อนุกรมเลขคณิต

supanaree

คณิตศาสตร์, ม.6, ลำดับและอนุกรม

Add LINE friends for one click to find article.

อนุกรมเลขคณิต

อนุกรมเลขคณิต คือการนำลำดับเลขคณิตแต่ละพจน์มาบวกกัน โดย เขียนแทนด้วย $S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{n}$ จากบทความ “สัญลักษณ์การบวก” ซึ่งเป็นการลดรูปการเขียนจำนวนหลายจำนวนบวกกัน ในบทความนี้จะพูดถึงการบวกของลำดับเลขคณิต การหาผลบวก สูตรสำหรับการหาผลบวกเลขคณิต

สูตรอนุกรมเลขคณิต

สูตรของอนุกรมเลขคณิตมีอยู่ 2 สูตร ดังนี้

1) $S_{n}=\frac{n}{2}(2a_{1}+(n-1)d)$ โดยที่ d คือ ผลต่างร่วม

2) $S_{n}=\frac{n}{2}(a_{1}+a_{n})$ โดยจะใช้สูตรนี้ก็ต่อเมื่อรู้ค่า n

จากสูตรดังกล่างจะเห็นว่า มีความคล้ายกับสูตรลำดับเลขคณิต ดังนั้นอย่าจำสลับกันนะคะ

ตัวอย่าง

ในเรื่องของลำดับและอนุกรมนั้นโจทย์ปัญหามีหลายแบบ ถือได้ว่าเป็นอีกเรื่องหนึ่งที่มีโจทย์หลากหลาย

ก่อนที่น้อง ๆ จะเริ่มทำแบบฝึกหัด พี่อยากให้น้อง ๆ ทบทวน เรื่องลำดับเลขคณิตก่อน โดยสามารถ เข้าไปดูได้ที่ “ลำดับเลขคณิต“

หลังจากทบทวนลำดับเลขคณิตแล้ว มาเริ่มทำแบบฝึกหัดไปพร้อม ๆ กันเลย

1) จงหาผลบวก 20 พจน์แรกของอนุกรม 96 + 94 + 92 + 90 + …

จากโจทย์ พจน์ของอนุกรมลดลงคงที่

ดังนั้นเป็นอนุกรมเลขคณิตที่มี d = 2

โจทย์ต้องการผลบวก 20 พจน์แรก นั่นคือ หา $S_{20}$

จากสูตร $\inline S_{n}=\frac{n}{2}(2a_{1}+(n-1)d)$

จากโจทย์ $\inline a_{1}=96$ , d = -2 และ n = 20

$\inline S_{20}=\frac{20}{2}(2(96)+(20-1)(-2))$

$\inline =10(192+(-38))$

=10(154)

=1540

ตอบ ผลบวกของ 20 พจน์แรกของอนุกรม 96 + 94 + 92 + 90 + … มีค่าเท่ากับ 1540

ตัวอย่างอนุกรมเลขคณิต

โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับอนุกรมนั้นมีเยอะมาก และอนุกรมเลขคณิตยังสามารถนำมาปรับใช้ในชีวิตประจำวันได้อีกด้วย ไปดูตัวอย่างกันเลยค่ะ

1) จงหาผลบวกของอนุกรมเลขคณิต 7 + 10 + 13 + …+ 157

วิธีทำ จากโจทย์จะเห็นว่าสิ่งที่โจทย์ให้มา ได้แก่ d = 3 ,พจน์ที่ 1 $a_1=7$ และพจน์ที่ n $a_n=157$ ดังนั้นเราจะใช้สูตรที่ทราบค่าของพจน์สุดท้าย จะได้

$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)=\frac{n}{2}(7+157)$ จะเห็นว่า สิ่งที่เราไม่ทราบค่าก็คือ n นั่นเอง ดังนั้นเราจะต้องหา n มาก่อน

วิธีการหาค่า n คือ ให้ใช้สูตรของลำดับเลขคณิต และหาว่าพจน์สุดท้าย(ข้อนี้คือ 157 ) คือพจน์ที่เท่าไหร่

$a_n=157=a_1+(n-1)d=7+(n-1)(3)$

n = 51 นั่นคือ 157 ซึ่งเป็นพจน์สุดท้าย คือพจน์ที่ 51 นั่นเอง จึงสรุปได้ว่า อนุกรมนี้มีทั้งหมด 51 พจน์

