ลำดับเรขาคณิต

supanaree

คณิตศาสรตร์, ม.6, ลำดับและอนุกรม

Add LINE friends for one click to find article.

ลำดับเรขาคณิต

ลำดับเรขาคณิต คือ ลำดับที่มีจำนวนเพิ่มขึ้นหรือลดลงอย่างคงที่เป็นจำนวนเท่า ซึ่งจำนวนที่เพิ่มขึ้นหรือลดลงนั้นเรียกว่า อัตราส่วนร่วม เขียนแทนด้วย r

โดยที่ r = พจน์ขวาหารด้วยพจน์ซ้าย

การเขียนลำดับเราจะเขียนแทนด้วย $ลำดับเลขคณิต$ โดยที่ $a_n$ คือพจน์ทั่วไปหรือเรียกอีกอย่างว่า พจน์สุดท้ายนั่นเอง

ตัวอย่างของลำดับเรขาคณิต

2, 4, 8, 16, 32, …

จะได้ว่า อัตราส่วน $a_{2}$ ต่อ $a_{1}=\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{4}{2}=2$

อัตราส่วน $a_{3}$ ต่อ $a_{2}=\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{8}{4}=2$

$\therefore2$ คือ อัตราส่วนร่วมของลำดับเรขาคณิตข้างต้น

พจน์ทั่วไปของลำดับเรขาคณิต

การหาพจน์ทั่วไป ก็คือการหาค่าของพจน์สุดท้ายหรือ $a_n$ นั่นเอง

ทำไมเราถึงต้องรู้วิธีหาพจน์ทั่วไปล่ะ??? เพราะว่าถ้าน้องๆรู้พจน์ทั่วไปแล้ว น้องอยากได้ค่าของพจน์ไหนน้องก็สามารถแทน n เข้าไปได้เลยนั่นเอง

พิจารณา พจน์ที่1 : $n=1\rightarrow a_{1}=a_{1}$

พจน์ที่2 : $n=2\rightarrow a_{2}=a_{1}r$

พจน์ที่3 : $n=3\rightarrow a_{3}=a_{2}r=a_{1}r^{2}$

$\vdots$

พจน์ที่n $\rightarrow a_{n}=a_{n-1}r$

$ลำดับเรขาคณิต$

ดังนั้น พจน์ทั่วไปของลำดับเรขาคณิตคือ

$a_{n}=a_{1}r^{n-1}$

ถ้า r = 1 จะได้ว่า $a_n=a_1$ นั่นคือ ทุกพจน์ของลำดับจะมีค่าเท่ากัน เราจะเรียกลำดับนี้ว่า ลำดับคงตัว

เช่น ลำดับของ 2, 2, 2, 2, …, 2

วิธีการแก้โจทย์ปัญหาที่เกี่ยวกับลำดับเรขาคณิต

ต้องรู้ว่าโจทย์ถามหาอะไร จากนั้นเขียนสิ่งที่โจทย์ต้องการไว้ เช่น โจทย์ต้องการหาพจน์ที่ 5 เราจะเขียน $a_5=a_1r^{(n-1)}$ จากนั้นเราก็จะรู้แล้วว่าเราต้องหาอะไรเพื่อให้สมการมันสมบูรณ์และได้คำตอบที่ต้องการ
ดูว่าโจทย์ให้อะไรมาบ้าง โจทย์บางโจทย์อาจจะไม่ให้มาแบบตรงๆ เช่น 1, 3, 5,7,… สิ่งที่โจทย์ให้มาคือ $a_1$ และ r จะเห็นว่าโจทย์ไม่ได้ให้ r มาตรงๆแต่เราต้องสังเกตเอง
ใช้สิ่งที่โจทย์มา ในการหาสิ่งที่เราต้องการในข้อ 1.

