รากที่ n ของจำนวนจริง และจำนวนจริงในรูปกรณฑ์

supanaree

คณิตศาสตร์, คณิตศาสตร์ เพิ่มเติม, ม.4

Add LINE friends for one click to find article.

รากที่ n ของจำนวนจริง

รากที่ n ของจำนวนจริง คือจำนวนจริงตัวหนึ่งยกกำลัง n แล้วเท่ากับ x เมื่อ n > 1 เราสามารถตรวจสอบรากที่ n ได้ง่ายๆ โดยนิยามดังนี้

นิยาม

ให้ x, y เป็นจำนวนจริง และ n เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 1 เราจะบอกว่า y เป็นรากที่ n ของ x ก็ต่อเมื่อ $รากที่ n ของจำนวนจริง$

เช่น 5 เป็นรากที่ 3 ของ 125 หรือไม่

จากที่เรารู้ว่า 5×5×5 = 125 ดังนั้น เราจึงสรุปได้ว่า 5 เป็นรากที่ 3 ของ 125 หรือสามารถพูดได้อีกแบบคือ รากที่ 3 ของ 125 คือ 5 เขียนให้สั้นลงได้เป็น $\sqrt[3]{125}=5$ นั่นเอง

ในกรณีที่ x = 0 จะได้ว่า $\sqrt[n]{x}$ = 0

แต่ถ้า x > 0 จะได้ว่า n จะเป็นเลขคู่หรือคี่ก็ได้

**เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มคู่ จะได้ว่า รากที่ n ของ x เป็นได้ทั้งจำนวนบวกและจำนวนลบ

เช่น -2, 2 เป็นรากที่ 4 ของ 16 เพราะ $รากที่ n ของจำนวนจริง$ และ $รากที่ n ของจำนวนจริง$

ในกรณีที่ x < 0 ในระบบจำนวนจริง n ควรจะเป็นเลขคี่

สมมติว่า n เป็นเลขคู่

$\sqrt[4]{-16}$ จะเห็นว่าไม่มีจำนวนจริงใดยกกำลัง 4 แล้วได้ -16 เพราะปกติแล้วยกกำลังคู่ต้องได้จำนวนบวก ดังนั้นจึงไม่มีคำตอบในระบบจำนวนจริง (แต่มีคำตอบในจำนวนเชิงซ้อน ซึ่งน้องๆจะได้เรียนในบทจำนวนเชิงซ้อน)

สมมติว่า n เป็นเลขคี่

$\sqrt[3]{-125}$ = -5 เพราะ (-5)×(-5)×(-5) = (-5)³ = -125

จำนวนจริงในรูปกรณฑ์

กรณฑ์ หรือค่าหลักของราก มีนิยามดังนี้

นิยาม

ให้ x, y เป็นจำนวนจริง และ n เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 1 จะบอกว่า y เป็นค่าหลักของรากที่ n ของ x ก็ต่อเมื่อ

y เป็นรากที่ n ของ x
xy ≥ 0

จากนิยามจะเห็นว่า ถ้า y จะเป็นค่าหลักของรากที่ n ของ x ได้ จะได้ต้องมีคูณสมบัติครบทั้งสองข้อ มีข้อใดข้อหนึ่งไม่ได้

และเราจะเขียน $\sqrt[n]{x}$ แทนค่าหลักของรากที่ n ของ x อ่านได้อีกอย่างว่า กรณฑ์ที่ n ของ x

ตัวอย่าง

-3 เป็นกรณฑ์ที่ 3 ของ -27 เพราะว่า

-3 เป็นรากที่ 3 ของ 3 (เนื่องจาก $รากที่ n ของจำนวนจริง$ )
(-27)(-3) = 81 ≥ 0

-2 เป็นรากที่ 4 ของ 16 แต่ -2 นั้นไม่เป็นกรณฑ์ที่ 4 ของ 16 เพราะว่า (-2)(16) = -32 < 0

