การแก้โจทย์ปัญหาโดยใช้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
บทความนี้ได้รวบรวมความรู้เรื่อง การแก้โจทย์ปัญหาโดยใช้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร น้องๆจะต้องวิเคราะห์โจทย์ปัญหา แปลงโจทย์ปัญหาให้เป็นสมการ 2 สมการขึ้นไป และแก้สมการเพื่อหาคำตอบ ซึ่งก่อนที่จะเรียนเรื่องนี้ น้องๆสามารถศึกษาเรื่อง การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร เพิ่มเติมได้ที่ ⇒⇒ การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร ⇐⇐
ตัวอย่างที่ 1
ในเข่งหนึ่งมีจำนวนมะม่วงและจำนวนมังคุดรวมกันอยู่ 68 ผล ถ้าจำนวนมะม่วงน้อยกว่าจำนวนมังคุดอยู่ 18 ผล เข่งใบนี้มีมะม่วงและมังคุดอย่างละกี่ผล
- โจทย์กำหนดข้อมูลหรือความสัมพันธ์ใดมาให้บ้าง
(โจทย์กำหนดข้อมูลมาให้ 2 ข้อมูล คือ 1) ในเข่งใบหนึ่งมีจำนวนมะม่วงและจำนวนมังคุด
รวมกันอยู่ 68 ผล และ 2) จำนวนมะม่วงน้อยกว่าจำนวนมังคุดอยู่ 18 ผล)
- โจทย์ถามหาอะไร
(จำนวนมะม่วงและมังคุดในเข่ง)
- สามารถนำความรู้เกี่ยวกับการแก้ระบบสมการมาใช้ในการแก้ปัญหานี้ได้อย่างไร
(ในการแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร ต้องมีตัวแปรสองตัว นั่นคือควรกำหนดตัวแปร x
และตัวแปร y ก่อน)
- กำหนดให้ตัวแปร x แทนข้อมูลใด
(ให้ x แทน จำนวนมะม่วง)
- กำหนดให้ตัวแปร y แทนข้อมูลใด
(ให้ y แทน จำนวนมังคุด)
- สร้างสมการได้อย่างไร
(จากข้อมูล 1) ในเข่งใบหนึ่งมีจำนวนมะม่วงและจำนวนมังคุดรวมกันอยู่ 68 ผล
เขียนเป็นสัญลักษณ์ได้ว่า x + y = 68 และ 2) จำนวนมะม่วงน้อยกว่าจำนวนมังคุดอยู่ 18 ผล
เขียนเป็นสัญลักษณ์ได้ว่า y – x = 18)
- สามารถแก้ระบบสมการหาค่า x และ y อย่างไร
จากระบบสมการ
x + y = 68 ———-(1)
y – x = 18 ———-(2)
นำ (1) + (2) ; 2y = 86
y = 86 ÷ 2
y = 43
แทนค่า y = 43 ในสมการ (1) จะได้
x + 43 = 68
x = 68 – 43
x = 25
ดังนั้น เข่งใบนี้มีมะม่วง 25 ผล และมังคุด 43 ผล
ตัวอย่างที่ 2
กระเป๋าใบบหนึ่งบรรจุเหรียญห้าบาทและเหรียญสิบบาท จำนวน 25 เหรียญ เป็นเงิน 180 บาท จงหาจำนวนของเหรียญแต่ละชนิด
วิธีทำ ให้มีเหรียญสิบบาทเป็น x เหรียญ คิดเป็นเงิน 10x บาท
และมีเหรียญห้าบาทเป็น y เหรียญ คิดเป็นเงิน 5y บาท
จากโจทย์มีเหรียญจำนวน 25 เหรียญ
เขียนเป็นสมการได้เป็น x + y = 25 ———-(1)
10x + 5y = 180 ———-(2)
(1) × 5 ; 5x + 5y = 125 ———-(3)
(2) – (3); 5x = 55
x = 55 ÷ 5
x = 11