จากข้อ 1-3 ถ้าทำครบตามนี้เราก็จะได้คำตอบตามต้องการแล้ว ทั้งนี้ต้องอาศัยการสังเกต และการฝึกทำบ่อยๆให้ชินด้วย

เราลองมาดูโจทย์เกี่ยวกับลำดับเรขาคณิตกันค่ะ

ตัวอย่างโจทย์เกี่ยวกับลำดับเรขาคณิต

1) หาพจน์ที่ 20 ของ 1, 4, 16, …

วิธีทำ

โจทย์ต้องการพจน์ที่ 20 นั่นคือ $a_{20}=a_1r^{19}$

จากโจทย์ สิ่งที่โจทย์ให้มาคือ $a_{1}=1$ และ อัตราส่วนร่วม $r=\frac{4}{1}=4$

ดังนั้นจะได้

$a_{20}=a_{1}r^{19}=1(4)^{19}=4^{19}$

2) ลำดับเรขาคณิตมี $a_{1}=\frac{1}{4}$ , $a_{7}=8$ จงหา $a_{13}$

วิธีทำ โจทย์ต้องการหา $a_{13}=a_1r^{12}$

สิ่งที่โจทย์ให้มาคือ $a_1$ และ $a_7$

จะได้ว่า

$a_{7}=a_{1}r^{6}=8$

$\frac{1}{4}(r^{6})=8$

$r^{6} = 32$

$r=\sqrt[6]{32}$

จากที่เราได้ r มาแล้ว เราสามารถหาพจน์ที่ 13 ได้แล้ว จะได้ว่า

$a_{12}=a_{1}r^{12}$

. $=\frac{1}{4}(\sqrt[6]{32})^{12}$

. $=\frac{1}{4}(32)(32)$

. =8(32)

. = 256

ดังนั้น $a_{13} = 256$

3) ให้ลำดับเรขาคณิตชุดหนึ่งมีอัตราส่วนร่วมเป็น -2 ถ้า $a_{4}=4$ แล้ว $a_{1}$ มีค่าเท่าใด

วิธีทำ

จากโจทย์ r = -2 และ

$a_{4}=4=a_{1}(-2)^{3}$

$4=a_{1}(-8)$

$a_{1}=-\frac{1}{2}$

4) ลำดับ 2, 10, 50, … , 1250 มีกี่พจน์

วิธีทำ โจทย์ต้องการทราบว่ามีกี่พจน์ นั่นคือ ต้องการทราบค่า n

สิ่งที่โจทย์ให้มา

จากโจทย์ $\inline a_{1}=2$ และ $r = \frac{10}{2} = 5$

หา n โดยที่ $a_{n}=1250=a_{1}r^{n-1}$

$1250=2(n)^{n-1}$

$5^{n-1}=625$

$5^{n-1}=5^{4}$

$\therefore n-1=4\rightarrow n=5$

ดังนั้น ลำดับข้างต้นมี 5 พจน์

5.) กำหนดให้ 32, x, y, 4 เป็นลำดับเรขาคณิต จงหาค่า x + y

วิธีทำ จากโจทย์ สิ่งที่โจทย์ให้มาคือค่าของพจน์ที่ 1 กับพจน์ที่ 4 หรือพจน์สุดท้ายนั่นเอง

การที่เราจะหาค่า x และ y ได้นั้น เราต้องหาค่า r หรืออัตราส่วนร่วม และค่าของพจน์ที่ 1 ซึ่งโจทย์ให้มาอยู่แล้ว

ดังนั้นเราจะหา r จากพจน์สุดท้าย จะได้ว่า

$4=32r^3$

$r^3= \frac{4}{32}$

$r^3=\frac{1}{8}$

$r=\frac{1}{2}$

หลังจากที่เราได้ค่า r มาแล้วเราจะสามารถหาพจน์ที่ 2และ 3 ได้แล้ว

นั่นคือ x = $32(\frac{1}{2})=16$ และ y = $16(\frac{1}{2})=8$

โจทย์ต้องการ x + y ดังนั้น จะได้ x + y = 16 + 8 = 24

6.) ให้ sinθ, tanθ, tanθ·secθ, … เป็นลำดับเรขาคณิต แล้วพจน์ที่ 10 ของลำดับเรขาคณิตนี้เท่ากับเท่าใด

วิธีทำ สิ่งที่โจทย์ต้องการคือ $a_{10}=a_1r^9$

สิ่งที่โจทย์ให้มาคือ $a_1=\mathrm{sin\theta }$ และ $r={\frac{tan\theta}{sin\theta }=\frac{\frac{sin\theta}{cos\theta}}{sin\theta}= \frac{1}{cos\theta}=sec\theta}$

หาพจน์ที่ 10

$a_{10}=sin\theta sec^9\theta$

ตัวอย่างลำดับเรขาคณิต ในรูปของโจทย์ปัญหา

1.) เด็ก 3 คน มีอายุ 1, 5, 13 ปี จงหาว่าอีกกี่ปี อายุของเด็กทั้งสามจะเรียงกันเป็นลำดับเรขาคณิต