เมื่อได้ n มาแล้ว ก็สามารถหาผลบวกของอนุกรมได้แล้ว จะได้

$S_n=\frac{n}{2}(7+157)=\frac{51}{2}(164)=4,182$

ดังนั้น ผลบวกของอนุกรมเลขคณิตนี้คือ 4,182

2) จงหาผลบวกจำนวนคู่ตั้งแต่ 18 ถึง 482

วิธีทำ จากโจทย์ให้หาผลบวกของจำนวนคู่ ดังนั้นสามารถเขียนได้เป็น $S_n$ =18 + 20 + 22 + … + 482

จะเห็นว่าสิ่งที่โจทย์ให้มาได้แก่ d = 2 , $a_1=18$ และ $a_n=482$ เราจะใช้สูตรที่มีพจน์สุดท้าย จะได้

$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)=\frac{n}{2}(18+482)$

หา n โดยใช้สูตรลำดับเลขคณิต

$a_n=482=18+(n-1)(2)$

n = 233

ดังนั้น จะได้ $S_n=\frac{n}{2}(18+482)=\frac{233}{2}(500)=58,250$

3) หอประชุมของโรงเรียนแห่งหนึ่งจัดเก้าอี้ให้มีเก้าอี้แถวแรก 12 ตัว แถวที่สองมี 14 ตัว แถวที่สามมี 16 ตัว เป็นแบบนี้ไปเรื่อยๆ ถ้าหอประชุมจัดกเ้าอี้ไว้ทั้งหมด 15 แถว จงหาว่ามีเก้าอี้ในหอประชุมทั้งหมดกี่ตัว

วิธีทำ จากโจทย์ให้หาว่ามีเก้าอี้ทั้งหมดกี่ตัว ดังนั้นเราจะเอาเก้าอี้แต่ละแถวบวกกันทั้งหมด 15 แถว จะได้ว่า

จำนวนเก้าอี้ทั้งหมด = 12 + 14 + 16 + … บวกไปเรื่อยๆจนถึงแถวที่ 15 นั่นหมายความว่า n = 15 นั่นเอง แต่เนื่องจากตอนนี้เราไม่รู้ว่าแถวที่ 15 มีเก้าอี้ทั้งหมดกี่ตัวซึ่งหมายความว่าเรายังไม่ทราบค่าของพจน์สุดท้ายนั่นเอง

และจากอนุกรมจะเห็นว่า d = 2 , $a_1=12$

ดังนั้นจะใช้สูตรที่ไม่มีทราบค่าพจน์สุดท้าย จะได้

$S_{15}=\frac{15}{2}(2(12)+(15-1)(2))=390$

ดังนั้น มีเก้าอี้ทั้งหมด 390 ตัว

4) พี่มีนยืมเงินจากน้องมิว 630 บาท และตกลงกันว่าจะจ่ายเงินคืนน้องทุกวันโดยวันแรกจะคืนให้ 10 บาท วันที่สองจะคืนเงินให้ 12 บาท และวันต่อๆไปจะคืนเงินเพิ่มขึ้นจากวันก่อนหน้าวันละ 2 บาททุกวัน จำนวนวันที่พี่มีนจะจ่ายเงินคืนให้น้องมิวได้ครบพอดีเท่ากับเท่าใด

วิธีทำ จากโจทย์จ่ายเงินคืนวันแรก 10 บาท วันถัดไปจ่ายเงินมากกว่าวันก่อนหน้า 2 บาท และจ่ายจนครบ 630 บาท สามารถเขียนเป็นอนุกรมได้ดังนี้

630 = 10 + 12 + 14 + … บวกไปเรื่อยๆจนรวมกันได้ทั้งหมด 630 บาท และโจทย์ถามว่าใช้เวลากี่วันถึงจะจ่ายเงินครบพอดีนั่นคือ ถามหา n ที่ทำให้ผลบวกนี้เท่ากับ 630

สิ่งที่โจทย์ให้มา คือ $S_n=630$ , $a_1=10$ และ d = 2 และเนื่องจากว่าเราไม่ทราบค่าของพจน์สุดท้ายจึงจะใช้สูตรของอนุกรม $S_{n}=\frac{n}{2}(2a_{1}+(n-1)d)$

จะเห็นว่ามีค่าที่ต้องใช้ในสูตรหมดแล้ว ดังนั้นก็เหลือแค่แทนค่าและหาค่า n เท่านั้น จะได้ว่า

$630=\frac{n}{2}(2(10)+(n-1)(2))$

n = -30 , 21 แต่เนื่องจาก n ในที่นี้หมายถึงจำนวนวันจึงไม่สามารถติดลบได้ และโดยทั่วไป n หมายถึงจำนวนพจน์ดังนั้น n จะต้องเป็นจำนวนนับ

