การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
บทความนี้ได้รวบรวมความรู้เรื่อง การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร โดยการเลือกกำจัดตัวแปรใดตัวแปรหนึ่ง(x) เมื่อเลือกกำจัด x จะได้ค่า y แล้วนำค่าของตัวแปร(y) มาแทนค่าในสมการเพื่อหาค่าของตัวแปรอีกหนึ่งตัวแปร (x) ซึ่งก่อนที่จะเรียนเรื่องนี้ น้องๆสามารถศึกษาเรื่อง การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร โดยใช้กราฟ เพิ่มเติมได้ที่ ⇒⇒ การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร โดยใช้กราฟ ⇐⇐
ให้ a, b, c, d, e และ f เป็นจำนวนจริงใดๆ ที่ a,b ไม่เป็นศูนย์บร้อมกัน และ c,d ไม่เป็นศูนย์บร้อมกัน เรียกระบบที่ประกอบด้วยสมการ
ax +by =c
cx + dy = f
ว่า ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร ซึ่งคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร คือ คู่อันดับ (x,y) ที่ค่า x และ ค่า y ทำให้สมการทั้งสองของระบบสมการเป็นจริง
ตัวอย่างที่ 1
ตัวอย่างที่ 1 จงแก้ระบบสมการ
x + y = 50
2x + 4y = 140
วิธีทำ x + y = 50 ———(1)
2x + 4y = 140 ———(2)
อธิบายเพิ่มเติม : กำจัดตัวแปร x โดยการทำสัมประสิทธิ์ของตัวแปร x ให้เท่ากันทั้ง 2 สมการ เนื่องจาก สัมประสิทธิ์ของตัวแปร x ในสมการ(1) เท่ากับ 1 และ สัมประสิทธิ์ของตัวแปร x ในสมการ (2) เท่ากับ 2 ดังนั้น นำสมการ (1) × 2 เพื่อให้สัมประสิทธิ์ของตัวแปร x เท่ากับ 2
(1) × 2 ; 2x + 2y = 100 ———(3)
เมื่อสัมประสิทธิ์ของตัวแปร x เท่ากันแล้ว กำจัดตัวแปร x เพื่อหาค่า y โดยการนำ สมการ (2) – (3)
(2) – (3) ; (2x + 4y) – (2x + 2y) = 140 – 100
2x + 4y – 2x – 2y = 40
2y = 40
y = 40 ÷ 2
y = 20
หาค่า x โดยแทน y ด้วย 20 ในสมการที่ (1) จะได้
x + y = 50
x + 20 = 50
x = 50 – 20
x = 30
ตรวจสอบ แทน x ด้วย 30 และแทน y ด้วย 20 ในสมการ (1) จะได้
x + y = 30 + 20 = 50 เป็นจริง
แทน x ด้วย 30 และแทน y ด้วย 20 ในสมการ (2) จะได้
2x + 4y = 2(30) + 4(20) = 60 + 80 = 140 เป็นจริง
ดังนั้น คำตอบของระบบสมการคือ (30, 20)
นอกจากวิธีการดังกล่าวแล้ว ยังสามารถใช้วิธีการแทนค่า ได้ดังนี้
วิธีทำ x + y = 50 ———(1)
2x + 4y = 140 ———(2)
จากสมการ (1) ให้จัดรูปใหม่ โดยให้ตัวแปร x อยู่ทางซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ เพียงตัวเดียว
จาก (1); x = 50 – y ———(3)
แทน x ด้วย 50 – y ใน (2) จะได้
2x + 4y = 140
2(50 – y) + 4y = 140
100 – 2y + 4y = 140
2y = 140 – 100