สมบัติที่ควรรู้

ให้ a, b เป็นจำนวนจริง และ m, n เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 1

$จำนวนจริงในรูปกรณฑ์$
$\sqrt[n]{1}=1$
$\sqrt[n]{0}=0$
$(\sqrt[n]{a})^n=a$
$\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\times \sqrt[n]{b}$
$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}},b\neq 0$
$\sqrt[n]{a^{n}}$ = a เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มคี่ เช่น $\sqrt[3]{(-3)^3} = -3$ , $\sqrt[5]{2^{5}}=2$
$\sqrt[n]{a^{n}}$ = $\left | a \right |$ เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มคู่ เช่น $\sqrt[4]{2^{4}}= \left | 2 \right |=2$ , $\sqrt[4]{(-3)^4}=\left | -3 \right |=3$

สูตรลัดในการหารากที่ 2

$รากที่ n ของจำนวนจริง$

ตัวอย่าง

1.) $รากที่ n ของจำนวนจริง$

2.) $\sqrt[3]{4\sqrt[3]{4\sqrt[3]{4...}}}= \sqrt[3-1]{4}=\sqrt[2]{4}=2$

การหาผลบวก และผลต่างของจำนวนจริงในรูปกรณฑ์

วิธีการหาคือ

อันดับของกรณฑ์ต้องเหมือนกัน
เลขข้างในต้องเหมือนกันด้วย โดยอาจจะทำให้เป็นจำนวนเฉพาะหรืออาจจะทำให้เป็นจำนวนที่ต่ำที่สุด

ตัวอย่าง

1.) $3\sqrt{8}-\sqrt{2}+\sqrt{32}$

การหาผลคูณและผลหารของจำนวนจริงในรูปกรณฑ์

หลักการก็คือ

อันดับของกรณฑ์ต้องเหมือนกัน
ถ้าอันดับของกรณฑ์ไม่เหมือนกันจะต้องทำให้อันดับเหมือนกันก่อน โดยใช้สมบัติ

ตัวอย่าง

จะเขียน $\sqrt[3]{8}\sqrt{6}$ ให้อยู่ในรูปอย่างง่าย

วิดีโอ รากที่ n ของจำนวนจริง และจำนวนจริงในรูปกรณฑ์

NockAcademy คือโรงเรียนออนไลน์สำหรับเด็ก โดยแอปฯ และเว็บไซต์ นักเรียนสามารถเรียนรู้ผ่านคลิปบทเรียนวิชา คณิตศาสตร์ ภาษาอังกฤษ และภาษาไทย
มากไปกว่านั้น เรายังมีคอร์สเรียนออนไลน์ การสอนพิเศษ การติวนอกสถานที่โดยติวเตอร์ที่แน่นไปด้วยความรู้ อีกด้วย

แค่ 10 นาที ก็เข้าใจได้

สามารถดูคลิปบทเรียนวิชา คณิตศาสตร์ ภาษาอังกฤษ และภาษาไทย ที่มีมากกว่า 2,000+ คลิป และยังสามารถทำแบบทดสอบที่มีมากกว่า 4000+ ข้อ

แนะนำ

แชร์

การเปรียบเทียบจำนวนเต็ม

ทบทวนจำนวนเต็ม บทความนี้จะทำให้น้องๆ เข้าใจ การเปรียบเทียบจำนวนเต็ม ซึ่งได้รวบรวมตัวอย่างไว้อย่างหลากหลาย น้องๆรู้จัก จำนวนเต็ม กันแล้ว แต่หลายคนยังไม่สามาถเปรียบเทียบความมากน้อยของจำนวนเต็มเหล่านั้นได้ ซึ่งถ้าน้องๆ เคยเรียนเรื่องการเปรียบเทียบเศษส่วนและจำนวนคละมาแล้ว เรื่องนี้จะกลายเป็นเรื่องง่ายดาย ซึ่งได้นำเสนออกมาในรูปแบที่เข้าใจง่าย ทำให้น้องๆสนุกกับการเรียนคณิตศาสตร์ ทบทวนเรื่องจำนวนเต็ม เช่น 25 , 9 , -5 , 5.5 ,