วิธีทำ

ให้ x แทนจำนวนปีที่จะทำให้อายุของเด็กทั้งสามเรียงกันเป็นลำดับเรขาคณิต

จะได้ว่า 1+x, 5+x, 13+x เป็นลำดับเรขาคณิต

หา x

จากที่เรารู้ว่า r คือ พจน์ขวาหารด้วยพจน์ซ้าย และเป็นค่าคงที่ จะได้ว่า

$\frac{5+x}{1+x}=\frac{13+x}{5+x}$

(5+x)² = (1+x)(13+x)

25+10x+x² = 13 + 14x + x²

4x = 12

x = 3

ดังนั้น อีก 3 ปี เด็กสามคนจะมีอายุเรียงกันเป็นลำดับเรขาคณิต

2.) ถังใบหนึ่งบรรจุน้ำมัน 240 ลิตร ตักน้ำมันออก $\frac{1}{4}$ ลิตรของปริมาณน้ำมันที่เหลืออยู่ อยากทราบว่าถ้าตักครบ 6 ครั้งแล้วจะเหลือน้ำมันกี่ลิตร

วิธีทำ โจทย์ถามน้ำมันที่เหลืออยู่ดังนั้น ถ้าตักออก $\frac{1}{4}$ ก็จะเหลือน้ำมัน $\frac{3}{4}$ ของน้ำมันที่เหลืออยู่ก่อนหน้า นั่นคือ

เดิมมีน้ำมัน 240 ลิตร

ตักออกครั้งที่1 เหลือน้ำมัน $240(\frac{3}{4})$

ตักออกครั้งที่ 2 เหลือน้ำมัน $240(\frac{3}{4})^{2}$

ตักออกครั้งที่3 เหลือน้ำมัน $240(\frac{3}{4})^{3}$

นำมาเขียนเป็นลำดับเรขาคณิตได้ดังนี้

240, $240(\frac{3}{4})$ , $240(\frac{3}{4})^{2}$ , $240(\frac{3}{4})^{3}$ , …

จากลำดับจะเห็นว่า $a_1=240$ และ $r=\frac{3}{4}$

ดังนั้นถ้าตักออก6 ครั้งก็คือ หา $a_7$

$a_7=240(\frac{3}{4})^6$

3.) ลูกบอลตกจากที่สูง 30 ฟุต ถ้าทุกครั้งที่ลูกบอลตกกระทบพื้นจะกระดอนขึ้นไป $\frac{4}{5}$ ของระยะทางที่ลูกบอลตกลงมา จงหาความสูงของลูกบอลจากพื้นเมื่อลูกบอลตกกระทบพื้นครั้งที่ 5

วิธีทำ จากโจทย์

ความสูงของบอลตอนยังไม่ตก คือ 30 ฟุต

ความสูงเมื่อลูกบอลกระทบพื้นครั้งที่1 คือ 30( $\frac{4}{5}$ ) ฟุต

ความสูงเมื่อลูกบอลกระทบพื้นครั้งที่2 คือ 30( $\frac{4}{5}$ )² ฟุต

ความสูงเมื่อลูกบอลกระทบพื้นครั้งที่3 คือ 30( $\frac{4}{5}$ )³ ฟุต

เขียนเป็นลำดับเรขาคณิตได้ดังนี้

30, 30( $\frac{4}{5}$ ), 30( $\frac{4}{5}$ )², 30( $\frac{4}{5}$ )³, …

จะได้ว่า $a_1 = 30$ และ $r=\frac{4}{5}$

จากโจทย์ต้องการความสูงเมื่อลูกบอลกระทบพื้นครั้งที่ 5 นั่นคือ หา $a_6$

หา $a_6$ จากสิ่งที่โจทย์ให้มาและสูตรลำดับเรขาคณิต จะได้

$a_6=30(\frac{4}{5})^5=30(\frac{1024}{3125})=\frac{30720}{3125}\approx 9.83$

ดังนั้น ความสูงของลูกบอลเมื่อลูกบอลกระทบพื้นครั้งที่ 5 มีคา่ประมาณ 9.83 ฟุต

วิดีโอเพิ่มเติมเกี่ยวกับ ลำดับเรขาคณิต

NockAcademy คือโรงเรียนออนไลน์สำหรับเด็ก โดยแอปฯ และเว็บไซต์ นักเรียนสามารถเรียนรู้ผ่านคลิปบทเรียนวิชา คณิตศาสตร์ ภาษาอังกฤษ และภาษาไทย
มากไปกว่านั้น เรายังมีคอร์สเรียนออนไลน์ การสอนพิเศษ การติวนอกสถานที่โดยติวเตอร์ที่แน่นไปด้วยความรู้ อีกด้วย

