรกยะ

จำนวนอตรรกยะ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ คือจำนวนที่ไม่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มได้ 

เช่น ทศนิยมไม่รู้จบ 1.254545782268975456… , เป็นต้น

**√¯ อ่านว่า square root เป็นสัญลักษณ์แทนค่ารากที่ 2 

เช่น 

คือ รากที่ 2 ของ 2 หมายความว่า ถ้านำ × แล้วจะเท่ากับ 2 

คือ รากที่ 2 ของ 3 หมายความว่า ถ้านำ × แล้วจะเท่ากับ 3 

สรุปก็คือ รากที่ 2 คือ ตัวที่นำมายกกำลัง 2 แล้วทำให้ square root หายไป

ตัวอย่าง ระบบจำนวนจริง

พิจารณาจำนวนต่อไปนี้ แล้วตอบคำถามว่าจำนวนนั้นเป็นจำนวนตรรกยะ, อตรรกยะ, จำนวนจริง

1.) 1.5 

แนวคำตอบ 1.5 สามารถเขียนอยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มที่ตัวส่วนไม่เป็น 0 ได้ เช่น  ดังนั้น 1.5 เป็นจำนวนตรรกยะ และจำนวนตรรกยะอยู่ในเซตของจำนวนจริง ดังนั้น 1.5 เป็นจำนวนตรรกยะและเป็นจำนวนจริง

2.)  

แนวคำตอบ เป็นทศนิยมที่ซ้ำ 3 ซึ่งก็คือ 1.33333333… ไปเรื่อยๆ และสามารถเขียนเป็นเศษส่วนของจำนวนเต็มที่ตัวส่วนไม่เป็น 0 ได้ เช่น  ดังนั้น เป็นจำนวนตรรกยะและเป็นจำนวนจริง

3.) π 

แนวคำตอบ π = 3.14159265358979323846264338327950288420…. จะเห็นว่าเป็นเลขทศนิยมไม่ซ้ำและไม่สิ้นสุด ดังนั้น π เป็นจำนวนอตรรกยะ

และเนื่องจาก จำนวนอตรรกยะก็อยู่ในเซตของจำนวนจริง

ดังนั้น  π เป็นจำนวนอตรรกยะและจำนวนจริง

4.)  

เนื่องจาก ไม่ใช่จำนวนเต็ม และไม่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มที่ส่วนไม่เป็น 0 ได้ และไม่สามารถเขียนในรูปทศนิยมซ้ำได้ 

ดังนั้น เป็นจำนวนอตรรกยะและเป็นจำนวนจริง

5.)

เนื่องจาก = = 4 และ 4 เป็นจำนวนเต็ม

ดังนั้น  เป็นจำนวนตรรกยะและเป็นจำนวนจริง

6.)

เนื่องจาก = = 5 

ดังนั้น เป็นจำนวนตรรกยะและเป็นจำนวนจริง

วีดิโอ ระบบจำนวนจริง