2y = 40
y = 40 ÷ 2
y = 20
แทน y ด้วย 20 ใน (3) จะได้
x = 50 – y
x = 50 – 20
x = 30
ดังนั้น คำตอบของระบบสมการคือ (30, 20)
ตัวอย่างที่ 2
ตัวอย่างที่ 2 จงแก้ระบบสมการ
3x + 4y = 27 ——-(1)
2x – 3y = 1 ——-(2)
อธิบายเพิ่มเติม : กำจัดตัวแปร y โดยการทำสัมประสิทธิ์ของตัวแปร y ให้เท่ากันทั้ง 2 สมการ เนื่องจาก สัมประสิทธิ์ของตัวแปร y ในสมการ(1) เท่ากับ 4 และ สัมประสิทธิ์ของตัวแปร x ในสมการ (2) เท่ากับ -3 ดังนั้น หา ค.ร.น. ของ 4 และ 3 คือ 4 × 3 = 12 คูณสัมประสิทธิ์ของตัวแปร y ให้เท่ากับ 12
(1) × 3; 9x + 12y = 81 ——-(3)
(2) × 4; 8x – 12y = 4 ——-(4)
สัมประสิทธิ์ของตัวแปร y ในสมการ (3) เท่ากับ 12 และสัมประสิทธิ์ของตัวแปร y ในสมการ (4) เท่ากับ -12 เมื่อนำทั้ง 2 สมการมาบวกกัน สัมประสิทธิ์ของตัวแปร y จะมีค่าเท่ากับ 0 (กำจัด y)
(3) + (4); (9x + 12y) + (8x – 12y) = 81 + 4
17x = 85
x = 85 ÷ 17
x = 5
หาค่า y โดยแทนค่า x = 5 ในสมการที่ (1) จะได้
3x + 4y = 27
3(5) + 4y = 27
4y = 27 – 15
4y = 12
y = 4 ÷ 3
y = 3
ตรวจสอบ แทนค่า x = 5 และ y = 3 ในสมการ (1) จะได้
3(5) + 4(3) = 15 + 12 = 27 เป็นจริง
แทนค่า x = 5 และ y = 3 ในสมการ (2) จะได้
2(5) – 3(3) = 10 – 9 = 1 เป็นจริง
ดังนั้น คำตอบของระบบสมการ คือ (5,3)
ตัวอย่างที่ 3
ตัวอย่างที่ 3 จงแก้ระบบสมการ
3x + 2y = 16
2x – 3y = 2
วิธีทำ
3x + 2y = 16 ———-(1)
2x – 3y = 2 ———-(2)
อธิบายเพิ่มเติม : กำจัดตัวแปร y โดยการทำสัมประสิทธิ์ของตัวแปร y ให้เท่ากันทั้ง 2 สมการ เนื่องจาก สัมประสิทธิ์ของตัวแปร y ในสมการ(1) เท่ากับ 2 และ สัมประสิทธิ์ของตัวแปร x ในสมการ (2) เท่ากับ -3 ดังนั้น หา ค.ร.น. ของ 2 และ 3 คือ 2 × 3 = 6 คูณสัมประสิทธิ์ของตัวแปร y ให้เท่ากับ 6
(1)×3; 9x + 6y = 48 ———-(3)
(2)×2; 4x – 6y = 4 ———-(4)
สัมประสิทธิ์ของตัวแปร y ในสมการ (3) เท่ากับ 6 และสัมประสิทธิ์ของตัวแปร y ในสมการ (4) เท่ากับ -6 เมื่อนำทั้ง 2 สมการมาบวกกัน สัมประสิทธิ์ของตัวแปร y จะมีค่าเท่ากับ 0 (กำจัด y)
(3) + (4); (9x + 6y) + (4x – 6y) = 48 + 4
13x = 52
x = 52 ÷ 13
x = 4
หาค่า y โดยแทน x ด้วย 4 ในสมการ (1) จะได้
3x + 2y = 16
3(4) + 2y = 16
12 + 2y = 16
2y = 16 – 12
2y = 4
y = 2
ตรวจสอบ แทน x ด้วย 4 และแทน y ด้วย 2 ในสมการ (1) จะได้
3(4) + 2(2) = 12 + 4 = 16 เป็นจริง
แทน x ด้วย 4 และแทน y ด้วย 2 ในสมการ (2) จะได้
2(4) – 3(2) = 8 – 6 = 2 เป็นจริง
ดังนั้น คำตอบของระบบสมการ คือ (4,2)