ดังนั้น ใช้เวลาทั้ง 21 วันจึงจะคืบเงินครบ 630 บาท

5) ถ้า $S_n = n^2-4n$ เป็นผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต ที่มี $a_n$ เป็นพจน์ที่ n และ d เป็นผลต่างร่วมแล้ว $d+a_1a_2$ เท่ากับเท่าใด

วิธีทำ จากโจทย์ ให้รูปแบบของ $S_n$ มา ดังนั้นเราจะมาลองแทนค่า

จาก $S_n = n^2-4n$ จะได้ว่า

$S_1=1^2-4(1)=-3$

และจาก $S_1=a_1$ จะได้ว่า $a_1=-3$

พิจารณา $S_2=2^2-4(2)=-4$

และจากที่เรารู้ว่าสูตรการหาอนุกรมเลขคณิตโดยทั่วไปแล้วคือ $S_{n}=\frac{n}{2}(2a_{1}+(n-1)d)$

ดังนั้นเราจะได้ว่า

$S_{2}=\frac{2}{2}(2(-3)+(2-1)d)=-4$

พอเราแก้สมการก็จะได่ d = 2

ดังนั้นตอนนี้เรารู้ค่า d และ $a_1$ แล้ว ดังนั้นเราจะมาหาพจน์ที่ 2 ต่อ โดยใช้สูตรลำดับเลขคณิต

$a_2=a_1+d=-3+2=-1$

ตอนนี้เรามีค่าของพจน์ที่ 1 และ2 และค่าของ d แล้ว ดังนั้นเราสามารถหาค่าที่โจทย์ถามได้แล้ว จะได้เป็น

$d+a_1a_2=2+(-3)(-1)=5$

สรุป จากตัวอย่างข้างต้นจะเห็นว่าอนุกรมเลขคณิตนั้นสามารถนำมาปรับใช้ในชีวิตประจำวันได้และทำให้การคิดเลขนั้นสะดวกสบายขึ้นด้วย แต่ทั้งนี้น้องๆจะต้องไม่ลืมสูตรของลำดับเลขคณิตนะคะ เพราะเราจะเห็นว่าถึงแม้จะเป็นเรื่องอนุกรมเลขคณิตเราก็ยังได้ใช้ความรู้เรื่องลำดับเลขคณิตมาช่วยอยู่ ดังนั้นน้องๆอย่าลืมไปทวบทวนเรื่องลำดับเลขคณิตกันด้วยนะคะ

วิดีโอเกี่ยวกับอนุกรมเลขคณิต

น้องๆสามารถเรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับอนุกรมเลขคณิตได้ที่คลิปด้านล่างนี้เลยค่ะ

NockAcademy คือโรงเรียนออนไลน์สำหรับเด็ก โดยแอปฯ และเว็บไซต์ นักเรียนสามารถเรียนรู้ผ่านคลิปบทเรียนวิชา คณิตศาสตร์ ภาษาอังกฤษ และภาษาไทย
มากไปกว่านั้น เรายังมีคอร์สเรียนออนไลน์ การสอนพิเศษ การติวนอกสถานที่โดยติวเตอร์ที่แน่นไปด้วยความรู้ อีกด้วย

แค่ 10 นาที ก็เข้าใจได้

สามารถดูคลิปบทเรียนวิชา คณิตศาสตร์ ภาษาอังกฤษ และภาษาไทย ที่มีมากกว่า 2,000+ คลิป และยังสามารถทำแบบทดสอบที่มีมากกว่า 4000+ ข้อ

แนะนำ

แชร์

การหารเลขยกกำลัง เมื่อเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก

การหารเลขยกกำลัง เมื่อเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก บทความนี้ ได้รวบรวมตัวอย่าง การหารเลขยกกำลัง เมื่อเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่งทำได้โดยการใช้สมบัติการหารของเลขยกกำลัง ก่อนจะเรียนรู้ ตัวอย่างการหารเลขยกกำลัง เมื่อเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก น้องๆจำเป็นต้องมีความรู้ในเรื่อง การคูณเลขยกกำลัง เมื่อเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก สามารถศึกษาเพิ่มเติมได้ที่ ⇒⇒ การคูณเลขยกกำลัง เมื่อเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก ⇐⇐ สมบัติของการหารเลขยกกำลัง am ÷ an = am – n (ถ้าเลขยกกำลังฐานเหมือนกันหารกัน ให้นำเลขชี้กำลังมาลบกัน)

Auxiliary Verbs คืออะไร?