แทน x = 1 ในสมการ (1) จะได้ 11 + y = 25
y = 25 – 11
y = 14
ดังนั้น มีเหรียญสิบบาท 11 เหรียญและเหรียญห้าบาท 14 เหรียญ
ตัวอย่างที่ 3
ลวดหนามขดหนึ่งยาว 84 เมตร นำไปล้อมรั้วรอบที่ดินรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ที่มีด้านกว้างสั้นกว่าด้านยาว 6 เมตร
จงหาพื้นที่ของที่ดินแปลงนี้
วิธีทำ ให้ด้านกว้างเท่ากับ x เมตร และด้านยาวเท่ากับ y เมตร
โจทย์กำหนดให้ด้านกว้างสั้นกว่าด้านยาว 6 เมตร
y – x = 6 —————(1)
และโจทย์กำหนดความยาวรอบสนามเท่ากับความยาวของลวดหนาม
2(x + y) = 84
x + y = 42 —————(2)
(1) + (2); 2y = 48
y = 48 ÷ 2
y = 24
แทนค่า y = 24 ในสมการ (2) จะได้ x + 24 = 42
x = 42 – 24
x = 18
จะได้ พื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้า = กว้าง × ยาว = xy = 18 × 24 = 432 ตารางเมตร
ดังนั้น พื้นที่ที่ดินแปลงนี้ เท่ากับ 432 ตารางเมตร
ตัวอย่างที่ 4
มีจำนวนสองจำนวน จำนวนมากมากกว่าสองเท่าของจำนวนน้อยอยู่ 6 แต่สองเท่าของจำนวนมากมากกว่า
จำนวนน้อยอยู่ 30 จงหาจำนวนทั้งสองนั้น
วิธีทำ ให้จำนวนมากเป็น x และจำนวนน้อยเป็น y
โจทย์กำหนดจำนวนมากมากกว่าสองเท่าของจำนวนน้อยอยู่ 6
x – 2y = 6 ————(1)
และโจทย์กำหนดสองเท่าของจำนวนมากมากกว่าจำนวนน้อยอยู่ 30
2x – y = 30 ————(2)
(2) × 2 ; 4x – 2y = 60 ————(3)
(3) – (1); 3x = 54
x = 54 ÷ 3
x = 18
แทนค่า x = 18 ในสมการ (1) จะได้ 18 – 2y = 6
2y = 18 – 6
2y = 12
y = 12 ÷ 2
y = 6
ดังนั้น จำนวนทั้งสองคือ 18 และ 6
ตัวอย่างที่ 5
มีผู้เข้าชมคอนเสิร์ต ที่ซื้อบัตรผ่านประตูจำนวน 610 คน เก็บเงินค่าผ่านประตูสองราคา คือ 100 บาท และ 50 บาท ปรากฏว่าเก็บเงินได้ 45,200 บาท ดังนั้น ขายบัตรราคา 100 บาท และ 50 บาท ไปได้อย่างละกี่ใบ
วิธีทำ ให้ขายบัตรใบละ 100 บาท ได้ x ใบ และขายบัตรใบละ 50 บาท ได้ y ใบ
มีผู้เข้าชมการแข่งขันฟุตบอลที่เสียเงินจำนวน 610 คน
จะได้สมการ x + y = 610 ———-(1)
จะขายบัตรใบละ 100 บาท ได้เงิน 100x บาท
ขายบัตรใบละ 50 บาท ได้เงิน 50y บาท
จะขายบัตรได้เงิน 45,200 บาท
ดังนั้นจะได้สมการ 100x + 50y = 45,200 ———-(2)
นำสมการ (1) คูณด้วย 50 จะได้
50x + 50y = 30,500 ———-(3)
นำสมการ (2) ลบด้วย สมการ (3) จะได้
50x = 14,700
x = 14,700 ÷ 50
x = 294
แทนค่า x ด้วย 294 ใน (1) จะได้ 294 + y = 610
y = 610 – 294
y = 316
ตอบ ขายบัตรใบละ 100 บาท ได้ 294 ใบ และขายบัตรใบละ 50 บาท ได้ 316 ใบ