คำราชาศัพท์ที่ใช้กับพระภิกษุสงฆ์ พูดอย่างไรให้ถูกต้อง

คำราชาศัพท์ที่ใช้กับพระภิกษุสงฆ์ ถือเป็นเรื่องสำคัญ ที่น้อง ๆ หลายคนอาจจะต้องพบเจอถ้าหากว่านับถือศาสนาพุทธ เพราะว่าเราอาจมีโอกาสได้สนทนากับพระระหว่างทำบุญก็ได้ วันนี้เราจะมาเรียนรู้คำราชาศัพท์ที่ใช้กับพระภิกษุสงฆ์กันนะคะว่าแตกต่างจากคำราชาศัพท์สำหรับราชวงศ์และสุภาพชนทั่วไปอย่างไร ไปเรียนรู้พร้อม ๆ กันเลยค่ะ คำราชาศัพท์ที่ใช้กับพระภิกษุสงฆ์ ใช้อย่างไร แม้คำว่าราชาศัพท์ จะสามารถแปลตรงตัวได้ว่าเป็นถ้อยคำที่ใช้กับพระมหากษัตริย์ แต่ในปัจจุบันนี้คำราชาศัพท์ยังครอบคลุมไปถึงพระบรมวงศานุวงศ์ พระภิกษุสงฆ์ และสุภาพชน หรือเรียกอีกนัยว่าคำสุภาพ สำหรับคำราชาศัพท์ที่ใช้กับพระภิกษุสงฆ์จะต่างกับราชวงศ์และสุภาพชน และยังขึ้นอยู่กับสมณศักดิ์ของพระสงฆ์อีกด้วย โดยสามารถเรียงลำดับได้ดังนี้

การใช้ไวยากรณ์ Past Simple ในการตั้งคำถาม

เกริ่นนำ เกริ่นใจ อดีต ปัจจุบันและอนาคต ทั้งหมดนี้ล้วนแล้วได้รับความสำคัญในหลักไวยากรณ์ของภาษาอังกฤษ เอาเข้าจริง ภาษาไทยของเราเองก็มีอะไรในลักษณะนี้เหมือนกันนะ แต่จะไม่เด่นชัดในรูปประโยคจนรู้สึกว่าซับซ้อนเหมือนภาษาอังกฤษที่เรากำลังเรียน ตัวอย่างเช่น เมื่อวานไปไหนมา….หรือ ฉันไป…มา ในขณะที่ภาษาอังกฤษจะต้องมีการปรับโครงสร้างให้เป็นรูปอดีตด้วยการเปลี่ยนคำกริยาเป็นช่องที่ 2 ตัวอย่างเช่น Where “did” you go yesterday? หรือ I “went to…” เป็นต้น อย่างไรก็ดี

พระบรมราโชวาท จดหมายของร.5ที่เขียนถึงพระโอรส

พระบรมราโชวาท เป็นจดหมายร้อยแก้วที่พระบาทสมเด็จพระจุลจอมเกล้าเจ้าอยู่หัวได้เขียนให้พระโอรสทั้ง 4 พระองค์ก่อนจะไปศึกษาต่างประเทศ เหตุใดเนื้อความในจดหมายถึงกลายเป็นวรรณคดีอันทรงคุณค่าให้คนรุ่นหลังได้ศึกษา บทเรียนในวันนี้จะพาไปเรียนรู้ประวัติความเป็นมาและเนื้อหาโดยรวมของเนื้อความเพื่อให้เข้าใจถึงคำสอนและข้อคิดจากพระบรมราโชวาทของพระมหากษัตริย์ในแง่มุมของพ่อสอนลูก จะเป็นอย่างไรไปเรียนรู้พร้อม ๆ กันเลยค่ะ ประวัติความเป็นมา วรรณคดีเรื่องพระบรมราโชวาท เป็นคำสั่งสอนของรัชกาลที่ 5 พระบาทสมเด็จพระจุลจอมเกล้าเจ้าอยู่หัวที่มีต่อพระราชโอรสทั้ง 4 พระองค์ที่กำลังจะเดินทางไปศึกษาต่อต่างประเทศ พระองค์จึงมีพระบรมราโชวาทเพื่อสั่งสอนและตักเตือนพระราชโอรส ซึ่งในการส่งไปศึกษาต่อในครั้งนี้ พระองค์ทรงเล็งเห็นว่า การศึกษาเป็นรากฐานของการพัฒนาประชาชนและประเทศชาติ