แค่ 10 นาที ก็เข้าใจได้

สามารถดูคลิปบทเรียนวิชา คณิตศาสตร์ ภาษาอังกฤษ และภาษาไทย ที่มีมากกว่า 2,000+ คลิป และยังสามารถทำแบบทดสอบที่มีมากกว่า 4000+ ข้อ

แนะนำ

แชร์

คำราชาศัพท์ที่ใช้กับพระภิกษุสงฆ์ พูดอย่างไรให้ถูกต้อง

คำราชาศัพท์ที่ใช้กับพระภิกษุสงฆ์ ถือเป็นเรื่องสำคัญ ที่น้อง ๆ หลายคนอาจจะต้องพบเจอถ้าหากว่านับถือศาสนาพุทธ เพราะว่าเราอาจมีโอกาสได้สนทนากับพระระหว่างทำบุญก็ได้ วันนี้เราจะมาเรียนรู้คำราชาศัพท์ที่ใช้กับพระภิกษุสงฆ์กันนะคะว่าแตกต่างจากคำราชาศัพท์สำหรับราชวงศ์และสุภาพชนทั่วไปอย่างไร ไปเรียนรู้พร้อม ๆ กันเลยค่ะ คำราชาศัพท์ที่ใช้กับพระภิกษุสงฆ์ ใช้อย่างไร แม้คำว่าราชาศัพท์ จะสามารถแปลตรงตัวได้ว่าเป็นถ้อยคำที่ใช้กับพระมหากษัตริย์ แต่ในปัจจุบันนี้คำราชาศัพท์ยังครอบคลุมไปถึงพระบรมวงศานุวงศ์ พระภิกษุสงฆ์ และสุภาพชน หรือเรียกอีกนัยว่าคำสุภาพ สำหรับคำราชาศัพท์ที่ใช้กับพระภิกษุสงฆ์จะต่างกับราชวงศ์และสุภาพชน และยังขึ้นอยู่กับสมณศักดิ์ของพระสงฆ์อีกด้วย โดยสามารถเรียงลำดับได้ดังนี้

NokAcademy_Past Tense และ Present Continuous Tense

เรียนรู้ เรื่อง Past Tense และ Present Continuous Tense

Hi guys! สวัสดีค่ะนักเรียนชั้นป.5 ที่น่ารักทุกคน วันนี้เราจะไปเรียนรู้ เรื่อง Past Tense และ Present Continuous Tense ถ้าพร้อมแล้วก็ไปลุยกันโลด มาเริ่มกันกับ Past Tenses ก่อนอื่นเราจะต้องรู้จักก่อนว่า การเล่าถึงงเหตุการณ์ในอดีตนั้นเราสามารถเล่าได้หลายแบบ ครูจะขอยกตัวอย่างจากสถาณการณ์การใช้ไปหาโครงสร้างและคำศัพท์ที่จำเป็นเพื่อให้เราเข้าใจความสำคัของ Tense นั้นๆ ร่วมกับเทคนิค “Situational usage”

สัจนิรันดร์

ในบทความจะเขียนเกี่ยวกับวิธีการพิสูจน์การเป็นสัจนิรันดร์ของประพจน์ ซึ่งจะเน้นให้น้องๆเข้าใจหลักการของการพิสูจน์ สิ่งที่น้องจะได้จากบทความนี้คือ น้องจะสามารถพิสูจน์การเป็นสัจนิรันดร์ของประพจน์ได้และหากน้องๆขยันทำโจทย์บ่อยๆจะทำให้น้องวิเคราะห์โจทย์เกี่ยวกับสัจนิรันดร์ได้ง่ายขึ้นแน่นอนค่ะ