สวัสดีน้องๆ ม.5 ทุกคนนะครับ วันนี้เราจะมาทำความรู้จักกับสิ่งที่เรียกว่า Auxiliary Verbs ในภาษาอังกฤษกันครับ

วิธีพูดสรุปความจากเรื่องที่ฟังและดูอย่างง่ายๆ

การพูดสรุปความสำคัญอย่างไร ? น้อง ๆ หลายคนคงจะเคยประสบปัญหาเวลาที่ต้องออกไปนำเสนองานหน้าชั้นเรียนแล้วไม่รู้ว่าจะพูดอย่างไรให้เพื่อนกับครูเข้าใจ เพราะเนื้อหาที่เราจำมามันก็เยอะเสียเหลือเกิน บทเรียนภาษาไทยวันนี้จะช่วยให้น้อง ๆ รับมือกับปัญหาเหล่านั้นได้ เพียงแค่น้อง ๆ มีความเข้าใจในเรื่องการพูดสรุปความ วันนี้เรามาดูไปพร้อม ๆ กันเลยนะคะว่าการพูดสรุปความจากเรื่องที่ฟังหรือดูจะมีวิธีใดบ้าง การพูดสรุปความจากเรื่องที่ฟังและดู การพูดคืออะไร องค์ประกอบของการพูด ผู้พูด คือผู้ที่มีจุดมุ่งหมายสำคัญที่จะนำเสนอความรู้ความคิดเห็นให้ผู้ฟังได้รับรู้และเข้าใจ เนื้อเรื่อง

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ บทความนี้ได้รวบรวมความรู้เรื่อง ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ซึ่งได้กล่าวถึงขั้นตอนและวิธีการหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ และยกตัวอย่างประกอบ อธิบายอย่างละเอียด ซึ่งก่อนจะเรียนเรื่อง ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์น้องๆสามารถทบทวน การทดลองสุ่มและเหตุการณ์ ได้ที่ ⇒⇒ การทดลองสุ่มและเหตุการณ์ ⇐⇐ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ (probability) คือ อัตราส่วนระหว่างจำนวนเหตุการณ์ที่สนใจ (n(E)) กับจำนวนแซมเปิลสเปซ (n(S)) ที่มีโอกาสเกิดขึ้นได้พร้อม ๆ กัน ใช้สัญลักษณ์ “P(E)” แทนความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์ที่สนใจ โดยที่

การใช้ Verb Be

สวัสดีค่ะนักเรียนชั้นม.1 ที่รักทุกคน วันนี้เราจะไปเรียนรู้เรื่อง การใช้ Verb Be กันนะคะ พร้อมแล้วก็ไปลุยกันเลยจ้า Let’s go! ความหมาย Verb be ในที่นี้จะแปลว่า Verb to be นะคะ แปลว่า เป็น อยู่ คือ ซึ่งหลัง verb to

การใช้ V. to do ในรูปแบบของ Present Simple Tense

สวัสดีค่ะนักเรียนชั้นป.5 ที่น่ารักทุกคน วันนี้เราจะไปเรียนรู้เรื่อง การใช้ V. to do ในรูปแบบของ Present Simple Tense หากพร้อมแล้วก็ไปลุยกันโลดเด้อ Let’s go! V. to do คืออะไร ปรกติแล้วคำว่า do นั้นแปลว่าทำ แต่เมื่ออยู่ในประโยคแล้ว V. to do

อนุกรมเลขคณิต

สารบัญ

อนุกรมเลขคณิต

ตัวอย่างอนุกรมเลขคณิต

วิดีโอเกี่ยวกับอนุกรมเลขคณิต

แค่ 10 นาที ก็เข้าใจได้

แนะนำ

แชร์

การหารเลขยกกำลัง เมื่อเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก

Auxiliary Verbs คืออะไร?

วิธีพูดสรุปความจากเรื่องที่ฟังและดูอย่างง่ายๆ

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์

การใช้ Verb Be

การใช้ V. to do ในรูปแบบของ Present Simple Tense

NockAcademy

ติดต่อ

เกี่ยวกับเรา

ความช่วยเหลือ

ทดลองฟรี!

เข้าใจได้ทันที NockAcademy ไลฟ์สดอันดับ 1

ทดลองฟรี!

เข้าใจได้ทันที NockAcademy ไลฟ์สดอันดับ 1