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล คือ ฟังก์ชันที่เขียนอยู่ในรูป {(x, y) ∈ × : y = } โดยที่ a เป็นจำนวนจริงที่มากกว่า 0 และ a ≠ 1 เช่น , , ซึ่งพูดอีกอย่างก็คือ

พื้นที่ผิวทรงกรวยและลูกบาศก์

พื้นที่ผิวทรงกรวยและลูกบาศก์ การหาพื้นที่ผิวทรงกรวยเเละลูกบาศก์นั้นมักเป็นสิ่งที่เราอาจได้ใช้ในชีวิตประจำวัน ทั้งเรื่องการออกเเบบทางวิศวกรรม หรือสถาปัตยกรรม ที่ต้องนำพื้นที่ผิวมาประเมินค่าใช้จ่ายในการทาสี, การปูกระเบื้อง, หรือเเม้กระทั่งปริมาณการใช้วัสดุในการสร้างชิ้นงานต่าง ๆ รูปร่างทรงกรวยเเละลูกบาศก์สามารถเห็นได้บ่อยครั้งในชีวิตประจำวัน เช่น โคนไอติม, กรวยจราจร, หมวกปาร์ตี้ ที่มีลักษณะเป็นทรงกรวย เเละลูกเต๋า, ก้อนน้ำเเข็ง ที่มีลักษณะเป็นลูกบาศก์ ซึ่งการหาพื้นที่ผิวทั้งหมดของทรงกรวยเเละลูกบาศก์นั้น มีวิธีง่ายๆ คือ ให้เรามองรูปสามมิติกลายเป็นรูปประกอบของเรขาสองมิติ พื้นที่ผิวทรงกรวย ทรงกรวย คือ รูปทรงเรขาคณิต

รากที่ n ของจำนวนจริง และจำนวนจริงในรูปกรณฑ์

สารบัญ

รากที่ n ของจำนวนจริง

จำนวนจริงในรูปกรณฑ์

สมบัติที่ควรรู้

การหาผลบวก และผลต่างของจำนวนจริงในรูปกรณฑ์

การหาผลคูณและผลหารของจำนวนจริงในรูปกรณฑ์

วิดีโอ รากที่ n ของจำนวนจริง และจำนวนจริงในรูปกรณฑ์

แค่ 10 นาที ก็เข้าใจได้

แนะนำ

แชร์

การเปรียบเทียบจำนวนเต็ม

คำราชาศัพท์ที่ใช้กับพระภิกษุสงฆ์ พูดอย่างไรให้ถูกต้อง

การใช้ไวยากรณ์ Past Simple ในการตั้งคำถาม

พระบรมราโชวาท จดหมายของร.5ที่เขียนถึงพระโอรส

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล

พื้นที่ผิวทรงกรวยและลูกบาศก์

NockAcademy

ติดต่อ

เกี่ยวกับเรา

ความช่วยเหลือ

ทดลองฟรี!

เข้าใจได้ทันที NockAcademy ไลฟ์สดอันดับ 1

ทดลองฟรี!

เข้าใจได้ทันที NockAcademy ไลฟ์สดอันดับ 1