รอบรู้เรื่องคำไทย คำศัพท์คำไหนภาษาไทยยืมมาจากต่างประเทศ

บทนำ สวัสดีน้อง ๆ ที่น่ารักทุกคน กลับมาพบกับบทเรียนภาษาไทยสนุก ๆ พร้อมสาระความรู้ดี ๆ ซึ่งวันก็เช่นเคยเราจะมาเข้าสู่เนื้อหาการเรียนรู้เกี่ยวกับเรื่องคำภาษาต่างประเทศที่ใช้ในภาษาไทย ซึ่งเป็นเรื่องที่สำคัญมาก ๆ เพราะภาษาไทยที่เราใช้กันในปัจจุบันก็มีที่มาจากการยืมคำจากภาษาต่างประเทศมา และไม่ได้มีการยืมแค่ในภาษาบาลีหรือสันสกฤษเท่านั้น แต่ยัลมีภาษาอื่น ๆ อีก เพราะฉะนั้นวันนี้เราจะพาน้อง ๆ ทุกคนมาทำความรู้จักกับคำจากภาษาต่างประเทศที่เราใช่ในภาษาไทยกันให้ลึกขึ้นอีกระดับหนึ่ง ถ้าพร้อมแล้วก็ไปเริ่มเรียนกันได้เลย สาเหตุการยืมของภาษาไทย มาเริ่มกันที่จุดเริ่มต้น หรือสาเหตุที่ทำไมคนไทยจึงต้องหยิบยืมคำจากภาษาต่างประเทศมาใช้

การใช้ This, That, These, Those

สวัสดีค่ะนักเรียนชั้นม.1 ที่น่ารักทุกคนวันนี้เราจะไปเรียนเรื่อง การใช้ This, That, These, Those ในภาษาอังกฤษ กันค่ะ พร้อมแล้วก็ไปลุยกันเลยจ้า บทนำ ก่อนที่นักเรียนจะไปเรียนเรื่อง การใช้ This, That, These, Those ครูอยากจะให้ลองดูตัวอย่างของการใช้ This, That, These, Those (Determiners) และ

ลำดับเรขาคณิต

สารบัญ

ลำดับเรขาคณิต

พจน์ทั่วไปของลำดับเรขาคณิต

ตัวอย่างโจทย์เกี่ยวกับลำดับเรขาคณิต

ตัวอย่างลำดับเรขาคณิต ในรูปของโจทย์ปัญหา

วิดีโอเพิ่มเติมเกี่ยวกับ ลำดับเรขาคณิต

แค่ 10 นาที ก็เข้าใจได้

แนะนำ

แชร์

คำราชาศัพท์ที่ใช้กับพระภิกษุสงฆ์ พูดอย่างไรให้ถูกต้อง

เรียนรู้ เรื่อง Past Tense และ Present Continuous Tense

สัจนิรันดร์

รอบรู้เรื่องคำไทย คำศัพท์คำไหนภาษาไทยยืมมาจากต่างประเทศ

การใช้ This, That, These, Those

NockAcademy

ติดต่อ

เกี่ยวกับเรา

ความช่วยเหลือ

ทดลองฟรี!

เข้าใจได้ทันที NockAcademy ไลฟ์สดอันดับ 1

ทดลองฟรี!

เข้าใจได้ทันที NockAcademy ไลฟ์สดอันดับ 1

ลำดับเรขาคณิต

สารบัญ

ลำดับเรขาคณิต

พจน์ทั่วไปของลำดับเรขาคณิต

ตัวอย่างโจทย์เกี่ยวกับลำดับเรขาคณิต

ตัวอย่างลำดับเรขาคณิต ในรูปของโจทย์ปัญหา

วิดีโอเพิ่มเติมเกี่ยวกับ ลำดับเรขาคณิต

แค่ 10 นาที ก็เข้าใจได้

แนะนำ

แชร์

คำราชาศัพท์ที่ใช้กับพระภิกษุสงฆ์ พูดอย่างไรให้ถูกต้อง

เรียนรู้ เรื่อง Past Tense และ Present Continuous Tense

สัจนิรันดร์

รอบรู้เรื่องคำไทย คำศัพท์คำไหนภาษาไทยยืมมาจากต่างประเทศ

การใช้ This, That, These, Those

Modals in the Past

NockAcademy

ติดต่อ

เกี่ยวกับเรา

ความช่วยเหลือ

ทดลองฟรี!

เข้าใจได้ทันที NockAcademy ไลฟ์สดอันดับ 1

ทดลองฟรี!

เข้าใจได้ทันที NockAcademy ไลฟ์สดอันดับ 1